数学必修 第三册单位圆与三角函数线教案设计

这是一份数学必修 第三册单位圆与三角函数线教案设计，共7页。教案主要包含了问题引入，新课讲授，例题讲解，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、问题引入
1.角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？角的正弦、余弦、正切与角终边上P点的位置是否有关？
提示：对于任意角来说，设是的终边上异于原点的任意一点，，则由三角形相似的知识可得与跟P在的终边上的位置无关，只与角终边的位置有关.一般地，称为角的正弦，记作；称为角的余弦，记作，因此.
当角的终边不在y轴上时，同样可知与P在的终边上的位置无关，此时称为角的正切，记作，即.
2.数轴上向量的坐标是如何规定的？
数轴上的向量的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负.
二、新课讲授
探究点1：单位圆的定义.
从三角函数的定义看出，角的三角函数是两个变量的比值.为了给出任意角正弦和余弦的一个直观表示，我们可以令.
问题1：当时，即P点到原点的距离为1.所有满足条件的点P构成什么图形？
单位圆的定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆.
问题2：如果角的终边与单位圆的交点为P，则P点的坐标是什么？（P的坐标为）
探究点2：正弦线与余弦线的定义.
问题3：当角是第一象限角时，能否在坐标轴上找到两个以原点为起点的向量，使P点的坐标分别等于这两个向量的长度？
（能找到；如图，设的终边与单位圆交于点P，作轴于轴于.）
问题4：设角的终边与单位圆交于点P，当角的终边在第一象限时，角的正弦、余弦与P点的纵、横坐标y，x之间有何关系？（）
思考1：随着在第一象限内转动，是否也跟着变化？而它的长度是否永远等于？
是否也跟着变化？而它的长度是否永远等于？（是）
思考2：当角的终边在第二象限、第三象限、第四象限时，有类似的结果吗？
结论：如图所示，如果过角终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示:的方向与x轴的正方向相同时，表示是正数，且的方向与x轴的正方向相反时，表示是负数，且.习惯上，称为角的余弦线.类似地，图中的可以直观地表示，因此称为角的正弦线.
教师指导学生作出四个象限角的正弦线、余弦线.
探究点3：正切线的定义.
问题5：请思考，设的终边不在y轴上，且是终边上异于原点的任意一点，如果取坐标满足的点P，则此时的值是什么？此时P点位置如何？
答案：点位于第一、四象限或x轴的正半轴上.
因为在平面直角坐标系中表示垂直于x轴且过点的直线l，所以如果角的终边与直线l的交点为，则.
问题6：大家根据问题5，能否给正切线下一个定义？
如图所示，设角的终边与直线交于点，则可以直观地表示，因此称为角的正切线.
问题7：当角的终边位于第二、三象限或x轴的负半轴上时，正切线如何定义？
不难看出，当角的终边位于第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标正好是角的正切值.因此上图中角的正切线为，而且从上图中可以看出.
综合可得，角的正切等于角的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标.
正弦线、余弦线、正切线都称为三角函数线.
问题8：你能完整地叙述单位圆与三角函数线吗？
（1）画单位圆.
（2）设角的终边与单位圆交于点P，作轴于M，则是角的正弦线.
（3）是角的余弦线.
（4）设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线，与角的终边（或其反向延长线）交于点T，则就是正切线.
设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点T.
我们分别称图（1）~（4）中的为角的正弦线、余弦线、正切线.
三、例题讲解
类型一 作任意角的三角函数线
例1 分别作出和的正弦线、余弦线和正切线.
解：如图所示，根据定义分别作出两个角的正弦线、余弦线、正切线.
类型二 比较三角函数值的大小
例2 利用三角函数线比较和的大小.
解：如图，作出1弧度的正弦线和余弦线，则.由于，故，即.
类型三 利用三角函数线解等式（不等式）
例3 解不等式.
解：如图，作出余弦值等于的角x的终边.
则余弦值大于的角x的终边与单位圆的交点在劣弧上，所以所求角x的取值范围是.
类型四 利用三角函数线解决实际问题
例4 将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为l m，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r m.记以OP为终边的角为rad，点P离地面的高度为h m，试用l，r与表示h.
解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：
当的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，，此时；
当的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时，因为，所以，此时：
当的终边在x轴上时，，此时.
所以，不管的终边在何处，都有.
四、课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获？还有什么疑惑吗？
五、布置作业
教材第21~22页练习A第3，4题，练习B第2，3题.
板书设计
教学研讨
整节课以学生自主探究为主展开，在学习过程中充分发挥学生的主体性，由学生自己解读问题，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维.
7.2.2 单位圆与三角函数线
1.单位圆的定义
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆
2.正弦线与余弦线
3正切线
正弦线、余弦线、正切线都称为三角函数线
例1
例2
例3
例4
4.课堂小结
5.布置作业