专题21.10 一元二次方程解法-因式分解法（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.10  一元二次方程解法-因式分解法（专项练习）

一、单选题

知识点一、用因式分解法解一元二次方程

1．方程x2=x的解是（　　）

A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=0

2．方程的解是

A． B． C．或 D．或

3．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．2或4

4．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A．10 B．14 C．10或14 D．8或10

知识点二、因式分解法解一元二次方程的应用

5．已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)

A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3

6．关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=-2，x2=3，则方程a（x+m-5）2+n=0的解是（　　）

A．x1=-2，x2=3

B．x1=-7，x2=-2

C．x1=3，x2=-2

D．x1=3，x2=8

7．若，则代数式的值（ ）

A．-1 B．3 C．-1或3 D．1或-3

8．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（ ）

A．x1=1，x2=3

B．x1=﹣2，x2=3

C．x1=﹣3，x2=﹣1

D．x1=﹣1，x2=﹣2

9．实数x，y满足(x2＋y2)(x2＋y2＋1)＝2，则x2＋y2的值为(　　)

A．1 B．2 C．－2或1 D．2或－1

10．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)

A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0

二、填空题

知识点一、用因式分解法解一元二次方程

11．方程的根是_____________．

12．方程x2＝2020x的解是_____．

13．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是_____．

14．关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．

15．对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．

知识点二、因式分解法解一元二次方程的应用

16．已知实数x满足（x2-x）2-4（x2-x）-12=0，则代数式x2-x+1的值为______．

17．已知(x2+3x)2+5(x2+3x)+6=0，则x2+3x值为_____．

18．用换元法解方程+=，设y=，那么原方程化为关于y的整式方程是__．

19．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.

20．如果－－8=0，则的值是________．

三、解答题

知识点一、用因式分解法解一元二次方程

21．解方程：

（1）                   （2）

22．解下列方程：

（1）x2+6x+5=0；                     （2）2（x−1）2=3x−3；

23．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求与之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

知识点二、因式分解法解一元二次方程的应用

24．阅读材料：一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：．

解：令，则原方程变为，解得，．

当时，即，∴，．

当时，即，∴，．

所以原方程的解是，，，．

根据上述材料解方程．

25．阅读下列材料，解答问题：

为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程得.当时，，∴；当时，，∴，∴原方程的解为.

(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；

(2)解方程：

26．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以

把代入已知方程，得

化简，得：

故所求方程为

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）

（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：

          ；

（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数．

参考答案

1．C

【解析】

试题解析：x2-x=0，

x（x-1）=0，

x=0或x-1=0，

所以x1=0，x2=1．

故选C．

考点：解一元二次方程-因式分解法．

2．C

【分析】

方程移项后，利用因式分解法求出解即可．

【详解】

解：（x-2）2=3（x-2），
（x-2）2-3（x-2）=0，
（x-2）（x-2-3）=0，
x-2=0，x-2-3=0，
x1=2，x2=5．
故选C．

【点拨】

本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

3．A

【分析】

解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．

【详解】

解：x2－6x+8=0

（x－4）（x－2）=0

解得：x=4或x=2，

当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2，

故选：A．

【点拨】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．

4．B

【详解】

试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，

∴22﹣4m+3m=0，m=4，

∴x2﹣8x+12=0，

解得x1=2，x2=6．

①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； 

②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 

所以它的周长是14．

考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

5．B

【解析】

试题解析：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，

∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，

解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1

∵x2＋y2>0

∴x2＋y2=1

故选B.

6．D

【解析】

【分析】

设后面一个方程中的x -5=y,相用换元法求解即可.

【详解】

设后面一个方程中的x -5=y,

∴方程a（x+m-5）2+n=0变形为a(y+m)2+n=0,

∵关于x的方程a（x+m）2+n=0的解是x1=-2，x2=3,

∴y1=-2，y2=3,

∴x-5=-2或x-5=3,

解得x=3或x=8.

故选D..

【点拨】

此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

7．B

【分析】

利用换元法解方程即可.

【详解】

设=x，原方程变为：

，

解得x=3或-1，

∵≥0，

∴

故选B.

【点拨】

本题考查了用换元法解一元二次方程，设=x，把原方程转化为是解题的关键.

8．D

【解析】

此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．首先根据题意可以设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．

解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，

设y=2x+5，

方程可以变为 y2﹣4y+3=0，

∴y1=1，y2=3，

当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；

当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，

所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．

故选D．

9．A

【分析】

设x2＋y2=m，用换元法将原方程转化为关于m的一元二次方程，解方程求m即可．

【详解】

设x2＋y2=m，则原方程可化为m（m+1）=2

m2+m-2 =0，

解得m=-2  ，m=1，

因为x2＋y2=m≥0，

所以x2＋y2=1．

故选A.

【点拨】

此题考查换元法解一元二次方程，解题关键在于先换元.

10．A

【分析】

方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．

【详解】

把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．

故选：A．

【点拨】

考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

11．，．

【解析】

试题分析：方程变形得：，分解因式得：，可得或，解得：，．故答案为，．

考点：解一元二次方程-因式分解法．

12．x1＝0，x2＝2020．

【分析】

利用因式分解法求解可得．

【详解】

移项得：x2﹣2020x＝0，

∴x（x﹣2020）＝0，

则x＝0或x﹣2020＝0，

解得x1＝0，x2＝2020，

故答案为：x1＝0，x2＝2020．

【点拨】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

13．2或﹣1

【解析】分析：根据因式分解法解一元二次方程.

详解：

∵x2﹣x﹣2=0

∴（x﹣2）（x+1）=0

∴x1=2，x2=﹣1．

点拨：考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．

14．1

【分析】

把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．

【详解】

∵方程是一元二次方程，

∴k+2≠0，即k≠-2；

又0是该方程的一个根，

∴，

解得，，，

由于k≠-2，

所以，k=1．

故答案为：1．

【点拨】

本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．

15．-3或4

【分析】

利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．

【详解】

根据题意得，，

，

，

或，

所以．

故答案为或．

【点拨】

本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

16．7

【解析】

设x2-x=m，则原方程可化为：m2-4m-12=0，解得m=-2，m=6；

当m=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，△=1-8＜0，原方程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去；

当m=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，△=1+24＞0，故m的值为6；∴x2-x+1=m+1=7

17．﹣2

【分析】

设x2+3x=t，原方程变形为t2+5t+6=0，求解即可．

【详解】

设x2+3x=t，

则原方程变形为t2+5t+6=0，

(t+2)(t+3)=0，

所以t1=﹣2，t2=﹣3，

当t=﹣2时，x2+3x=﹣2，此方程有实数解；

当t=﹣3时，x2+3x=﹣3，此方程没有实数解；

所以x2+3x=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点拨】

本题考查解一元二次方程，学会运用整体代入的思想是解题的关键．

18．3y2－y+1=0．

【解析】

分析：将原式转化为，然后用y来代替即可得出答案．

详解：原式=， ∵，  ∴．

∴将其转化为整式方程为：3y2－y+1=0．

点拨：本题主要考查的是换元法的应用，属于基础题型．换元法的关键就是把某个式子看成一个整体，然后用另外一个字母来替换它．

19．

【分析】

此题实际上求的值．设t=a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t+1）=12，通过解方程求得t的值即可．

【详解】

设t=a2+b2，则由原方程，得

t（t+1）=12，

整理，得

（t+4）（t-3）=0，

解得t=3或t=-4（舍去）．

则a2+b2=3，

∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，

∴这个直角三角形的斜边长为．

故答案是：．

【点拨】

此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键．

20．4或－2

【解析】

∵ ，

∴ ，

所以： 或，

故答案为4或-2.

考点：解一元二次方程.

21．（1），；（2），．

【解析】

【分析】

（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．

【详解】

解：（1）方程移项得：，

开方得：，

解得：，；

（2）方程移项得：，

分解因式得：，

解得：，．

【点拨】

此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

22．（1）x1＝-1，x2＝-5；（2）x1=1，x2＝2.5

【分析】

（1）因为二次项系数为1，所以利用配方法求解即可求得答案；

（2）原式可变为2（x−1）2＝3（x−1），然后提取公因式，可得（x−1）（2x−2−3）＝0，继而求得答案．

【详解】

（1）x2+6x+5＝0，

x2+6x＝-5，

x2+6x＋9＝-5＋9，

（x+3）2＝4，

解得：x+3＝±2，

x1＝-1，x2＝-5；

（2）2（x−1）2＝3x−3，

2（x−1）2＝3（x−1），

∴（x−1）（2x−2−3）＝0，

∴x−1＝0，2x−2−3＝0，

∴x1＝1，x2＝2.5．

【点拨】

此题考查了一元二次方程的解法．此题比较简单，注意选择适宜的解题方法是解此题的关键．

23．（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．

【分析】

（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可；

（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；

∴，解得：，

∴与之间的函数关系式为；

（2）由题意得：，

整理得：，解得：．，

∵让顾客得到更大的实惠，∴.

答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．

【点拨】

本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．

24．，，，．

【解析】

【分析】

根据阅读材料令，把原方程化为解出y1,y2，再还原为x的方程进行求解即可.

【详解】

令，则原方程变为，

解得，．

当时，即，∴，．

当时，即，∴，．

∴原方程的解是，，，．

【点拨】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据阅读材料利用换元法转换方程.

25．(1)换元 转化(2)

【解析】

【分析】

（1）根据解一元二次方程常用的方法换元法降次的方法，运用了数学转化思想；
（2）运用换元法设x2-x=y，然后运用因式分解法求解就可以了．

【详解】

解：(1) 由题意，得
在原方程得到方程y2-5y+4=0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为：换元，转化；

(2)设，则原方程可化为，

解得

当时，，

解得或；

当时，，

解得或，

∴原方程的解为.

故答案为：(1)换元 转化；(2)

【点拨】

本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．也考查了数学转化思想的运用，认真阅读题中的解法是解题的关键．

26．（1）y2－y－2=0（2）cy2+by+a=0（c≠0）

【解析】

解：（1）y2－y－2=0．

（2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）．

把代入方程，得，

去分母，得a+by+cy2=0．

若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意．

∴c≠0．

∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．

（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y．

把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0．

（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程．