人教B版 (2019)必修 第三册7.2.2 单位圆与三角函数线课文配套课件ppt

课题名

7.2.2　单位圆与三角函数线

课标要求

1.理解单位圆的相关概念，会利用单位圆理解正弦线、余弦线的含义．

2.会应用正弦线、余弦线、正切线解一些简单的不等式或比较大小．

3．通过学习，提高学生直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养．

核心目标

重点：利用单位圆理解正弦线、余弦线的含义；

难点：应用正弦线、余弦线、正切线解一些简单的不等式或比较大小.

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

新知探究

知识点一 单位圆的相关概念

1.定义：

一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足           的点组成的集合称为       ．

2. α的坐标：如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的           和             ．

知识点二 正弦线和余弦线 

(1)概念：如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cos α：的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是           ， 且cos α＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是          ，且cos α＝－||. 习惯上，称为角α的余弦线. 类似地，图中的可以直观的表示sin α，因此称为角α的正弦线．

(2)几何意义：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息．如上图，角β的余弦线是，正弦线是，由此可看出cos β<0，sin β<0，即|cos β|        |cos α|，|sin α|       |sin β|.

思考：三角函数线的方向是怎样确定的？

[提示]　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．

知识点三　正切线

(1)概念：如图所示，设角α的终边与直线              交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线．

(2) 几何意义：当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的     与x＝1有交点，而且交点的       也正好是角的正切值．如图中角β的正切线为，从图中可以看出tan β      0，|tan β|        |tan α|.这就是说，角α的正切等于角α终边或其反向延长线与直线x＝1的交点的               ．

            、             和            都称为三角函数线.

核心目标检验

1．判断正误

(1)正弦线的起点一定在x轴上，余弦线的起点一定是原点，正切线的起点一定是(1,0)．                      (　　)

(2)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段，则其终边落在x轴的正半轴上．                          (　　)

(3)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线，长度相等、符号相同．

2．角和角有相同的                            (　　)

A．正弦线  B．余弦线       C．正切线       D．不能确定

 解析：角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．

3．若角α的正切线位于第一象限，则角α是          (　　)

A．第一象限的角  B．第一、二象限的角

C．第三象限的角  D．第一、三象限的角

 解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线位于第一象限．

4.角的终边与单位圆的交点的坐标是________．

 解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos＝，纵坐标是sin＝ ，

∴角的终边与单位圆的交点的坐标是(， ).

课堂总结

命题方向1：作已知角的三角函数线

例题1:作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．并求出它们的正弦、余弦、正切．(1)－ ；(2) .  

[解]　如图(1)所示，第一步：在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A(1,0)；第二步：作－的终边与单位圆交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；

延长线段OP交直线x＝1于T；第三步：结论，即－的正弦线为，余弦线为，正切线为.

类似可得到的正弦线、余弦线和正切线，如图(2)．

(1）由直角三角形知识可知(1)中的MP＝，AT＝1，OM＝，

∴sin(－)＝－||＝－.cos(－)＝||＝.tan(－)＝－||＝－1.

(3)  中的MP＝，OM＝，AT＝，

∴sin＝||＝ .cos＝－||＝－.  tan＝－||＝－.

三角函数线的作法

(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．

(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．　　

跟踪练习1:作出－的正弦线、余弦线和正切线．

解：如图所示，－的正弦线、余弦线和正切线分别为，，.

命题方向2:利用三角函数线比较大小

例题2利用三角函数线比较下列各组数的大小：

(1)sin 与sin ；(2)tan 与tan ；(3)cos与cos.

[解]　如图所示，画出与的正弦线、余弦线、正切线，由图观察可得，的正弦线为，的正弦线为；的正切线为，的正切线为；的余弦线为，的余弦线为；又||>||，－||<－||<0，0>－||>－||，所以(1)sin>sin；(2)tan<tan；(3)cos>cos.

利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点

命题讲练

跟踪练习2：

1．已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是 (　　)

A．若α，β是第一象限角，则sin α＞sin β

B．若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β

C．若α，β是第三象限角，则sin α＞sin β

D．若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β

解析：由图(1)可知,cos α＞cos β时,sin α＜sin β,A错误；由图(2)可知,cos α＞cos β时,tan α＜tan β,B错误；

由图(3)可知,cos α＞cos β时,sin α＜sin β,C错误；

由图(4)可知,cos α＞cos β时,tan α＞tan β,D正确．

2．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有(　　)

A．a<b<c　　　 B．b<a<c      C．c<a<b         D．a<c<b

命题方向3:三角函数线的概念

例题3:设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是(　　)

A．总有MP＋OM＞1

B．总有MP＋OM＝1

C．存在角α，使MP＋OM＝1

D．不存在角α，使MP＋OM＜0

跟踪练习3:下列四个命题中：

①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．不正确命题的个数是(　　)

A．0　　       B．1　　　　C．2　　　　D．3

解：由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如5π/6与π/6；③中当α＝π/2时，α与α＋π都没有正切线．

命题方向4:利用单位圆解三角不等式

例题4:在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．

(1)sin α≥√3/2；(2)cos α≤－1/2.

[解](1)作直线y＝√3/2，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，

则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π/3≤α≤2kπ＋2π/3，k∈Z }.

(2)作直线x＝－1/2，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋2π/3≤α≤2kπ＋4π/3，k∈Z }.

三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：

(1)作出取等号的角的终边；

(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；

(3)将图中的范围用不等式表示出来．

跟踪练习4:

求y＝lg(1－√2cos x)的定义域．

[解]　如图所示，

∵1－√2cos x＞0，∴cos x＜√2/2，

∴2kπ＋π/4＜x＜2kπ＋7π/4(k∈Z)，

∴函数定义域为(2kπ＋π/4，2kπ＋7π/4)(k∈Z).

思想方法技巧总结

1.应用三角函数线比较大小的策略

①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．

②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．

2.利用三角函数线解三角不等式的方法

①正弦、余弦型不等式的解法

对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．

②正切型不等式的解法

对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.

随堂练习

布置作业

1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是                                   (　　)

A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线

B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条

C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在

D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在

2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)

A．正弦线，正切线  

B．正弦线，正切线

C．正弦线，正切线  

D．正弦线，正切线

3．已知角α的正弦线是长度为单位长度的向量，那么角α的终边在  (　　)

A．y轴的正半轴上  B．y轴的负半轴上

C．x轴上             D．y轴上

4．角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为________．

5．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．

(1)π/6；(2)－5π/6.

6.在[0,2π]上满足sin x≥1/2的x的取值范围是(　　)

A．[0，π/6]   B．[π/6，5π/6]

C．[π/6，2π/3]   D．[5π/6，π]

板书设计

一、 

二、 

教学反思