2024-2025学年八年级下学期7月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年八年级下学期7月期末数学检测试卷，共31页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
2024—2025 学年第二学期八年级期末教学质量监测试题
数 学
注意事项：
1．满分 120 分，答题时间为 120 分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
第Ⅰ卷 选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 ．若代数式、在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )
A ．x > 0 B ．x ≥ -6 C ．x ≤ 6 D ．x ≥ 6
2 ．下列二次根式中能与 2 合并的是( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共 享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶 a 小时及以内， 免费骑行；超过 a 小时后，每半小时收费 1 元，这样可保证不少于 50%的骑行是免费的．制 定这一标准中的 a 的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的( )
A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差
4 ．某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩（各项成绩均按百分计）如下表所 示：
若按书面测试占30% 、实际操作占 50% 、宣传展示占 20% 计算参赛个人的综合成绩（百分 制），则小明的综合成绩是( )
项目
书面测 试
实际操 作
宣传展 示
成绩/分
95
97
95
A ．94 分 B ．95 分 C ．96 分 D ．97 分
5 ．直线y = 3x +1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是( )
A ．y = 3x + 3 B ．y = 3x - 2 C ．y = 3x + 2 D ．y = 3x -1
6 ．在 Rt△ABC 中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则 AB 的长为( )
A ．49 B ． C ． D ．7
7 ．某市在创建文明城市工作中，围绕重点，精准发力，进一步净化了城市环境，美化了市 容市貌，如图 1，园林队正在迎春公园进行绿化，图 2 为绿化面积S （单位：m2 ）与工作时 间t （单位：h ）之间的关系图象，工作期间有 1 小时休息，由图可知，休息后每小时绿化 面积为( )
A ．50m2 B ．80m2 C ．100m2 D ．40m2
8．如图，直线y1 = x + b 与y2 = kx -1 相交于点 P，若点 P 的横坐标为-1，则关于 x 的不等式 x + b > kx -1 的解集是( )
A ．x ≥ -1 B ．x > -1 C ．x ≤ -1 D ．x < -1
9 ．如图所示， □ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形 AEFG，若
上BAE = 40° , 上CEF = 15° ,则Ð C 的度数是( )
A ．115° B ．105° C ．75° D ．65°
10 ．如图，在 △ABC 中，AB = 10 ，BC = 6 ，D 为AB 上一点，BC = BD ，BE 丄 CD 于点E ， F 为AC 的中点，连接EF ，则 EF 的长为( )
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．若一个长方体的长为2 cm ，宽为2 cm ，高为3cm ，则它的体积为 cm3 ．
12 ．一组数据 4 ，5，x ，7 ，9 的平均数为 6，则这组数据的众数为
13 ．如图，在四边形ABCD 中，AB = 12，BC = 17，CD = 8，AD = 9，BD 为四边形ABCD 的 对角广线，且BD = 15 ，则四边形 ABCD 的面积为 ．
14 ．如图，在 □ABCD 中，对角线交于点 O，点 E 在线段AO 上（不与点A ，O 重合），点 F 在线段 O ，C 上（不与点 O ，C 重合），当 E，F 的位置满足 条件时，四边形DEBF 是平行四边形．
15 ．如图，直线y = 2x + 2 与 x，y 轴分别交于 A ，B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边
△OBC ，将点 C 向左平移，使其对应点C¢ 恰好落在直线AB 上，则点C¢ 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）
16 ．（1）计算：4 ÷ - + 5 - ．
（2）先化简，再求值：(a - )(a + )- a (a - 8)，其中
17 ．如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过A(1,1) ，B(3, -3) ，C(-2, m) 三点．
（1）求 m 的值；
（2）设这条直线与y 轴相交于点D ，求 ΔOCD 的面积．
18．八年级 11 班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE ，测得如 下数据：
①测得BD 的长度为 8 米：（注：BD 丄 CE ）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为 17 米；
③牵线放风筝的松松身高 1.6 米．
(1)求风筝的高度CE ．
(2)若松松同学想风筝沿CD 方向下降 9 米，则他应该往回收线多少米？
19 ．为喜迎党的生日，某教育系统党委准备组织“青春永向党，建功新时代”主题演讲比
赛．甲、乙两个党支部根据初赛成绩， 各选出 5 名教师（编号分别为 1 ，2 ，3 ，4 ，5）组成 甲、乙两代表队参加决赛．两个队各选出的 5 名教师的决赛成绩（满分为 100 分）如图所示．
(1)根据统计图补全表格中的数据．
(2)结合两队决赛成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好．
平均数/分
中位数/分
众数/分
甲队
85
乙队
85
100
(3)已知乙队决赛成绩的方差为 160，请计算甲队决赛成绩的方差，并判断哪个队的决赛成绩 较为稳定．
20 ．某工厂计划生产甲、乙两种产品共 2500 吨，每生产 1 吨甲产品可获得利润 0.3 万元，
每生产 1 吨乙产品可获得利润 0.4 万元．设该工厂生产了甲产品 x（吨），生产甲、乙两种产 品获得的总利润为y（万元）．
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）若每生产 1 吨甲产品需要 A 原料 0.25 吨，每生产 1 吨乙产品需要 A 原料 0.5 吨．受市 场影响，该厂能获得的 A 原料至多为 1000 吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种 产品各为多少吨时，能获得最大利润．
21 ．阅读材料，并完成下列问题．
（中国古代数学著作《周髀算经》（如图 1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅
五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为 3 和 4 时，那么斜边的长为 5 ．”上 述记载表明了：在Rt△ABC 中，如果上C = 90° , BC = a ，AC = b ，AB = c ，那么 a ，b ，c 三 者之间的数量关系是：a2 + b2 = c2 ．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦 图”（如图 2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参 考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整．
证明： ，S正方形ABDE = c2 ，S正方形MNPQ = ．
又∵正方形MNPQ 的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形ABDE 的面积，
整理得a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 ，即 ．
(1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整．
(2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为EF ， 如果AB = 4，BC = 8 ，求 BE 的长．
22 ．综合与探究
【问题情境】小明将两个全等的Rt△ABC 和Rt△DEF重叠在一起，其中
上ACB = 上DFE = 90°, 上ABC = 上DEF = 30°, AC = 1．固定 △DEF 不动，将△ABC 沿直线ED 向左平移，当点B 与点D 重合时，停止移动．
【猜想证明】
（1）如图，在平移过程中，当D 为AB 的中点时，连接DC，CF，BF ，请你猜想四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．
（2）如图，在平移过程中，连接DC，CF，FB ，四边形CDBF 的形状在不断地变化，判断 它的面积变化情况，并求出其面积．
【探索发现】
（3）在平移过程中，四边形CDBF 有什么共同特征？（写出两个即可）
23 ．如图，在平面直角坐标系中，点A(0, 4) ，点B(3, 0) 为正方形ABCD 的两个顶点，点C 和D 在第一象限．
(1)求点D 的坐标；
(2)求直线BC 的函数表达式；
(3)在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；
若不存在，说明理由．
1 ．D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解一元一次不等式，二次根式中被开方数必须是 非负数，所以可得x - 6 ≥ 0 ，解不等式求出x 的取值范围即可．
解 在实数范围内有意义，
:x - 6 ≥ 0 ，
解得：x ≥ 6 ． 故选：D．
2 ．B
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为 3 的二次根式即可．
不能与 合并，故该选项错误；
B 、 能与 合并，故该选项正确；
C 、 不能与 合并，故该选项错误；
D 、、 ＝3 不能与 合并，错误；
故选 B．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3 ．B
【分析】根据需要保证不少于 50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调 查所得数据的中位数.
【详解】因为需要保证不少于 50%的骑行是免费的，
所以制定这一标准中的 a 的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数， 故选 B．
【点睛】本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单 位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对 分布数列的代表性．
4 ．C
【分析】本题考查加权平均数的计算， 根据加权平均数的计算方法，将各项目成绩分别乘以 对应的权重比例，再求和即可得出综合成绩．
【详解】小明的综合成绩为：95 × 30% + 97 × 50% + 95 × 20% = 96 分，
故选：C．
5 ．D
【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案．
【详解】解：直线 y = 3x +1 向下平移 2 个单位，所得直线的解析式是：
y = 3x +1- 2 = 3x -1 故选 D．
【点睛】考核知识点：一次函数图象的平移.理解平移性质是关键．
6 ．D
【分析】根据勾股定理可知： 以斜边为边长的正方形的面积等于以两条直角边为边长的正方 形的面积和，据此求解即可．
【详解】解：∵以直角边为边长的两个正方形的面积为 35 和 14， :AB2 ＝AC2+BC2 ＝35+14 ＝49，
:AB ＝7（负值舍去）， 故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ，b，斜 边长为 c，那么 a2＋b2 ＝c2．
7 ．A
【分析】由图象可知休息 1 小时后，园林队工作了 2 个小时，绿化了160 - 60 = 100m2 ，即可 求出答案．
【详解】解：由图象可知，
园林队休息后继续工作了：4 - 2 = 2h ， 绿化面积为160 - 60 = 100m2 ，
:休息后每小时绿化面积为：100 ÷ 2 = 50m2 故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，从图象中找出与所求内容相关的信息是解此题的 关键．
8 ．B
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象可知：当x > -1 时， y1 = x + b 的图像在图像y2 = kx -1 的上方，据此即可解答．
【详解】解：由函数图像可知：当x > -1 时，x + b > kx -1 ，即不等式x + b > kx -1 的解集为：x > -1 ． 故选：B．
9 ．A
【分析】由 ADⅡBC，可得∠EAD=180°-∠AEC=75°, 则∠BAD 度数可求，依据平行四边形的 对角相等可求∠C 度数．
【详解】∵四边形 AEFG 是正方形， :∠AEF=90° ,
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
:ADⅡBC ，∠C=∠BAD，
:∠EAD=180°-∠AEC=180°-90°-15°=75° ,
:∠BAD=40°+75°=115° , :∠C=115° .
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的性质， 解题的关键是运用平行四边形 的对角相等及平行线的性质转化角．
10 ．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质，首先根据BC = BD = 6 ， AB = 10 ，可得：AD = 4 ，因为BE 丄 CD ，根据等腰三角形的三线合一定理可知点E 是DC 的中点，又因为点F 为AC 的中点，可得：EF 是 △CAD 的中位线，根据中位线的性质可以 求出EF = 2 ．
【详解】解：Q BC = BD = 6 ，AB = 10 ，
: AD = AB - BD = 10 - 6 = 4 ， 又Q BE 丄 CD ，
:DE = CE ，
: 点E 是DC 的中点，
Q 点F 为AC 的中点，
:EF 是 △CAD 的中位线，
故选：C．
11 ．72
【分析】本题考查二次根式乘法运算， 涉及长方体体积公式，由题意所给长方体棱长，结合 长方体体积公式代值，再由二次根式乘法运算法则求解即可得到答案．熟记二次根式乘法运 算法则是解决问题的关键．
【详解】解：若一个长方体的长为2 cm ，宽为 2 cm ，高为 3cm ，则它的体积为
故答案为：72 ．
12 ．5
【分析】先根据平均数的定义列方程求出 x 的值，再依据众数的定义得出答案． 【详解】解：∵数据 4 ，5，x ，7 ，9 的平均数为 6，
: 4 + 5 + x + 7 + 9 = 5 × 6 ， 解得x = 5 ，
所以这组数据为数据 4 ，5 ，5 ，7 ，9 则这组数据的众数为 5， 故答案为：5．
【点睛】本题主要考查众数和平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．
13 ．114
【分析】本题考查求四边形面积， 涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识， 在
△BCD 中和△ABD 中，由勾股定理的逆定理证得△BCD 和△ABD 均为直角三角形，数形 结合得到四边形ABCD 的面积为S△ABD + S△ 代值求解即可得到答 案．熟记勾股定理的逆定理判定△BCD 和△ABD 均为直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：在△BCD 中，BD = 15，BC = 17，CD = 8 ，
:BD2 = 225, BC2 = 289, CD2 = 64 ，则 BD2 + CD2 = 289 = BC2 ，
由勾股定理的逆定理可知， △BCD 为直角三角形，且 Ð BDC=90° ; 在△ABD 中，AB = 12，BD = 15，AD = 9 ，
: AB2 = 144, BD2 = 225, AD2 = 81，则 AB2 + AD2 = 225 = BD2 ，
由勾股定理的逆定理可知， △ABD 为直角三角形，且上BAD = 90° ;
1 1 1 1
: 四边形ABCD 的面积为S△ABD + S△BCD = 2 AB . AD + 2 BD . DC = 2 × 12 × 9 + 2 × 15 × 8 = 114 ， 故答案为：114 ．
14 ．如AE = CF ，答案不唯一
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是 平行四边形．
当AE = CF 时四边形DEBF 是平行四边形；根据四边形ABCD 是平行四边形，可得DO = BO ， AO = CO ，再由条件AE = CF 可得EO = FO ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可 判定四边形DEBF 是平行四边形．
【详解】解：当 AE = CF 时，四边形DEBF 是平行四边形，理由如下：
Q 四边形ABCD 是平行四边形，
:DO = BO ，AO = CO ，
Q AE = CF ，
:EO = FO ，
: 四边形DEBF 是平行四边形，
故答案为：AE = CF ．
15 ．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，先求出直线
y = 2x + 2 与y 轴交点B 的坐标为(0, 2) ，再由C 在线段OB 的垂直平分线上，得出C 点纵坐 标为1，则点C¢ 纵坐标为 1，，将 y = 1代入y = 2x + 2 ，求得 即可得到C¢ 的坐标． 【详解】解：在 y = 2x + 2 中，当x =0 时，得y = 2 ，
:B(0, 2)．
Q 以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC ， : C 在线段OB 的垂直平分线上，
:点C 纵坐标为 1，
:将点 C 向左平移，使其对应点C¢ 恰好落在直线AB 上， :点C¢ 纵坐标为 1，
将y = 1代入y = 2x + 2 ，得1 = 2x + 2 ， 解得
: C¢ 的坐标是 故答案为
16 ．（1）3 - 5 ；（2）8a - 2 ；8
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的化简求值．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
1
（2）先计算平方差公式单项式乘以多项式，再计算加减，最后将 a = + - 代入即可．
4
【详解】（1）解：原式 = 4 5 - 2 + - 5
= 3 - 5；
（2）解：(a - )(a + )- a (a - 8)
= a2 - 2 - a2 + 8a
= 8a - 2 ．
· 1 ( 1 ö
当a = + 4 时，原式= 8a - 2 = 8 çè + 4 ,÷ - 2 = 8 ．
17 ．（1）7；（2）3
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线 AB 的解析式，再把点 C 的坐标代入求解即可；
（2）由（1）题的结果可得点 D 的坐标，再根据三角形的面积计算． 【详解】解：（1）设直线 AB 的解析式为y = kx + b ，
= -2
= 3
把A(1,1) ，B(3,-3) 代入，得 解得 í
:直线AB 的解析式为y = -2x + 3 ，
把C(-2, m) 代入y = -2x + 3 中，得m = 7 ；
（2）令 x = 0 ，则 y = 3 ，
:直线AB 与y 轴的交点D 的坐标为(0, 3) ． 而点C 的坐标为(-2, 7) ，
,
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征和 三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解答的关键．
18 ．(1)16.6 米
(2)7 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用， 熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解 题的关键；
（1）利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论:
【详解】（1）解：在 Rt△CDB 中，
由勾股定理得，CD2 = BC2 - BD2 = 172 - 82 = 225
所以，CD = 15 （负值舍去），
所以，CE = CD + DE = 15 +1.6 = 16.6 （米）， 答：风筝的高度CE 为16.6 米；
（2）如图：由题意得，CM = 9 米，: DM = 6 米，
: BM 2 = DM 2 + BD2 = 82 + 62 = 100 ， : BM = 10 米，
: BC - BM = 7 （米）， :他应该往回收线 7 米．
19 ．(1)补全表格见解析
(2)甲，分析见解析
(3)甲队方差为 70；甲，判断见解析
【分析】（1）由条形统计图得到甲队、乙队的具体分数， 根据平均数、众数、中位数的求解 公式代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中表格里的平均数和中位数，两个队的平均数都相同，甲队的中位数大，从而
确定答案；
（3）根据数据，计算 s，比较 s 、s 的大小关系，即可判断两队的稳定性．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，甲队分数为80, 75,85,100,85 ，
: 甲队平均数为 80 + 75 + 85 +100 + 85) = 85 分；甲队众数为85 ；
由条形统计图可知，乙队分数为100, 70,100,80, 75 ，按照从小到大排序为70, 75,80,100,100 ， : 乙队中位数为80 分；
综上所述，填表如下：
（2）解：如表所示：
甲队的决赛成绩好些．
∵两个队的平均数都相同，甲队的中位数大，
:在平均数相同的情况下，中位数大的甲队决赛成绩好些；
（3）解：甲队，
: s < s ，
:甲队的决赛成绩较为稳定．
【点睛】本题考查统计综合、涉及统计图表获取信息、平均数、中位数、众数的意义及求法、 由平均数和中位数做决策、计算方差、由方差判定稳定性等知识．熟记相关统计量的意义及 求法是解决问题的关键．
平均数/分
中位数/分
众数/分
甲队
85
85
85
乙队
85
80
100
平均数/分
中位数/分
众数/分
甲队
85
85
85
乙队
85
80
100
20 ．（1）y = -0.1x + 1000 ；（2）工厂生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨时，能获得最大 利润.
【分析】（1）利润 y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润 =生产 1 吨甲产品的利润 0.3 万元×甲产品的吨数 x，即 0.3x 万元，生产乙产品的利润＝生 产 1 吨乙产品的利润 0.4 万元×乙产品的吨数（2500 -x），即 0.4（2500 -x）万元．
（2）由（1）得 y 是 x 的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量 x 的取值范围再确定当 x 取何值时，利润 y 最大．
【详解】（1）y = x × 0.3 + (2500 - x )×0.4 = -0.1x +1000 .
（2）由题意得：x ×0.25 +(2500 - x )×0.5≤1000 ，解得 x≥1000 .
又因为x≥2500 ，所以1000≤x≤2500 .
由（1）可知，-0.1 < 0 ，所以y 的值随着x 的增加而减小.
所以当x =1000 时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500 -1000 = 1500 （吨）.
答：工厂生产甲产品 1000 吨，乙产品 1500 吨，时，能获得最大利润.
【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求 利润 y 与甲产品生产的吨数 x 的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值 范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．
21 ．(1) (a + b)2 ；a2 + b2 = c2 (2)3
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键．
（1）根据正方形MNPQ 的边长为(a + b) ，直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方， 即可得到答案；
（2）设 BE = x ，则 EC = 8 - x ，则 AE = EC = 8 - x ，在 Rt△ABE 中，根据 AE2 = AB2 + BE2 ， 即可解答．
解 正方形ABDE = c2 ，S正方形MNPQ = (a + b)2 ．
又:正方形MNPQ 的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形ABDE 的面积，
整理得a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 ， 即a2 + b2 = c2 ．
故答案为：(a + b)2 ；a2 + b2 = c2 ．
（2）设 BE = x ，则 EC = 8 - x ， 在矩形ABCD 中，ÐB = 90°
由折叠的性质可知，AE = EC = 8 - x ． 在 Rt△ABE 中，AE2 = AB2 + BE2 ，
则(8 - x )2 = 42 + x2 ， 解得x = 3 ，
即BE 的长为 3．
22 ．（1）菱形，证明见解析；
（2）四边形CDBF 的形状在不断改变，但它的面积不变化，S四边形
（3）在平移过程中，四边形CDBF 共同特征为CF∥BD，DF 丄 BC
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD = AD = BD ，再由平行四 边形的判定得到四边形CDBF 是平行四边形，结合CD = AD = BD ，由菱形的判定定理即可 得证；
（2）由含30° 直角三角形性质、勾股定理及平移性质得到相关线段长度，进而确定
SΔACD = SΔCFB ，数形结合，由 S四边形CDBF = SΔCDB + SΔCFB = SΔCDB + SΔACD = SΔABC 即可求出面积；
（3）由平移性质及前面问题的求解过程中即可得证． 【详解】解：（1）四边形CDBF 是菱形．
证明如下：
: △ACB 是直角三角形，D 为AB 的中点， : CD = AD = BD ．
: AD = CF ，AB PFC ，
:四边形CDBF 是平行四边形． 又: CD = BD ，
:四边形CDBF 是菱形；
（2）四边形CDBF 的形状在不断改变，但它的面积不变化． 由平移的性质，得AC Ⅱ DF ．
在Rt△ABC 中，上ACB = 90°, 上ABC = 30°, AC = 1 ，
则AB = 2AC = 2 ．
在Rt△ABC 中，由勾股定理可得
由平移性质可得CF∥AD，CF = AD ，
: SΔACD = SΔCFB ，
（3）在平移过程中，四边形CDBF 共同特征为①CF ∥ BD ；② DF 丄 BC ．
【点睛】本题考查几何综合， 涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的 判定与性质、菱形的判定、平移性质、含30° 直角三角形性质、勾股定理等知识．熟记相关 几何判定与性质，并灵活运用是解决问题的关键．
23 ．(1)D(4, 7)
(3)存在，(3, 0) 或(11, 6)
【分析】（1）过 D 作DE ^ y 轴于点 E，根据正方形的性质结合题意易证
△DAE ≌△ABO(AAS) ，即得出 DE = OA = 4 ，AE = OB = 3 ，从而得出OE = 7 ，即D(4, 7)；
（2）过点 C 作CF 丄 x 轴于点 F，同理可证得 △BCF ≌△ABO ，即得出 CF = OB = 3 ， BF = AO = 4 ，从而得出 OF = 7 ，即C(7, 3) ．再利用待定系数法求解即可；
（3）由正方形的性质可得出 CD 丄 BC ，即说明要使△PCD 为等腰三角形，只存在
CD = PC ．分类讨论：①当点 P 位于 C 点下方时，此时点 P 与点 B 重合，即P(3,0) ；② 当点 P 位于 C 点上方时，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：过 D 作DE ^ y 轴于点 E，如图 1，
:四边形ABCD 是正方形，
: AD = AB ，上DAB = 90° , : 上DAE + 上OAB = 90° .
又: 上ABO + 上OAB = 90° , : 上ABO = 上DAE ．
: DE 丄 AE ，
: 上AED = 90° = 上AOB ．
在 △DAE 和 △ABO 中 : △DAE ≌△ABO(AAS) ，
: DE = OA = 4 ，AE = OB = 3 ，
: OE = 7 ， : D (4, 7)；
（2）解：过点 C 作CF 丄 x 轴于点 F，如图 1， 同理可证得 △BCF ≌△ABO ，
: CF = OB = 3 ，BF = AO = 4 ，
: OF = 7 ， : C (7, 3)．
设直线BC 的函数表达式为y = kx + b （ k ≠ 0 ，k，b 为常数）． 代入B(3, 0) ，C (7, 3) ，得
解得：
（3）解：:四边形ABCD 是正方形， : CD 丄 BC ．
:在直线BC 上存在点 P，使△PCD 为等腰三角形， :只存在CD = PC ．
分类讨论：①当点 P 位于 C 点下方时，
: CD = PC ，CD 丄 BC ， :此时点 P 与点 B 重合， : P(3,0) ；
②当点 P 位于 C 点上方时，如图 2，
: CD = PC = BC ， :点 C 为PB 中点．
: B (3, 0) ，C (7, 3)， : P (11, 6)；
综上可知点 P 的坐标为(3, 0) 或(11, 6) ．
【点睛】本题考查正方形的性质， 三角形全等的判定和性质，坐标与图形，利用待定系数法 求一次函数解析式，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．