2024-2025学年上海市嘉定区封浜高级中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市嘉定区封浜高级中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“1b>0)的两个顶点M(0,2),N(0,−2)，且其离心率为 22．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)设过椭圆Γ的右焦点F的直线与其相交于A，B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，求直线AB的方程；
(3)设R为椭圆Γ上的一个异于M，N的动点，直线MR，NR分别与直线y=−4相交于点P，Q，试求|PQ|的最小值
21.(本小题14分)
已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，虚轴长为2，点A(−4,−1)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过原点O的直线与C交于S,T两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值；
(3)过点(0,1)的直线交双曲线C于P,Q两点，直线AP,AQ与x轴的交点分别为M,N，求证：MN的中点为定点．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5. 62
6.1
7.x+y−1=0
8.(x−3)2+(y−4)2=25
9.π6/30∘
10.2
11.52
12.8
13.4
14.(x− 10)2+y2=1
15.2
16.16 3
17.由于直线l0:x− 3y+1=0的斜率为 33，故它的倾斜角为π6，
由于直线l和直线l0:x− 3y+2=0的夹角为π3，故直线l的倾斜角为π2或5π6，
故直线l的斜率不存在或斜率为− 33．
再根据直线l经过点P(−3, 3)，得直线l的方程为x=−3或y− 3=− 33(x+3)，
即x=−3或x+ 3y=0．
18.解：(1)直线AB的斜率为1−(−1)0−(−2)=1，线段AB的中点坐标为(−1,0)
直线AB的垂直平分线的方程为y=−(x+1)，整理为y=−x−1
联立方程y=x+3y=−x−1，解得x=−2y=1
由圆C的性质可知，圆心C的坐标为(−2,1)，可得圆C的半径为|AC|=2
故圆C的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=4
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线x=−4正好与圆C相切，
故此时直线l的方程为x=−4
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x+4)，
整理为kx−y+4k+2=0
由直线l与圆C相切，有|−2k−1+4k+2| k2+1=2，解得k=34
可得直线l的方程为34x−y+5=0，
整理为3x−4y+20=0
故直线l的方程为x=−4或3x−4y+20=0．
19.(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1,0)，
所以直线l的斜率为2−00−1=−2，所以直线l的方程为y−0=−2(x−1)，
即y=−2x+2，
联立y=−2x+2y2=4x，整理得x2−3x+1=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，所以x1+x2=3，x1⋅x2=1，
所以|AB|= 1+k2⋅ x1+x22−4x1x2= 1+4⋅ 9−4=5；
(2)
由已知可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+2，
联立y=kx+2y2=4x，整理得k2x2+(4k−4)x+4=0，
因为直线l与抛物线有两个交点，所以Δ=(4k−4)2−4k2×4=−32k+16>0，
所以k0,
所以y1+y2=kx1+1+kx2+1=kx1+x2+2=21−8k2②
y1y2=kx1+1kx2+1=k2x1x2+kx1+x2+1=1③
直线AP的方程为y=y1+1x1+4(x+4)−1，令y=0，得点M的横坐标为xM=x1+4y1+1−4；
同理可得点N的横坐标为xN=x2+4y2+1−4；
所以xM+xN=x1+4y1+1+x2+4y2+1−8
=x1y2+x2y1+x1+x2+4y1+y2+8y1+1y2+1−8
=x1kx2+1+x2kx1+1+x1+x2+4y1+y2+8y1y2+y1+y2+1−8
=2kx1x2+2x1+x2+4y1+y2+8y1y2+y1+y2+1−8.
将①②③式代入上式，并化简得到
xM+xN=8+81−8k22+21−8k2−8=4−8=−4,
所以MN的中点的横坐标为x=xM+xN2=−2，
故MN的中点是定点(−2,0)．