人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线教案，共9页。教案主要包含了教学重点，教学难点，对点快练，变式练习1，变式练习2，变式训练等内容，欢迎下载使用。

本节课是人教B版必修四第一章第二节的第2课时，安排在角的概念的推广、弧度制、三角函数的概念之后。著名数学家欧拉提出三角函与三角函数线的对应关系之后，使得对三角函数的研究大为简化。通过本节课的学习，把三角函数的代数意义和几何意义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图象及性质等提供了另一种工具、具有承前启后的重要作用。由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。通过本节课的学习，学生需要能借助单位圆理解三角函数线的定义，会画出任意角的三角函数线，能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律，能运用三角函数线解决简单的实际问题。通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法，提高学生自主分析问题，解决问题的能力。
【教学重点】
正确使用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯
【教学难点】
理解三角函数与三角函数线间的关系，并能应用三角函数线解决实际问题
问题1：正弦线与余弦线
答：不难看成，如果，则，
因为可以化为，
因此到原点的距离为1，一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足的点组成的集合称为单位圆。因此，如果角的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为.
知识点1 正弦线与余弦线
1．一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆.
2．过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，
当eq \(OM,\s\up6(→))的方向与x轴的正方向相同时，表示cs α是正数，且cs α＝，
当eq \(OM,\s\up6(→))的方向与x轴的正方向相反时，表示cs α是负数，且cs α＝－，
称为角α的余弦线，
类似地，eq \(MP,\s\up6(→))可以直观的表示sin α，称为角α的正弦线．
注：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角的余弦线是，正弦线是，由此可看成，而且还可以看出：
，。
【对点快练】
1．若a＝sin 2，b＝cs 2，则a，b的大小关系为( )
A．aC．a＝b D．不能确定
答案：B 因为eq \f(π,2)<2<π，作出2的正弦线，余弦线．显然sin 2>cs 2.
2．若角α的余弦线长度为eq \f(1,2)，且方向与x轴负方向相同，则cs α＝____________.
答案：－eq \f(1,2) 因为α的余弦线方向与x轴负方向相同，所以cs α<0，所以cs α＝－eq \f(1,2).
问题2：正切线
答：如果取坐标满足的店P，则，因为在平面直角坐标系中表示的是垂直于x轴且过的直线，所以如果角的终边与直线的交点为，则。
知识点2 正切线
设角α的终边与直线x＝1交于点T，则eq \(AT,\s\up6(→))可以直观地表示tan α，因此eq \(AT,\s\up6(→))称为角α的正切线．
当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值．
注：如图所示，角的正切线为，而且从图中可以看出：，这就是说，角的正切等于角的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标。
知识点3 三角函数线
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
【对点快练】
1．下列角的正切线不存在的是( )
A．－eq \f(11π,10) B．eq \f(9π,2)
C．eq \f(3π,4) D．eq \f(8π,7)
答案：B 因为eq \f(9π,2)的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在．
2．比较大小：tan 1____________taneq \f(π,3)(填“>”或“<”)．
答案：< 因为1例1.作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切。
解：如图所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线，单位圆与轴交于点。
作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线于T，则的正弦线为，余弦线为，正切线为。
类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为。
在图中，根据直角三角形的知识可知，

所以，
。
【变式练习1】
在单位圆中作出满足cs α＝eq \f(1,2)的角α的终边，并作出其正弦线、余弦线和正切线．
解 如图①，作直线x＝eq \f(1,2)交单位圆于点P，Q，则
OP，OQ为角α的终边．
如图②所示，当α的终边是OP时，
角α的正弦线为eq \(MP,\s\up6(→))，余弦线为eq \(OM,\s\up6(→))，正切线为eq \(AT,\s\up6(→)).
当α的终边为OQ时，角α的正弦线为eq \(MQ,\s\up6(→))，余弦线为eq \(OM,\s\up6(→))，正切线为eq \(AT′,\s\up6(→)).
【变式练习2】
利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin eq \f(2π,3)与sin eq \f(4π,5)；(2)tan eq \f(2π,3)与tan eq \f(4π,5)；(3)cs eq \f(2π,3)与cs eq \f(4π,5).
解 如图，
画出角eq \f(2π,3)与eq \f(4π,5)的正弦线、余弦线、正切线，sin eq \f(2π,3)＝M1P1，sin eq \f(4π,5)＝M2P2，
tan eq \f(2π,3)＝AT1，tan eq \f(4π,5)＝AT2，cs eq \f(2π,3)＝OM1，cs eq \f(4π,5)＝OM2，由图形观察可得：
M1P1>M2P2，AT1OM2，
∴(1)sin eq \f(2π,3)>sin eq \f(4π,5)；(2)tan eq \f(2π,3)cs eq \f(4π,5).
例2.将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为lm,点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm,记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为hm,试用表示
解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：
当的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，，此时
；
当的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上时，因为，所以，此时
；
所以不管的终边在何处，都有.
例3. 求证：当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sin α<α证明 如图，
设角α的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连接AP，则
在Rt△POM中，sin α＝MP.
在Rt△AOT中，tan α＝AT.
又根据弧度制的定义，有 eq \\ac(AP,\s\up10(︵)) ＝α·OP＝α.
易知S△POA即eq \f(1,2)OA·MP所以MP< eq \\ac(AP,\s\up10(︵)) 即sin α<α【变式训练】
利用三角函数线证明|sin α|＋|cs α|≥1.
证明 在△OMP中，OP＝1，OM＝|cs α|，MP＝|sin α|，
因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cs α|≥1.
小结：
1.三角函数线的定义：正弦线、余弦线、正切线
2.三角函数线的应用：比较函数值大小、描述角度的变化规律考点
教学目标
核心素养
三角函数线的定义
利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切
直观想象、数学抽象、数学运算
三角函数线的应用
利用三角函数线研究三角函数值随角度的变化规律，解决相关问题
直观想象、数学运算