2024-2025学年八年级期末考试八年级下学期7月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年八年级期末考试八年级下学期7月期末数学检测试卷，共53页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
卷
（考试分数：100 分，考试时间：120 分钟）注意事项：
1 ．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2 ．请将答案正确填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．二次根式 ·、中的 x 的取值范围是( )
A．x2 D．x≥2
2 ．已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点 O，那么下列结 论中正确的是( )
A ．当AB = BC 时，四边形ABCD 是矩形
B ．当AC 丄 BD 时，四边形ABCD 是矩形
C ．当OA = OB 时，四边形ABCD 是矩形
D ．当上ABD = 上CBD 时，四边形ABCD 是矩形
3 ．下列图中，表示一次函数y = ax + b 与一次函数y = abx （其中 a 、b 为常数，且 ab ≠ 0 ）的大致图像，其中表示正确的是( )
A．
B．
C．
D．
4 ．如图正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点 E 为边AB 上一动点，连 接DE ，作 CF 丄 DE 于点F ，连接OF ．若上BDE = α ,则∠DOF 的度数为( )
A ．2α B ．30° + α C ．45° - α D ．60° - 2α
5 ．在平面直角坐标系中，下列对于直线 的描述正确的是 ( )
A．y 随 x 的增大而增大 B ．与y 轴的交点是(0,5)
C ．经过点(-4, -2) D ．图象不经过第三象限
6 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点 O，过点 D 作DE 丄 AB 于点 E，连 接OE ，若 AB = 10 ，OE = 6 ，则菱形 ABCD 的面积为( )
A ．48 B ．60 C ．96 D ．192
7 ．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 丄 BD ，垂足为点O ，点E, F, G, H 分别为边 AD, DC, CB, BA 的中点，若AC = 4, BD = 3 ，则四边形EFGH 的面积为( )
A ．12 B ．7 C ．6 D ．3
8 ．如图，已知△ABD 和△BCD 是一对全等的等腰直角三角形，
上DAB = 上DCB = 90° , AB = AD ， BC = CD ，点M 在 BD 边上（不与点 D，B 重合）， 延长AB 到点F ，使得BF = AE ，过点 M 作ME 丄 BD 交AB 于点E ，垂足为M ，连 接AM，DE，MF，CF ．下列结论正确的选项是( )
① AB = EF ；② 上
A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．①②④
9．如图，OB = OA, 上AOB = 90。，点 D 在边BO 上（与 B，O 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点 F 作FC 丄 OA ，交的延长线于点 C，连接FB，AE 交BF 于点 H，
以 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点 D 坐标为(2,0) ，点 A 坐标为 (0,3)，给出以下结论：①四边形OBFC 为矩形；② S△FAB : S四边形OBFC = 1 : 2 ；③
点 H 的坐标 其中正确的答案是 ( )
A ．①③④⑤ B ．①②③⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③④
10 ．如图有一条直角弯道河流，河宽为 2 ，A 、B 两地到河岸边的距离均为 1， AH = BF = 1 ，AD = 7 ，BE = 9 ，现欲在河道上架两座桥MN 、PQ，使
AM + MN + NP + PQ + QB 最小，则最小值为( )
A ．、/130 B ． + 2 C ．14 D ．12
第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．某公司招聘英语翻译，听、说、写成绩按3 : 3 : 4 计入总成绩．某应聘者的听、 说、写成绩分别为 80 分，90 分，95 分（单项成绩和总成绩，均为百分制），则 他的总成绩为 分．
12 ．已知一次函数y = ax + b （a 、b 是常数），x 与y 的部分对应值如下表：则方 程mx + n - 3 = 0 的解是 ．
13．如图，将一根长为18cm 的牙刷放置在底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形牙 刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 cm ．
14．如图，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 分别长 4 厘米和 3 厘米，现在 以斜边AC 为轴旋转一周．则所形成的立体图形的体积是 ．
15 ．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且满足BE = BC ，连接CE 并延长交AD 于点F ，连接AE ，过B 点作BG 丄 AE 于点G ，延长BG 交AD 于点
H ．在下列结论中：① AH = FD ；② S△AEO = S△AEF ；③ AE 垂直平分PH ；④
DC = ( +1)DF ，其中正确的结论有 (填正确的序号)．
x
m
-2
-1
0
1
2
y
-4
-2
0
2
n
6
16．如图，在Rt△ABC 中，上ACB = 90。，AC = 6 ，BC = 8 ，点D 、E 分别是AB ，BC 上动点，且AD = BE ，连接 CD ，AE ，则 CD + AE 的最小值是 ．
三、解答题（共 7 小题，共 52 分）
\ 3 2
17 ．（1）计算：2 - 9 + 1 ．
（2）计算：( - )( + )+ ( - 2)2 ．
18 ．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点(AE > CE ) ，连接BE ，DE ．
(1)求证：BE = DE ；
(2)过点 E 作EF 丄 AC 交BC 于点 F，延长BC 至点 G，使得 CG = BF ，连接DG 、 EG ．
①依题意补全图形；
@若BE = 2 ，求DG 的长．
19 ．已知小明家距学校1200m ，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，4min 后， 小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，
在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离y(m) 与小明出发的时间x(min) 之间的关系如图所示，请解答下列问题：
(1)小明步行的速度是_______ m/min ，爸爸的速度是 m/min ．a 的值为 ；
(2)当小明与爸爸相距120m 时，求小明出发后的时间．
20 ．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，然后完成后面的任务．
(1)直接写出研究报告中“________”处空缺的部分分别是①________、
关于“分母有理化”的研究报告
博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值
研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值．
研究方法：利用概念——法则的方式进行研究
研究内容：【两个概念】（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相
乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数式互为有理化因式，如 -1
的有理化因式为 +1 ， + 的有理化因式是 -
（2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母
的有理化因式，这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：
【概念理解】
① + 的有理化因式是________．
分母有理化的结果为________．
②________．
(2)利用分母有理化比较- 与 - 的大小．
计算
21．如图，某天上午海岸瞭望塔C 接到位于其北偏西60° 方向且相距 12 海里的渔 船A 的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向B 处的北斗救援队前往救援， 救援队测得渔船A 位于B 的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离AB ．（结 果保留根号）
22 ．如图1，在平面直角坐标系中， △AOB 为等腰直角三角形，A (4, 4) ．
(1)求B 点坐标；
(2)如图 2，若 C 为x 正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角 △ ACD ， Ð ACD = 90° ,连接OD ，求 Ð AOD 的度数；
(3)在（2）条件下求直线 OD 的函数关系式；
(4)如图3，过点 A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的 延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △ EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ， 等式AM = FM + OF 是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．
23 ．（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题，如图 1，在 △ABC 中，AD 平分
ÐBAC ， ÐABC = 2ÐC ．求证：AC = AB + BD ．
①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在AC 上截取AE = AB ， 连接DE ，将线段AC ，AB ，BD 之间的数量关系转化为CE 与BD 的数量关系．
@如图3，小强同学从 ÐABC = 2ÐC 这个条件出发给出另一种解题思路：延长AB 至点 E，使BE = BD ，连接DE ，将 ÐABC = 2ÐC 转化为 Ð C 与 Ð E 之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程
（2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证 明两条线段的关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图 1 进行变化 并提出了下面问题，请你回答：
如图 4，在 △ABC 中，ÐABC = 2ÐC ，点 D 在CA 的延长线上，AD = AB ，过点 D 作 DE Ⅱ BC 交BA 的延长线于点 E ．求证：CD = BE + DE ．
（3）如图 5，在 △ABC 中，AD 丄 BC ，垂足为 D ，BD = 6 ，DC = 4 ，
ÐCAD = 2ÐABC ，CE 平分 Ð ACB 交AB 于点 E，那么 BE 的长为
1 ．D
【分析】根据被开方数为非负数可得 x-2≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负 数．
2 ．C
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解： A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，:当AB = BC 时，四边形ABCD 是菱形，故 该选项错误；
B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点 O ，:当AC 丄 BD 时，四边形 ABCD 是菱形，故该选项错误；
C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点 O ，:对角线互相平分，:当 OA = OB 时，则可得平行四边形ABCD 是矩形，故该选项正确；
D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点 O，当上ABD = 上CBD 时，无 法证明四边形ABCD 是矩形，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的证明方法，熟记概念是关键．
3 ．D
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确待定系数 k 与 b 的作用，本题属于基 础题型．根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得 a、b 的符号，进而可得ab 的符号，从而判断y = abx 的图象即可解答．
【详解】解：A．由一次函数y = ax + b 图象可知a > 0 ，b > 0 ；由正比例函数的图象可知ab < 0 ， 矛盾，故此选项错误，不符合题意；
B ．由一次函数y = ax + b 图象可知a < 0 ，b > 0 ；由正比例函数的图象可知 ab > 0 ，矛盾， 故此选项错误，不符合题意；
C ．由一次函数y = ax + b 图象可知a > 0 ，b < 0 ；由正比例函数的图象可知 ab > 0 ，矛盾， 故此选项错误，不符合题意；
D ．由一次函数y = ax + b 图象可知a < 0 ，b > 0 ，则 ab < 0 ；由正比例函数的图象可知
ab < 0 ，不矛盾，故此选项正确，符合题意； 故选：D．
4 ．C
【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出OD = OC ，上DOC = 上DFH = 上EFC = 90° , 利用 三角形内角和定理得出上BDE = 上OCH = α ,利用 AAS 即可证明 △ODN≌△OCN ，得出 OF 平分上EFC ，利用三角形外角性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点 O 作OM 丄 CF 于M ，ON 丄 DE 于N ，设CF 、BD 交于点H ，
∵正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， : AC 丄 BD ，OD = OC ，
∵ CF 丄 DE ，
: 上DOC = 上DFH = 上EFC = 90° , ∵ 上DHF = 上OHC ，
: 上BDE = 上OCH = α ,
在△ODN 和 △OCM 中 : △ODN≌△OCN ，
: OM = ON ，
: OF 平分上EFC ，
: 上DOF = 上EFO - 上BDE = 45° - α .
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定、三角形内角和定理 及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
5 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图 象与系数的关系等知识点，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系逐项 判断即可．
【详解】
解：A ．由 ，则 y 随的增大而减小，选项 A 不符合题意；
B ．∵当x = 0 时
:直线与轴的交点是(0, -5)，选项 B 不符合题意．
C ．∵当x = -4 时
:直线经过点(-4, -2)，选项 C 符合题意；
D ．Q k = - < 0 ，b = -5 < 0 ，
:直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，选项 D 不符合题意．
故选：B．
6 ．C
【分析】由Rt△BED 中，点 O 是BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半， OE = 6 ，则 根据勾股定理求出AO = 8 ，得出 AC = 16 ，应用菱 形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， : OA = OC ，OB = OD ，AC 丄 BD ， ∵ DE 丄 AB ，
: 上BED = 90° ,
∵ 上AOB = 90° ,
: AC = 2OA = 16 ，
:菱形ABCD 的面积为 故 C 正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积计算， 直角三角形的性质，勾股定理，合理利用 菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
7 ．D
【分析】本题考查的是中点四边形， 熟练应用矩形的判定以及性质是解题的关键．利用中位 线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【详解】解：Q 点E 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、AB 的中点， :EH Ⅱ BD ，且
同理求得EF Ⅱ AC Ⅱ GH ，且
: 四边形EFGH是平行四边形， 又Q AC 丄 BD ，
: EH 丄 GH ，
: 四边形EFGH是矩形，
: 四边形EFGH 的面积= EF . EH = 2 × = 3 ，即四边形 EFGH 的面积是 3． 故选：D ．
8 ．D
【分析】根据正方形的性质和判定， 等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性 质，平行四边形的判定与性质，勾股定理依次判定选项即可．
【详解】解：∵△ABD 和△BCD 是一对全等的等腰直角三角形，
: AB = BC = CD = AD ，四边形 ABCD 是正方形， ∵ BF = AE ，AB = AE + EB ，EF = BF + EB ， : AB = EF ，故①正确；
∵△ABD 是等腰直角三角形， : 上BAD = 90° , 上ADB = 45° , ∵ ME 丄 BD ，
: 上EMB = 上EMD = 90° ,
: 上AEM = 360° - 上BAD - 上EMD - 上ADB = 360° - 90° - 90° - 45° = 135° ,
: 上MEB = 180° - 上AEM = 180° -135° = 45° ,故②正确； : 上EBM = 上EMD - 上MEB = 90° - 45° = 45° ,
: 上MEB = 上MBE ，
: EM = BM ，
在 △ABM 和△FEM 中 上 : △ABM≌△FEM (SAS)，
: AM = FM ，
连接MC ，
在 △CBM 和△FEM 中 上 : △CBM≌△FEM (SAS) ，
: CM = FM ，上CMB = 上FME ，
∵ 上FME = 上EMB + 上BMF = 90° + 上BMF ，上CMB = 上CMF + 上BMF ， : 上CMF = 90° ,
又∵ CM = FM ，
: △FMC 是等腰直角三角形，
: CF = FM ，即 CF = AM ，故③错误；
∵四边形ABCD 是正方形，
: DC∥AB ，DC = AB = EF ， :四边形EFCD 是正方形，
: DE = CF ，
∵ CF = AM ，
: DE = AM ，
∵ BM = EM ，上DME = 90° , : DM 2 + EM2 = DE2 ，
: DM 2 + BM2 = ( AM )2 = 2AM2 ，故④正确，
综上所述，选项①②④正确， 故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题， 考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等 三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证明 △CMF 是等腰直角 三角形是解题的关键．
9 ．D
【分析】由正方形的性质得到 上FAD = 90° , AD = AF = EF ，证明 △CAF≌△ODA (AAS)，得 到CF = OA = OB ，AC = OD ，再证明CF∥OB ，即可证明四边形OBFC 是矩形，故①正确； 则S△ , 再由S四边形OBFC = BF . CF ，可得S△FAB : S四边形OBFC = 1: 2 ，故②正确；在 Rt △ABO 中，由勾股定理得AB2 = OA2 + OB2 ，则 在Rt△ADO 中，由勾股定 理得 故③正确；如图所示，过点 E 作ET 丄 x 轴于 T， 同理可证明△AOD≌△DTE ，可得E(5, 2) ；求出直线 AE 解析式为 可得
故④正确；则 故⑤错误．
【详解】解：∵点D 坐标为(2,0) ，点 A 坐标为(0, 3)， : OA = OB = 3，OD = 2 ；
Q 四边形ADEF 为正方形，
:上FAD = 90° , AD = AF = EF ，
:上OAD + 上FAC = 90° ,
Q FC 丄 OA ，
:上FCA = 90° = 上AOB ，
:上OAD + 上ODA = 90° , :∠CAF = ∠ODA ，
: △CAF≌△ODA (AAS)，
: CF = OA = OB ，AC = OD ， ∵∠AOB = 90°, CF⊥OC ，
: CF∥OB ，
:四边形OBFC 是平行四边形， 又∵ 上AOB = 90° ,
:四边形OBFC 是矩形，故①正确； : CF 丄 BF ，
∵S四边形OBFC = BF . CF ，
:S△FAB : S四边形OBFC = 1: 2 ，故②正确；
在Rt△ABO 中，由勾股定理得AB2 = OA2 + OB2 ，
在Rt△ADO 中，由勾股定理得AD2 = OA2 + OD2 ，
故③正确；
如图所示，过点 E 作ET丄 x 轴于 T，
同理可证明△AOD≌△DTE ， : DT = OA = 3，ET = OD = 2 ， : OT = 5 ，
: E (5, 2) ；
设直线AE 解析式为y = kx + b ，
:直线AE 解析式为 ，
在 中，当x = 3 时
故④正确；
故⑤错误；
:正确的是①②③④ , 故选 D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性 质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键．
10 ．C
【分析】延长 AH 到J，使得 AJ = MN = 2 ，延长 BF 到K ，使得 BK = PQ = 2 ，连接 JK 交河 道于点N¢ , P¢ ,得到两座桥 N¢M ¢ , P¢Q ¢ ,此时 AM ¢ + MN¢ ¢+ N¢P¢ + P¢Q ¢ + BQ ¢ 的值最小．
【详解】解：延长 AH 到J，使得 AJ = MN = 2 ，延长 BF 到K ，使得 BK = PQ = 2 ，连接 JK 交河道于点N¢ , P¢ ,得到两座桥 N¢M ¢ , P¢Q ¢ ,此时 AM ¢ + MN¢ ¢+ N¢P¢ + P¢Q ¢ + BQ ¢ 的值最小．
:四边形AJN¢M ¢ 是平行四边形， : AM ¢ = JN¢ ,
同理：BQ ¢ = P¢K ，
延长AH 交BK 的延长线于点W ． : WH = BE = 9 ，WF = AD = 7 ，
: WJ = WH + AH - AJ = 9 +1- 2 = 8 ，WK = AD + BF - BK = 7 + 1 - 2 = 6 ， 在Rt△JWK 中
: AM ¢ + MN¢ ¢ + N¢P¢ + P¢Q¢ + BQ¢ = HN¢ + 2 + N¢P¢ + 2 + P¢K = 4 + JK = 14 ，
: AM + MN + NP + PQ + QB 的最小值为 14． 故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题， 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最 短问题．
11 ．89
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．运用加权平均数的公式直接计算． 【详解】解：依题意，总成绩为
故答案为：89 ．
12 ．
【分析】先用待定系数法求出一次函数表达式，即可求出 m 和 n 的值，再把 m 和 n 代入方 程mx + n - 3 = 0 ，求解即可．
【详解】解：将 (-2, -2), (-1, 0) 代入y = ax + b 得：
解得： :一次函数表达式为y = 2x + 2 ， 把(m, -4) 代入得：-4 = 2m + 2 ，
解得：m = -3 ；
把(1, n)代入得： n = 2 + 2 = 4 ，
:把m = -3 ，n = 4 代入mx + n - 3 = 0 得：-3x + 4 - 3 = 0 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数表达式，解一元一次方程，解题的关键是掌握用待定系
数法求解函数表达式的方法和步骤．
13 ．5
【分析】本题考查勾股定理， 当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情 况构建数学模型是解题的关键．
【详解】解：如图，AB 为底面直径，BC 为高，当牙刷AD 如图放置时露在筒外的长度最 小，
Q AB = 5 ，BC = 12 ，
: CD = AD - AC = 18 -13 = 5 ，
即牙刷露在筒外的长度最小5cm ， 故答案为：5．
14 ．9.6π 立方厘米
【分析】本题考查求旋转体的体积： 先根据勾股定理求出斜边为 5 厘米，等积法求出斜边上 的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为 2.4 厘米，高的和为 5 厘米的圆锥体， 由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可．
【详解】解：过点 B 作BD 丄 AC ，
由勾股定理，得：AC = = 5 ，
∵ BD 丄 AC ，
: BD = 3 × 4 ÷ 5 = 2.4 ，
:所形成的立体图形的体积立方厘米）．
故答案为：9.6π 立方厘米．
15 ．①③④
【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角 形的内角和，垂直平分线的判定，勾股定理的应用，解题的关键是恰当的证明角相等及构造 勾股定理．
【详解】解：在正方形 ABCD 中
AD = AB = BC = CD ，上ABD = 上BAC = 上CAD = 上ADE = 上CDE = 45° , 上BAD = 上BCD = 上ABC = 上ADC = 90° , ADⅡCB
: 上EAD + 上EAB = 90° , 上DFE = 上BCE ∵ DE = DE ，AE 丄 BH ，
: △ADE≌△CDE (SAS) ，上EAB + 上ABG = 90° , : 上DAE = 上DCE ，上DAE = 上ABH ，
: 上DCF = 上ABH ， :△ABH≌△DCF ， : AH = FD ，
故①正确
∵ BE = BC ，
: AB = BE ，上BCE = 上BEC ，
:上BAE = 上 = 67.5° , 上DFE = 上BEC : 上OAE = 上BAE - 上BAC = 22.5° ,
: 上FAE = 上DAC - 上EAC = 22.5° ,
: 上FAE = 上EAC ， ∵ AE 丄 BH ，
: 上AGP = 上AGH = 90° ,
又AG = AG
: △AGP≌△AGH (ASA) ， : PG = GH
: AE 垂直平分PH ．
故③正确．
由上EAF = 上EAO, AO 丄 EO, AF 不垂直EF ，可判断出 S△AEO ≠ S△AEF ， 故②错误．
∵ 上DFE = 上BEC, 上DEF = 上BEC
:上DEF = 上DFE
: DE = DF
设DF = DE = x, 正方形的边长为y ，则 BE = BC = y ，
: BD = BE + ED = y + x ，
在Rt△BCD 中，
BC2 + CD2 = BD2
即y2 + y2 = (x + y)2
: y + (x + y) y - (x + y) = 0
: y +(x + y) = 0, （不合题意，舍去） y - (x + y) = 0 解得y = ( +1)x
即DC = ( +1)DF ， 故④正确．
故答案为：①③④
16 ．2
【分析】延长 AC ，取 CF = AC = 6 ，连接 BF ，在 BF 上取FH = AD ，连接 CH ，过点 F 作 FG 丄 AF ，取FG = AB ，连接CG ，证明 △ACD ≌△FCH ，得出CD = CH ，证明 △ABE ≌△GFH ， 得出GH = AE ，说明 CD + AE = CH + GH ，得出当CH + GH 最小时，CD + AE 最小，根据 当C 、H 、G 三点共线时，CH + GH 最小，且最小值为CG ，求出最小值即可．
【详解】解：延长 AC ，取 CF = AC = 6 ，连接 BF ，在 BF 上取FH = AD ，连接 CH ，过点 F 作FG 丄 AF ，取 FG = AB ，连接 CG ，如图所示：
Q 上ACB = 90° , AC = 6 ，BC = 8 ，
: AB = = = 10 ，
又Q AC = CF ，上ACB = 90° ,
:BC 垂直平分AF ，
: AB = FB ，
: Ð BAC = Ð BFC ，
又Q AC = FC ，AD = FH ， :△ACD≌△FCH (SAS)，
: CD = CH ，
Q AB = FB ，BC 丄 AF ，
:上ABC = 上FBC ，
Q BC 丄 AC ，FG 丄 AF ，
:BC ∥ GF ，
:上FBC = 上GFH ，
:上ABE = 上GFH ，
Q AD = BE ，AD = FH ， :BE = FH ，
Q FG = AB = 10 ，
:△ABE≌△GFH (SAS)，
: GH = AE ，
: CD + AE = CH + GH ，
: 当CH + GH 最小时，CD + AE 最小，
: 当C 、H 、G 三点共线时，CH + GH 最小，且最小值为CG ，
:CD + AE 的最小值为：
CG = = = 2 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 等腰三角形的性质，勾股定理，平行线 的性质与判定，垂直平分线的性质等知识点，作出恰当的辅助线，熟练掌握相关性质与判定 是解题的关键．
17 ．（1）3 ；（2）10 - 4
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
1 1 \ 3 2
（2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）2 - 9 +
= 4 - 3 + 2
= 3 ．
（2）( - )( + )+ ( - 2)2
= 5 - 2 + 3 + 22 - 4
= 5 - 2 + 3 + 4 - 4
= 10 - 4 ．
18 ．(1)见解析
(2)①见解析；@4
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）根据正方形的性质可得 AB = AD ，上BAC = 上DAC ，然后利用SAS 证明 △ABE ≌△ADE 即可得出结论；
（2）①根据题中步骤作图即可；
@证明 △BFE≌△GCE (SAS)，可得 BE = GE ，上BEF = 上GEC ，求出 上DEG = 90° ,利用勾
股定理可得DG = DE = BE = 4 ．
【详解】（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB = AD ，上BAC = 上DAC ，
∵ AE = AE ，
: △ABE≌△ADE (SAS)， : BE = DE ；
（2）解：①如图：
②∵ 上ECF = 45° , 上FEC = 90° , : 上EFC = 上ECF = 45° ,
: EF = EC ，上EFB = 上ECG ， 又∵BF = CG ，
: △BFE≌△GCE (SAS)，
: BE = GE ，上BEF = 上GEC ， 由（1）得 △BAE ≌△DAE ，
: BE = DE ，上AEB = 上AED ， : DE = GE ，
∵ 上AEB + 上BEF = 90° , : 上AED + 上GEC = 90° , : 上DEG = 90° ,
: DE2 + EG2 = DG2 ， : 2DE2 = DG2 ，
: DG = DE = BE = 4 ．
19 ．(1)90 ，180 ，12；
(2) min 或min 或min
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及 a 的值；
（2）根据题意可知：分三种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
小明的速度为：360 ÷ 4 = 90(m/min) ，
爸爸的速度为：90 × 8 ÷ (8 - 4) = 180(m/min) ， a = 8 + 4 = 12 ，
故答案为：90 ，180 ，12；
（2）解：当小明与爸爸相距120m 时，设小明出发后的时间为mmin ，
爸爸出发前：90m = 120 ， 解得
爸爸出发后与小明相遇之前：90m -180(m - 4) = 120 ， 解得
小明与爸爸相遇之后：(90 + 180)(m - 8) = 120 ， 解得
答：当小明与爸爸相距120m 时，小明出发后的时间是min 或min 或min ．
【点睛】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时 间的关系是解题的关键．
(3) 10 -
【分析】本题考查了利用分母有理化的概念将二次根式进行化简．
（1）根据有理化因式的定义求解；
7 - 6 6 - 5
（2）现将 1 与 1 分母有理化，在进行比较即可；
（3）利用分母有理化计算即可．
解
故答案为： - ；
解
Q + > + ，
1 1 1 1
+ + + +10
（3）解： + + + +…
= - + - + - +…+10 -
= 10 - ．
21 ．6海里
【分析】过点 A 作AM 丄 BC ，得 △ABM 为等腰直角三角形，AM = BM ，在 Rt△AMC 中， 可求出AM = 6 海里，从而得BM = 6 海里，在Rt△AMB 中，由勾股定理可得结论．
【详解】解：过点 A 作AM 丄 BC ，垂足为M ，
由题意可知：上ACB = 30° , 上ABC=45° , AC = 12 海里， ∵ AM 丄 BC ，
: 上AMC = 上AMB = 90° ,
在Rt△AMC 中，上ACB = 30° , AC = 12 海里，
在Rt△AMB 中，上AMB = 90° , 上ABC=45° : 上BAM = 45° ,
: AM = BM = 6 海里
在Rt△AMB 中，根据勾股定理得，AM 2 + BM2 = AB2
: AB = 、/AM 2 + BM2 = = 6 海里
答：救援队与渔船之间的距离为6海里．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关 键．
22 ．(1)B (8, 0)
(2) 90°
(3)y = -x
(4) AM = FM + OF 成立，见解析
【分析】（1）作AE 丄 OB 于E ，因为 △AOB 为等腰直角三角形，A (4, 4) ，则B 点坐标可求；
（2）作 AE 丄 OB 于E ，DF 丄 OB 于F ，利用 AAS 得出 △DFC≌△CEA ，再根据等量变换， 即可求出 Ð AOD 的度数
（3）由（2）可知 ÐDOF = 45° ,则 △DOF 是等腰直角三角形，设OF = OD =m ，则 D (m, -m) ，设直线OD 的解析式为y = kx ，待定系数法求解析式即可求解．
（4）在AM上截取AN = OF ，连EN ，易证 △EAN≌△EOF ，再根据角与角之间的关系，利 用SAS 证明 △NEM≌△FEM ，则有 AM - MF = OF ，即可求证等式成立．
【详解】（1）如图所示，作 AE 丄 OB 于E ，
QA(4, 4)，
: OE = 4 ，
Q△AOB 为等腰直角三角形，且AE 丄 OB ， : OE = EB = 4 ，
: OB = 8 ，
:B(8, 0)．
（2）如图所示，作 AE 丄 OB 于E ，DF 丄 OB 于F ，
Q△ACD 为等腰直角三角形，
: AC = DC ， Ð ACD = 90° 即 Ð ACF + ÐDCF = 90° , Q Ð FDC + ÐDCF = 90° ,
: Ð ACF = Ð FDC ，
又Q ÐDFC = Ð AEC = 90° ,
:△DFC≌△CEA (AAS) ， :EC = DF ，FC = AE ， Q A(4 , 4) ，
: AE = OE = 4 ，
:FC = OE ，即 OF + EF = CE + EF ，
: OF = CE ，
: OF = DF ，
: ÐDOF = 45° ,
Q△AOB 为等腰直角三角形，
: Ð AOB = 45° ,
: Ð AOD = Ð AOB + ÐDOF = 90° .
（3）由（2）可知 ÐDOF = 45° ,则 △DOF 是等腰直角三角形， : OF = OD ，
设OF = OD =m ，则D(m, -m) ， 设直线OD 的解析式为y = kx ， 则-m = km ，
解得：k = -1 ，
:直线OD 的解析式为：y = -x ；
（4）AM = FM + OF 成立，理由：
如图所示，在AM上截取AN = OF ，连 EN ．
Q A(4 ，4) ，
: AE = OE = 4 ，
又Q Ð EAN = Ð EOF = 90° , AN = OF ， :△EAN≌△EOF (SAS)，
: Ð OEF = Ð AEN ，EF = EN ， 又Q△EGH 为等腰直角三角形，
: Ð GEH = 45° ,即 Ð OEF + Ð OEM = 45° ,
: Ð AEN + Ð OEM = 45° , 又Q Ð AEO = 90° ,
: Ð NEM = 45° = Ð FEM ， 又Q EM = EM ，
:△NEM≌△FEM (SAS) ，
:MN = MF ，
: AM - MF = AM - MN = AN ，
: AM - MF = OF ， 即AM = FM + OF ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，等腰直角三角形的性质， 三角形全等的判定和性质，线段之间的数量关系，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活选 择方法证明三角形全等是解题的关键．
23 ．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2
【分析】（1）①证 △ABD≌△AED(SAS) ，得 BD = ED ，上AED = 上B = 2上C ，再证
ED = EC ，则 BD = EC ，即可得出结论；@证上C = 上E ，再证△EAD≌△CAD(AAS) ，得
AE = AC ，即可得出结论；
（2）延长 AE 至 F，使 EF = DE ，连接DF ，证 上F = 上C ，再证△DAF≌△BAC(AAS) ，得 AF = AC ，即可得出结论；
（3）延长CA 至 F，使 AF = AD ，连接 BF ，过 C 作CH丄 BA 于点 H，证
△BAF≌△BAD(SAS) ，得上F = 上ADB = 90° , BF = BD = 6 ，设AD = AF = x ，则AC = CF - AF = 8 - x ， 再由勾股定理求出x =3 ，则 AF = AD = 3 ，进而证 △CHE 是等腰直角三角形，得EH = CH ，
然后由三角形面积求出CH = 2 ，则 EH = 2 ，最后由勾股定理得BH = 4 ，即可解决 问题．
【详解】（1）证明：① Q AD 平分 ÐBAC ， : ÐBAD = ÐEAD ，
在 △BAD 和 △EAD 中，
ìAB = AE
íï上BAD = 上EAD ，
ïlAD = AD
:△ABD≌△AED(SAS) ，
:BD = ED ，上AED = 上ABC = 2上C ，
Q 上AED = 上C + 上EDC ，
:上EDC = 上C ， :ED = EC ，
:BD = EC ，
: AC = AE + EC = AB + BD ； @ Q BE = BD ，
:上E = 上BDE ，
Q 上ABD = 上E + 上BDE = 2上E ，上ABC = 2上C ，
:上C = 上E ，
在 △EAD 和 △CAD 中，
ì上E = 上C
íï上EAD = 上CAD ，
ïlAD = AD
:△EAD≌△CAD(AAS) ，
: AE = AC ，
Q AE = AB + BE ，
: AC = AB + BE = AB + BD ；
（2）证明：如图，延长 AE 至 F，使 EF = DE ，连接DF ，
则上FDE = 上F ，
:上DEB = 上F + 上FDE = 2上F ， Q DE Ⅱ BC ，
:上DEB = 上ABC = 2上C ， : 2上F = 2上C ，
:上F = 上C ，
在△DAF 和 △BAC 中，
: △DAF≌△BAC(AAS) ，
: AF = AC ，
QCD = AD + AC ，
: CD = AB + AF = AB + AE + EF = BE + DE ；
（3）解：延长CA 至 F，使 AF = AD ，连接 BF ，过 C 作CH丄 BA 于点 H，如图，
则上H = 90° ,
Q AD 丄 BC ，
:上ADB = 上ADC = 90° ,
设上ABC = α ,则 上DAC = 2α , 上BAD = 90° - α , 上ACB = 90° - 2α , :上BAF = 上ABC + 上ACB = α + 90° - 2α = 90° - α ,
:上BAF = 上BAD ，
在△BAF 和 △BAD 中，
ìAF = AD
íï上BAF = 上BAD ，
ïlAB = AB
:△BAF≌△BAD(SAS) ，
:上F = 上ADB = 90° , BF = BD = 6 ，
在Rt△BCF 中，BC = BD + CD = 6 + 4 = 10 ， : CF = = = 8 ，
设AD = AF = x ，则 AC = CF - AF = 8 - x ，
在Rt△ACD 中，由勾股定理得：AD2 + CD2 = AC2 ， 即x2 + 42 = (8 - x)2 ，
解得：x = 3 ，
: AF = AD = 3 ，
: AB = = = 3 ， Q CE 平分 Ð ACB ，
1 1
:上BCE = 上ACE = 上ACB = (90° - 2α) = 45° - α ,
2 2
:上AEC = 上ABC + 上BCE = α + 45° - α = 45° , :△CHE 是等腰直角三角形，
: EH = CH ，
1 1
QS = AB . CH = BC . AD
△ABC 2 2 ，
即 1 × 3 × CH = 1 × 10 × 3 ， 2 2
解得：CH = 2 ，
:EH = 2 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、 三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识， 本题 综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形 是解题的关键．