人教B版 (2019)必修 第二册事件之间的关系与运算教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册事件之间的关系与运算教学设计，共9页。教案主要包含了教学重点，教学难点，变式练习，解题方法等内容，欢迎下载使用。
本节课是概率部分的第2节课，是5.3.1样本空间与事件的后续部分。本节课提出了随机事件的关系，随机事件的运算，互斥事件、对立事件等内容。学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义。本节课属于概率论的基础课，对后续课程的影响较大。本节课的内容，学生在高中时已经学习过，教学时将在学生已经掌握的概率知识的基础上展开教学。尽管如此，概率的抽象性是不言而喻，教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解随机事件的相互关系。同时，应注意强调区分随机事件的关系，运算与集合的关系，运算的区别和关联.
【教学重点】
事件之间的关系与运算、事件的混合运算、互斥、对立事件、概率的加法公式
【教学难点】
互斥、对立事件的区别、概率加法公式的应用
引入：
前面我们在事件和集合之间建立了对应关系，从而可用集合的一些术语，符号去描述事件之间的关系与运算.
问题1：事件的包含与相等
知识点1：一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作（或），这一关系可用下图表示.
注：（1）也可用充分必要条件表示为：A发生是B发生的充分条件，B发生时A发生的必要条件.
（2）如果，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们可以得到
知识点2：如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作
注：（1）不难看出：且，也可以用充分必要条件的语言表述为：A发生是B发生的充分必要条件
（2）当时，有
问题2.事件的和（并）
知识点3：给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作
（或）
事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示.
注：（1）当事件发生时，当且仅当事件A与事件B至少有一个发生
（2）由于且，因此且
直观上可知，
问题3.事件的积（交）
知识点4：给定事件，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作
（或）
事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.
注：（1）按照定义可知，事件发生，当且仅当事件A与事件B都发生；
（2）由于且，因此且
【练习】
抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则
A.A⊆B
B.A＝B
C.A＋B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析 设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
答案 C
问题4.事件的互斥与对立
知识点5：给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作
（或）
这一关系可用下图表示.
注：（1）任何两个基本事件都是互斥的，与任意事件互斥；
（2）当A与B互斥，即，有
这称为互斥事件的概率加法公式.
（3）一般地，如果是两两互斥事件，则

知识点6：给定样本空间与事件A，则由与所有不属于A的样本点组成是事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点看，是A在中的补集，如图所示。如果，则称A与B相互对立.
注：（1）事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生，注意到必然事件的概率为1，因此

（2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.
【练习1】
1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则
A.A⊆B B.A⊇B
C.A与B互斥 D.A与B互为对立事件
答案：C
【练习2】
从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述各对事件中，是对立事件的是
A.① B.②④ C.③ D.①③
解析 从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件.
答案 C
【练习3】
一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________.
解析 中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案 0.65
问题5.事件的混合运算
前面我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件。因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算。
例如 ，这表示与的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生.
同数的加、减、乘、除一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为：.
例1.设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：
（1）A，B两个事件中至少有一个发生；
（2）A事件发生且B事件不发生；
（3）A,B两个事件都不发生
解：（1）按照定义有
（2）因为B不发生可以表示为，因此可以写成
（3）按照定义有
【变式练习】
在试验“连续抛掷一枚均匀的色子2次，观察每次出现的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”；事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”；事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解：依照题意可知样本空间为：
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，
所以A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}.
因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.
因为A∩B＝{(1，5)}≠∅，A∩C＝{(1，4)}≠∅，B∩C＝∅，所以事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，
所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
【解题方法】
事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
2.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系；
(2)事件C与A的交事件是什么事件.
解析 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.
例2.已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：
（1）李明成绩不低于60分的概率；
（2）李明成绩低于60分的概率。
解：记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且：
（1）因为“李明成绩不低于60分”可表示为，由A与B互斥可知

（2）因为“李明成绩低于60分”可表示为，因此
【变式练习】
某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率.
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)解法一 “派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
解法二 “派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
【解题方法】
求复杂事件的概率的两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件.一般情况下，当一个事件包含多个基本事件时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，若需要分类太多，而其对立事件的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.
探索与探究：
任意给定两个事件A，B，考虑之间的等量关系，得出一般的关系式.
由韦恩图可得：
小结：
1.事件的混合运算同数的加、乘混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，即求积运算高于求和运算，如(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋(eq \(A,\s\up6(－))B)＝Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B.
2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).对任意事件A，B，则有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
考点
教学目标
核心素养
事件的关系与运算
理解事件之间的关系与运算，并能进行事件的混合运算
数学抽象，数学运算
互斥事件、对立事件
理解互斥、对立事件的概念，并会区别二者，会用加法公式求事件的概率
数学抽象，数学运算
定义
表示法
图示
包含
关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B__一定发生______，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
__ ____ (或
_______)
事件
的和
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点___组成的事件_________称为A与B的和(或并)
______ (或
________)
事件
的积
给定事件A，B，由A与B中的__公共______样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
______ (或_______)
定义
图形表示
符号表示
互斥
事件
给定事件A，B，若事件A与B__不能同时_____发生，则称A与B互斥
A∩B＝__
对立
事件
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中_所有不属于A__________的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作_ __
A∩B＝___且A∪B＝_
人数
0
1
2
3
4
大于或等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04