上海市嘉定区封浜高级中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[附解析]

这是一份上海市嘉定区封浜高级中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[附解析]，共21页。试卷主要包含了选择题每题有且只有一个正确选项等内容，欢迎下载使用。
1.已知1为虚数单位,则_____.
2.已知向量,则_____.
3.已知角的终边经过点,则_____.
4.函数的最小正周期是_____.
5.已知扇形的弧所对的圆心角为,且半径为,则该扇形的弧长为_____.
6.在中,已知.且的面积为,则边长_____.
7.在水平放置的平面上有一个边长为的正方形,其直观图的面积为_____.
8.已知锐角满足及,则_____.
9设向量满足且,则向量在向量方向上的投影是_____.
10.函数在内恰有两个对称中心,,则_____.
11写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮,如图在的正东方向,在的正北方向.到的距离相等,且按逆时针排列,在直线两侧,若,,则_____.(结果精确到)
12已知,直线与函数的图像的交点为，若对的最小值为.最大值为,则_____.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第13、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13、两条异面直线所成角的范围是

14.以下关于平面向量的说法正确的是
若,则 若则
若是共线的单位向量.同 若,则不是共线向量
15.在物理学中简谐运动可以用函数来表示,其部分图像如图所示,则下列结论正确的是
函数的图像关于点成中心对称
函数的解析式可以为
函数在上的值域为
若把图像上所有的点向右平移个单位,则所得函数是
16.在中,角所对的边分别为,若,则的取值范围为

三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题。第1小题6分,第2小题8分.
平面内给定两个向量.
求与夹角的余弦值；
若和垂直,求的值.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,每2小题8分.
已知,
求的值；
求的值
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题8分,第2小题6分.
如图,在正方体中,分别是棱的中点.
求异面直线与所成角的正切值；
证明:
20.(本題満分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
已知函数.
求的单调递增区间；
求函数在上的零点；
对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题。第1小题4分,第2小题6分,第3小题8
分.
如图,游客从其旅游景区的景点处到处有两种路径,一种是从沿直线步行圆,另一种先从沿紧道乘使车到,然后从沿直线步行到,现有中、乙两位游客从处到处,甲沿匀速步行,速度,在甲出发后,乙从乘重车到,在处停留,再从匀速步行到,假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.
求索道的长；
问,乙出发多少分钟后,乙在膜车上与甲的距离最短？
为使两位游客在处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应该控制在什么范围内？
2024学年第二学期高一数学期终考试试卷答案
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知1为虚数单位,则_____.
解析：
2.已知向量,则_____.
解析：
3.已知角的终边经过点,则_____.
解析:
4.函数的最小正周期是_____.
解析：
5.已知扇形的弧所对的圆心角为,且半径为,则该扇形的弧长为_____.
解析：
6.在中,已知.且的面积为,则边长_____.
解析：
7.在水平放置的平面上有一个边长为的正方形,其直观图的面积为_____.
解析：直观图的面积为
8.已知锐角满足及,则_____.
解析：锐角,
9设向量满足且,则向量在向量方向上的投影是_____.
解析：向量在向量方向上的投影
10.函数在内恰有两个对称中心,,则_____.
解析：令
因为函数在内恰有两个对称中心
所以
所以
所以
11写画(视为平面)上有灯塔、、和货轮,如图在的正东方向,在的正北方向.到的距离相等,且按逆时针排列,在直线两侧,若,,则_____.(结果精确到)
解析：设.
由题意,得,连接,则.
在中,.
由余弦定理,得,
即①.
在中,由正弦定理,得,
则②.
在中,由正弦定理,得
则③
联立①②③,可得
12已知,直线与函数的图像的交点为，若对的最小值为.最大值为,则_____.
解析：设,
由可知,或,
因为,则相邻交点最小距离为,
即.
所以,
即.
所以最小正周期为.
因为且,
所以.
故或.
则或.
当时,,
则.
当时,,
则.
故答案为:或.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第13、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13、两条异面直线所成角的范围是

解析：两条异面直线所成角的范围是
所以选：
14.以下关于平面向量的说法正确的是
若,则 若则
若是共线的单位向量.同 若,则不是共线向量
解析：若,则，正确；
所以选：.
15.在物理学中简谐运动可以用函数来表示,其部分图像如图所示,则下列结论正确的是
函数的图像关于点成中心对称
函数的解析式可以为
函数在上的值域为
若把图像上所有的点向右平移个单位,则所得函数是
解析：由函数图象的最高点的纵坐标可得,且,
可得,可得,
又,
可得,所以,
中,因为,,所以不是函数的对称中心,所以不正确；
中,,所以正确；
中,因为,所以,所以,即,所以不正确；
中,把图象上所有点向右平移个单位,则所得函数,所以不正确.
所以选:.
16.在中,角所对的边分别为,若,则的取值范围为

解析：因为,
所以,
又,
所以,
则,
又,
则,
所以或,即或,
所以,解得,则,
所以
因为,
所以,
所以,即的取值范围是.
所以选:.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题。第1小题6分,第2小题8分.
平面内给定两个向量.
求与夹角的余弦值；
若和垂直,求的值.
解析：
因为和垂直
所以
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,每2小题8分.
已知,
求的值；
求的值
解析：因为,所以
故.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题8分,第2小题6分.
如图,在正方体中,分别是棱的中点.
求异面直线与所成角的正切值；
证明:
解析：因为正方体中,,分别是棱的中点,
所以,且
所以四边形是平行四边形
所以.
因为正方体中,,分别是棱的中点,
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以.
由(1)知,
由图形可知均为锐角,
所以
20.(本題満分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
已知函数.
求的单调递增区间；
求函数在上的零点；
对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
解析：
,即
此时，在内解为
此时，内解为
综上:零点为。
当时,,故。
原式
当时，符合；
当时，
令,
因在上单调递增,最大值为:
综上：
21.(本题满分18分)本题共有3个小题。第1小题4分,第2小题6分,第3小题8
分.
如图,游客从其旅游景区的景点处到处有两种路径,一种是从沿直线步行圆,另一种先从沿紧道乘使车到,然后从沿直线步行到,现有中、乙两位游客从处到处,甲沿匀速步行,速度,在甲出发后,乙从乘重车到,在处停留,再从匀速步行到,假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.
求索道的长；
问,乙出发多少分钟后,乙在膜车上与甲的距离最短？
为使两位游客在处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应该控制在什么范围内？
解析：在中,,,
,
由正弦定理,可得:,
索道的长为.
假设乙出发后,甲、乙两游客距离为,此时,甲行走了,乙距离处,
由余弦定理得
故当时,甲、乙两游客距离最短.
由正弦定理,得.
乙从出发时,甲已走了,还需走才能到达,
设乙步行的速度为,由题意得,
解得:,
为使两位游客在处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应控制在,(单位:)范围内.