上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 已知集合，且，则______．
2. 函数过定点________.
3. 已知方程的两根为，，则______.
4. 半径为，圆心为的圆弧的长为___________.
5. 不等式的解集为____________.
6. 已知是第二象限角，则终边在第__________象限.
7. 记，那么______.
8. 关于x的方程的解集为________．
9. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______．
10. 已知，若实数且，则的最小值是______．
11. 设函数定义域为R,对于下列命题:
①若存在常数M,使得对任意的,都有成立,则M是函数的最大值;
②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点;
③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数;
④若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在R上严格递增;
其中，所有假命题的序号为__________.
12. 已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
14. 已知都是正数，则“”是“”的（ ）
15. 若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（ ）
16. 定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知，设集合，集合.
(1)分别求集合A和B；
(2)若，求a的取值范围.
18. 已知函数为幂函数，且为奇函数.
（1）求的值；
（2）求函数在的值域.
19. 诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为.
(1)请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元?当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）?
(2)设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为）,试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符,并说明理由.
20. 已知函数．
(1)判断函数的单调性，并用定义给出证明；
(2)解不等式；
(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
21. 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
(2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；
(3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.
上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、初中衔接知识点、三角函数与解三角形、等式与不等式、不等式选讲、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．都能被5整除
B．至多有一个能被5整除
C．或不能被5整除
D．都不能被5整除
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A．
B．2，3
C．
D．
A．存在唯一的常值函数是“m相依函数”
B．是“m相依函数”
C．“2025相依函数”至少有一个零点
D．“相依函数”至少有一个零点
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
9
适中
7
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
根据集合的包含关系求参数
2
0.85
对数型函数图象过定点问题
3
0.85
方程与不等式
4
0.94
角度化为弧度；弧长的有关计算
5
0.94
解不含参数的一元二次不等式；分式不等式
6
0.94
确定n分角所在象限
7
0.65
对数的运算性质的应用；运用换底公式化简计算
8
0.65
分类讨论解绝对值不等式
9
0.65
根据分段函数的单调性求参数
10
0.65
函数奇偶性的应用；基本不等式“1”的妙用求最值
11
0.85
定义法判断或证明函数的单调性；函数奇偶性的定义与判断；零点存在性定理的应用
12
0.65
画出具体函数图象；根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用；指数函数图像应用
二、单选题
13
0.85
反证法的概念辨析
14
0.85
判断命题的必要不充分条件；基本（均值）不等式的应用
15
0.85
二分法求函数零点的过程
16
0.4
零点存在性定理的应用；函数新定义
三、解答题
17
0.85
根据交集结果求集合或参数；分式不等式；根据集合的包含关系求参数；解含有参数的一元二次不等式
18
0.85
复杂（根式型、分式型等）函数的值域；根据函数是幂函数求参数值；函数奇偶性的应用
19
0.65
指数函数模型的应用（2）
20
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；根据函数的单调性解不等式；定义法判断或证明函数的单调性
21
0.4
函数新定义；解不含参数的一元二次不等式
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,14,17
2
函数与导数
2,7,9,10,11,12,15,16,18,19,20,21
3
初中衔接知识点
3
4
三角函数与解三角形
4,6
5
等式与不等式
5,10,14,17,21
6
不等式选讲
8
7
推理与证明
13