(暑期班)2025年高二数学暑假讲义第08讲 圆的标准方程与一般方程+课后练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点02：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
【即学即练1】在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.
知识点03：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
【即学即练2】已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.
【答案】6
【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径,又圆心到点的距离为，所以圆上的点到点的距离的最大值为，故答案为：6
题型01求圆的标准方程
【例1】已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由圆C：可知圆心，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为：.故选：D
【变式1】圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．
【答案】或.
【详解】由题意，设圆的方程为，因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8，所以所求圆的方程为或.
故答案为：或.
【变式2】过三点、、的圆的圆心坐标为___________.
【答案】
【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有：
，所以，所以圆的方程为：.
故答案为：.
题型02由圆的方程求圆心或半径
【例1】已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，
当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.
故选：D
【变式1】已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，所以，即，
所以，所以当时，的最小值为.故选：A
题型03点与圆的位置关系
【例1】已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，由得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B
【变式1】若点在圆内，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【详解】解：由题意得点在圆内，解得所以实数的取值范围为
故答案为：
题型04与圆有关的最值问题
【例1】已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．，互相垂直，所以四边形为矩形．由圆C：，可得，又，，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，故选：B.
【变式1】若复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【详解】复数满足，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，的几何意义为圆上的点与的距离，所以的最大值为．故选：C.
【变式2】点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】圆的圆心，半径为，由于在圆外，
．故选：D.
题型05与圆有关的对称问题
【例1】已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：B
【例2】若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是_______
【答案】
【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，
则线段的中点为，因为圆和圆关于直线对称，
所以，所以直线的方程是，即，故答案为：
【变式1】已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称
可得，化简得，解得又两圆半径相等，故圆的方程为故选：B
题型06轨迹方程
【例1】已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______.
【答案】
【详解】如图所示，

设，，则，①因为Q为AP的中点，所以，②
所以由①②得：，即：，所以点Q的轨迹方程为：.
故答案为：.
【变式1】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．
【答案】
【详解】设，，则由已知可得.又是线段的中点，所以有，所以，所以有，整理可得.
所以的轨迹方程是.故答案为：.
【变式2】已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设圆心C的坐标为，半径为r，∵圆心C在直线上，∴，
∵圆C经过，两点，∴，即，
化简得：，又，所以，∴圆心C的坐标为，
，所以圆C的标准方程为：；
（2）设，，∵M为OP的中点，∴，∴，
∵P在圆C上，∴，即，
∴OP的中点M的轨迹方程为.
课后巩固练习
一、单选题
1．已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，故选：D.
2．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以，解得.故选：A
3．圆的圆心、半径是（ ）
A．，4 B．，2 C．，4 D．，2
【答案】D
【详解】圆的圆心为半径故选：D
4．已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【答案】A
【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，
即：，整理得：﹣1＜a＜1.故选：A.
5．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设圆的圆心关于直线对称的点为，
则有整理得解得，因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2，所以所求圆方程为，故选:C.
6.已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】因为，圆的标准方程为，所以半径，圆心，当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，所以．
故选：C．
二、填空题
7．已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.
【答案】
【详解】因为直线平分圆，于是直线过圆心，
所以的距离.故答案为：
三、解答题
8．已知点求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）∵点∴过点A，B且周长最小的圆，即以AB为直径的圆，
∵AB的中点 ，故要求的圆的方程为.
（2）∵圆心在直线上，设圆心为
∵圆过点A，B，∴DA＝DB，∴
求得∴圆心为，半径
故要求的圆的方程为 ．
能力提升
1．动直线平分圆的周长，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，动直线过圆的圆心，则，又，
则，当且仅当且，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.
2．已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设的中点为，连接，
因为点在以为直径的圆上，所以，所以，连接，，，则，所以，所以，设，则，整理得，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，因为，所以当取最大值时，取最大值，
又因为，故的最大值为.故选：B.
4.2圆的一般方程
知识点01：圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
【即学即练1】（多选）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，
对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.
知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点
知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，
点到圆心的距离，因为，所以点在圆内．故答案为：在圆内
题型01圆的一般方程的理解
【例1】已知方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为表示圆，所以，解得，
得的取值范围是.故选：C
【例2】方程表示圆的充要条件是______．
【答案】或.
【详解】由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
【变式1】若表示圆，则实数的值为______.
【答案】
【详解】因为表示圆，所以，解得或，
当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；
当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；
故答案为：
题型02求圆的一般方程
【例1】过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．
【例2】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为__________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______．
【答案】
【详解】设圆C的方程为，
由条件，得，解得，因此圆的一般方程为，
故圆心，因此圆心到直线l的距离，解得．
故答案为：；.
【变式1】过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设圆的方程为，由题意知,圆过点，和，
所以，解得，所以所求圆的方程为.故选：A
题型03圆的一般方程与标准方程转化
【例1】若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．0或2 B．0或-2 C．0或 D．-2或2
【答案】A
【详解】将圆的方程化为标准方程为：，所以，圆心为，半径.因为圆心到直线的距离为，所以，，即，所以，所以或.故选：A.
【变式1】圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.
【变式2】已知点在圆 上，则点到轴的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】圆 ,即圆 圆心为，半径，得点P到x轴的距离的最大值为.故选：B.
题型04点与圆的位置关系
【例1】已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因在圆外，则，得.又表示圆，则，得.综上：.故选：D
【变式1】若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.
【答案】
【详解】圆可整理为，所以圆心，，
当过点的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点的最长的弦所在的直线方程为，整理得.故答案为：.
题型05求动点的轨迹方程
【例1】在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)(2)
（1）由，令，解得或；令，得，所以圆过.
设圆的方程为，，解得，
所以圆的方程为.
（2）设，则，将的坐标代入圆的方程得，
即.
【变式1】过点的直线与圆交于点，则线段中点的轨迹方程为___________.
【答案】
【详解】设点P的坐标为，点B为，由题意，结合中点坐标公式可得，
故，化简得.即线段AB中点P的轨迹方程为.
故答案为：
题型06与圆有关的最值问题
【例1】设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【详解】解：由圆的方程，易知圆心，半径为，因为是圆的切线，且，
所以，，所以，点的轨迹方程为，点到点距离的最小值为，故选：D.
【例2】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知为圆上任意一点．则的最大值为__________
【答案】
【详解】圆即，故圆心，半径为，
又表示圆C上的点M到点的距离，故其最大值为，
故答案为：
【变式1】直线始终平分圆的周长，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：圆化为标准方程：，圆心为，
因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆心，
则，所以，则，
当时，取得最小值.故答案为：.
题型07关于点或直线对称的圆
【例1】与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，点关于直线对称的点坐标为则所求圆的标准方程为故答案为：
【例2】圆关于直线的对称圆的标准方程为__________.
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，设点关于直线的对称点，
则有，解得，因此所求圆的圆心，半径为，所以所求圆的标准方程为：.故答案为：
【变式1】已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________
【答案】
【详解】圆圆心为，半径等于1，设圆心关于直线对称点，
则有，且，解得，故点，由于对称圆的半径与圆的半径相等，故圆的方程为，故答案为.
课后巩固练习
1．将圆平分的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由，得，
所以圆心坐标为，对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，
对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，
对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，
对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，故选：C
2．若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的圆心为，半径为；的圆心为，半径为.由题意知，直线l是线段的垂直平分线.线段的中点为，斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即.故选：B.
3．已知圆，则圆心及半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆，即，所以圆心为，半径为.故选：A
4．在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【详解】因为，，所以.故选：B
5．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆即,半径因为,所以又是的中点,所以所以点的轨迹方程为故选：B
6．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：，
由题意得的最小值为的最小值，设关于直线的对称点为，则，解得，则，如图所示：

当三点共线时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为，故选：B
二、填空题
7．直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】设点，∵，∴∵，∴，
∴，即.因此点P的轨迹方程是.
故答案为：
三、解答题
8．在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点在圆E上，求的取值范围．
【答案】(1)或5；(2)[，]．
【详解】（1）设过A、B、C的圆的方程为
将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，得，解得：
得圆的方程为将点D的坐标代入上述所得圆的方程，得解得a＝1或5；
（2）点在圆E：上，
其几何意义为圆E上的点到距离的平方减1．如图：
∴的最小值为＝；的最大值为．
∴的取值范围是[，]．
9．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．
【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，因为PA是圆M的一条切线，所以，
所以，解得或，
所以点P的坐标为或．
（2）设，因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，即，由，
解得或，所以圆过定点，．
（3）因为圆N方程为，即①
又圆②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为．
点到直线AB的距离，
所以相交弦长，所以当时，AB有最小值．
第08讲 圆的标准方程与一般方程 随堂检测
1.点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径，，故点在圆内.故选：B
2.已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为圆与圆关于轴对称，所以圆的圆心与点关于轴对称， 所以的坐标为，又圆的半径为2，所以圆 半径为2，所以圆的方程为，故选：C.
3.方程表示圆，则实数的可能取值为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【详解】由，可得，所以，
解得或，选项中只有符合题意.故选：D.
4.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以，
又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.
故选：D
5.已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．12
【答案】D【详解】因为直线经过圆的圆心，故，所以，当且仅当 ，即时，等号成立.
6.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】设，因为，所以，
因为，所以相当于圆上的点到点距离，
所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.故选：C.

7.已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.
【答案】
【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标，又圆的半径为则所求圆的方程为.故答案为：.
8.已知圆C过点，当圆到原点的距离最小时，圆的标准方程为______．
【答案】
【详解】由可得线段中点坐标为，又，所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上，当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为，联立，所以圆心,又半径,故圆的方程为：故答案为：
9.在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______．
【答案】
【详解】
如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为.
故答案为：.
10.已知实数满足，则的最大值为__________．
【答案】
【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点
又点在圆外，所以，
则，所以的最大值为.
故答案为：.
11.已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
12.已知圆及点．
（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2），.
【详解】（1）因为点在圆上，所以，所以，
因此，直线的斜率．
（2）因为圆心C的坐标为，所以，
又圆的半径是，所以点Q在圆外，
所以，．
课程标准
学习目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。
②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。
③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。
通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.
课程标准
学习目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。
②能准确的判定圆的存在所满足的条件。
③会判断点与圆的位置关系。
④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。
通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
（）
圆心
半径