人教版（2024）九年级上册因式分解法课后复习题

这是一份人教版（2024）九年级上册因式分解法课后复习题，共37页。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：10大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：因式分解法（重难点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
方法提醒：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【课前热身】
1．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4）．
【分析】（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】解：（1），
，
或，
，；
（2），
，
，
或，
，；
（3），
，
或，
，；
（4），
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）由已知方程可得两个关于的一元一次方程，解之即可得出答案；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
（3）直接开平方法求解即可；
（4）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【详解】解：（1），
或，
解得，；
（2），
，
则或，
解得，；
（3），
，
，；
（4），
，
或，
解得，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
3．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（3）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：（1），
，
或，
解得：，；
（2），
，
或，
解得：，；
（3），
，
或，
解得：，；
（4），
，
，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
(1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法.
(2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。
【课前热身】
1．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；
（2）根据配方法进行求解方程即可；
（2）根据公式法进行求解方程即可；
（4）根据因式分解法进行求解方程即可．
【详解】解：（1），
，
，；
（2），
，
，
，
，；
（3），
整理，，，
△，
，
，；
（4），
，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
2．选用适当方法求下列方程的精确解．
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用求根公式法解，，，，则△，然后代入公式计算即可；
（2）方程两边开方，化为两个一元一次方程．
【详解】解：（1），，，
△，
，
，；
（2）方程两边开方，得，
即或，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定，，的值，计算出△，然后代入公式．也考查了用直接开平方法解一元二次方程．

【题型1 】 利用乘积为零解方程
1．（2024秋•沭阳县校级期末）方程的解是
A．B．，C．，D．无实数根
【答案】
【分析】根据已知方程得到两个关于的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：，
或，
解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（2025•乌当区二模）方程的解是
A．B．C．，D．，
【答案】
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：方程，
可得或，
解得：，，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2025•河南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A．2B．1C．D．
【答案】
【分析】解一元二次方程得或，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，即可求出的值．
【详解】解：，
解得或，
，
．
故选：．
【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2025•鞍山模拟）已知一元二次方程，则方程的根为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据两个数的积为0，则其中至少一个为0即可求解．
【详解】解：一元二次方程，
原方程可化为或，
方程的根为：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键．
【题型2 】 利用提公因式法解方程
5．（2025•集美区模拟）一元二次方程的解是
A．B．C．，D．，
【答案】
【分析】用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程因式分解法，熟练掌握直因式分解法解一元二次方程是解本题的关键．
6．（2025•武汉模拟）一元二次方程的根是
A．B．，C．，D．
【答案】
【分析】把方程右边的部分移到左边，再利用提取公因式法分解因式，然后转化成两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用分解因式法解一元二次方程．
7．（2025春•肥城市期中）方程的根是
A．0B．2C．0或1D．0或2
【答案】
【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：由原方程，得，
，
或，
解得，．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8．（2025•浦口区校级模拟）一元二次方程的解是 ， ．
【答案】，．
【分析】移项后，左边提取公因式，将左边因式分解，再进一步求解即可．
【详解】解：，
，
则，
或，
，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）把右边的项移到左边，用完全平方公式求出方程的根．（3）用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根．
【详解】解：（1）原方程可变形为：
，
或．
，．
（2）原方程可变形为
，
．
．
（3）原方程可变形为
，
或
，．
（4）原方程可变形为
，
，
即．
或．
，．
【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）用完全平方公式因式分解求出方程的根．（3）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根．
10．（2024秋•威县期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示：
其中完全正确的是
A．甲B．甲和乙C．乙D．都不正确
【答案】
【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：的符号不能确定，
依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
乙利用解一元二次方程因式分解法，
移项，得．
．
或，
解得，，计算正确；
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【题型3 】 利用因式分解法解方程
11．用因式分解法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）先移项，然后提公因式即可解答本题；
（2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
或，
解得，；
（2），
，
，
，
或，
解得，．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．运用平方差解方程：．
【答案】，．
【分析】方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为0两数至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可．
【详解】解：方程移项得：，
分解因式得：，
整理得：，
所以或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．解方程：．
【分析】移项后根据平方差公式因式分解，再解两个关于的一元一次方程即可得原方程的解．
【详解】解：移项，得：，
即，
因式分解，得：，
整理，得：，
或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
14．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），；
（6）．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解，可得结论；
（2）（3）（5）若方程右边不是0，通过移项将方程右边化为0，与（1）同理利用提公因式法对方程左边因式分解，再求同解方程的解即可；
（4）（6）利用公式法对方程左边因式分解，再求同解方程的解即可．
【详解】解：（1），
，
或，
，；
（2），
，
或，
，；
（3），
，
，即，
或，
，；
（4），
，即，
或，
，；
（5），
，
，
或，
，；
（6），
，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的方法，属于中考常考题型．
15．用因式分解法解方程：，为常数）．
【答案】，．
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【题型4】用合适的方法解方程
16．用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（1）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（2）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（3）分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（4）方程整理得：，即，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．用合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），．
（4），．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用直接开方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原方程可化为，即，
或，
，；
（2）原方程可化为，
或，
，；
（3）原方程可化为，其中，，，
△，
，
，．
（4）原方程可化为，
，
或，
，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法．
18．用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根．（3）用求根公式求出方程的根．（4）把常数项移到右边，用配方法解方程．
【详解】解：（1）原方程可变形为
，
即，
或．
解得，；
（2）原方程可变形为
，
，，，
，
，．
（3），，，
，
，．
（4）原方程可变形为
，，．
，
，．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的结构特点选择适当的方法解方程，（1）题用提公因式法求出方程的根．（2）（3）题把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根．（4）题把常数项移到右边，用配方法解方程．
【题型5 】用因式分解法解方程的过程出错问题
19．（2025•丰城市一模）习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以得，
第一步，
第二步，
第三步，
（1）嘉嘉的解答过程从第 第一 步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）第一；
（2）见解析．
【分析】（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
【详解】解：（1）根据解一元二次方程的计算的步骤可知：
嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
（2）原方程移项得：，
分解因式，
即或，
所以，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程．
【答案】；；，．正确的解答过程见解析．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：两个都错：；
，
，
，
，
，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．
【题型6】因式分解法进行求值
21．（2025春•怀宁县期中）已知是实数，且满足，则的值为
A．3B．3或C．或6D．6
【答案】
【分析】把看作一个整体，将已知方程左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：，
分解因式得：，
可得或，
而中，△，无解，
则．
故选：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
22．（2024秋•福田区期末）已知，，则的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
或，
（舍去）或，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【题型7】因式分解法的应用
23．（2024秋•潮阳区期末）已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为
A．48B．24C．24或D．48或
【答案】
【分析】解，可得，，如图，，，则，由，可得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：，
，
解得，，，
如图，，，则，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（2025春•嵊州市期中）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是
A．24或B．24C．D．或24
【答案】
【分析】先解方程得到或，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设，，过点作于，则，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：解方程得或，
该三角形的第三边的长为10或6，
当第三边长为10时，
，
该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，
该三角形的面积为；
当第三边长为6时，如图所示，不妨设，，
过点作于，则，
，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或24，
故选：．
【点睛】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2025春•浙江期中）如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 20 ．
【答案】20．
【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．
【详解】解：，
，
或，
，，
等腰三角形的三边为4，4，8或8，8，4，
，4，8不能构成三角形，
这个等腰三角形的三边长为8，8，4，
．
故答案为：20．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
26．（2025•清原县一模）定义运算：☆，例如：3☆，则方程☆的解为
A．，B．，
C．，D．，
【答案】
【分析】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
，
，
或，
，．
故选：．
【点睛】此题考查了新定义，解一元二次方程因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【题型8】新定义问题
27．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是
A．B．4C．或4D．1或
【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果．
【详解】解：对于任意实数，，都有★，
★，
即：，
，
，
或，
，．
故选：．
【点睛】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题．
28．（2025•番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据新运算法则列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】解：☆★6，
，
，
，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，理解题中的新定义运算法则是解题的关键．
29．（2023秋•澄海区期末）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较小值．如：，，按照这个规定，方程，的解为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据题意可得：从而整理可得：，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】解：，，
，
整理得：，
，
或，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数大小比较，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【题型9】含绝对值的一元二次方程
30．先阅读例题，再解答问题．
例：解方程．
解：当时，，
解得（不合题意，舍去），；
当时，，
解得（不合题意，舍去），．
综上所述，原方程的解为或．
依照上述解法解方程：．
【答案】或．
【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【详解】解：当时，，
，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
当时，，
，
解得，．
综上所述，原方程的解为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏．
【题型10】利用十字相乘法解方程
31．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即
所以．
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．
依照上面的方法，解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
【详解】解：（1），
或，
所以，；
（2），
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
32．用十字相乘法解方程：
（1）；（2）．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）；
，
，，
，．
（2）
，
，，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力．
33．用十字相乘法解方程
（1）；
（2）．
【分析】各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：（1）方程整理得：，
解得：，；
（2）方程整理得：，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
34．试利用十字相乘法，求出关于的方程的解．
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
35．我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1），
，
，，
，；
（2），
，
，，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
36．（2025•福田区校级三模）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法．如：解方程．
解：原方程可变形，得，，．
解得，．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得，，
．解得，．
上述过程中的，，，表示的数分别为 7 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）7，2，，；
（2），．
【分析】（1）先根据“平均数法”确定，的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定，的值即可；
（2）仿照“平均值法”的步骤解答即可．
【详解】解：（1）由题意，得，
，
由此原方程可变形，得，
，
，
解得，．
，
，．
故答案为：7，2，，；
（2）原方程可变形，得，
，
．
解得，．
【点睛】本题以阅读理解的形式考查一元二次方程的解法，准确解答需要一定的数感、理解能力等，解答中涉及平均数，平方差公式，直接开平方法解一元二次方程等知识，理解题目中提供的解答过程和每步的依据是解题的关键．
一．选择题（共6小题）
1．（2025春•鹿城区校级期中）一元二次方程的解为
A．B．C．，D．，
【答案】
【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
，
，，
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
2．（2024秋•邓州市期末）方程的根是
A．B．C．，D．，
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程整理得，
，
或，
解得，．
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
3．（2024秋•淮滨县期末）一元二次方程的解是
A．B．C．，D．
【答案】
【分析】先移项、然后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：原方程整理得：，
，，
，．
故选：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．
4．（2025•吉首市校级开学）用因式分解法解下列方程，正确的是
A．，则或
B．，则或
C．，则或
D．，则
【答案】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤逐一判断即可．
【详解】解：．，右边不是0，无法得出或，此选项错误，不符合题意；
．，则或，此选项正确，符合题意；
．，不一定是或，此选项错误，不符合题意；
．，则或，此选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
5．（2025春•海曙区校级期中）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为
A．B．8C．D．10
【答案】
【分析】先求出方程的解，再根据菱形的性质进行计算即可．
【详解】解：由方程得，
，，
所以菱形的两条对角线长度为4和8，
则菱形的边长为：．
故选：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及菱形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及菱形的性质是解题的关键．
6．（2025春•龙泉市期中）若△的两边长是方程的两个根，则△的斜边长为
A．6B．或C．6或D．6或
【答案】
【分析】首先用因式分解法解方程，求出方程的解，再分析所有情况，利用勾股定理即可求出斜边．
【详解】解：，
，
，，
△的两直角边的长都是方程的根，
有以下情况：
（1）两直角边是4，6，由勾股定理得：
斜边为：，
（2）一直角边是4，一斜边是6，
令一直角边为：，
故选：．
【点睛】解此题的关键是解方程求出方程的解，难点是分析出各种可能出现的情况，进一步求出斜边长．难度不大．
二．填空题（共6小题）
7．（2025•泰安模拟）一元二次方程的解为 ．
【答案】．
【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：由题知，
，
，
，
，
则或，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
8．（2025春•青神县期中）小聪同学解方程得到，则他漏掉一个根是 0 ．
【答案】0．
【分析】利用因式分解法解方程，则可得到被他漏掉的一个根．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
9．（2024秋•常德期末）已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为 8 ．
【分析】先求出方程的解，再利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，最后求出周长即可．
【详解】解：，
，
所以，．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．
10．（2024秋•郫都区校级期中）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是 ．
【答案】．
【分析】由题意知，再将展开即可得出答案．
【详解】解：由题意知，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
11．（2024春•龙湾区校级期中）若方程的解为，，则方程的解为 ， ．
【答案】，．
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
关于的方程的解是，，
方程化为或，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．
12．（2024秋•前郭县校级期中）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较大的数，如：，．按照这个规定，方程的解为 ．
【答案】．
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想，建立关于的方程，再用因式分解法对所得方程进行求解即可．
【详解】解：由题知，
当，即时，
，
，
则，
此时，
故此种情况舍去．
当，即时，
，
，
则，（舍去）．
综上所述，方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
13．用适当方法解方程：
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）宜用公式法；（2）运用提取公因式法将左边分解因式求解；（3）宜用公式法求解．
【详解】解：（1），
，
，
，．
（2），
，
，
，．
（3），
，
．
【点睛】此题考查选择合适的方法解一元二次方程的能力，应熟练掌握各种解法，属基础题．
14．按指定的方法解方程：
（1）（直接开平方法）； （2）（配方法）；
（3）（因式分解法）； （4）（公式法）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把25移到方程的右边，利用直接开平方解答即可．
（2）先把5移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于9，可以解答．
（3）先移项，发现左边的形式是完全平方式，则可以分解因式，利用因式分解法解答．
（4）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出△的值，最后套用求根公式解得．
【详解】解：（1）
移项得，
所以，
解得，，；
（2）
移项得，
配方，得
即
所以
解得，，；
（3）
移项得，
即
解得，；
（4）
，，，
△
，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法或配方法，这两种方法适用于任何一元二次方程．
15．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）．
【分析】（1）用十字相乘法因式分解求出方程的根，
（2）用平方差公式因式分解求出方程的根，
（3）用提公因式法因式分解求出方程的根，
（4）用平方差公式因式分解求出方程的根，
（5）用十字相乘法因式分解求出方程的根．
【详解】解：（1）
，．
（2）
，．
（3）
，．
（4）
，．
（5）
，．
【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解方程，（1）题用十字相乘法因式分解求出方程的根，（2）用平方差公式因式分解求出方程的根，（3）用提公因式法因式分解求出方程的根，（4）用平方差公式因式分解求出方程的根，（5）用十字相乘法因式分解求出方程的根．
16．运用平方差，完全平方公式解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】平方差公式为：，完全平方公式为：．
【详解】解：（1），
所以，
即，，
得，．
（2）方程变为，
所以，
即，，
得，．
（3）原方程变为，
所以，
即，
得，．
（4）．
，
，
，
所以，．
【点睛】运用因式分解法解一元二次方程，能提公因式动用提公因式法，能运用完全平方式或平方差就用其公式来降次求解．
17．已知下列为正整数）个关于的一元二次方程：
（1）方程的解为 1， ；
方程的解为 ；
方程的解为 ；
（2）解关于的方程：．
【分析】（1）用因式分解法可以求出这三个方程的解，同时发现的解的规律：都有一个根是1，而另一个根是负整数；
（2）有（1）中规律可得这个方程的解是1，．
【详解】解：（1），
，
或．
，
，
或．
，
，
或．
故答案分别是：1，；1，；1，．
（2），
，
或．
，．
【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，这组题中的几个方程是有规律的，它们都有一个根是1，另一个根是负整数．
18．阅读材料：若是的一个因式，我们不难得到，易知．现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得．
问题：若是的一个因式，请运用上述方法求出的值．
【分析】求出，代入方程，即可求出．
【详解】解：是的一个因式，，
，
代入方程得：
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分解因式的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力．甲
乙
两边同时除以，得．
移项，得．
．
或，解得，．
小李：
解：两边同除以，得
，
则．
小王：
解：移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．