2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=4−i3−5i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知a=(1,2)，向量b为单位向量，(a+b)⋅a=4，则cs〈a,b〉=( )
A. 55B. − 55C. 15D. −15
3.函数y=2sinx−csx(x∈R)的最小正周期为( )
A. 2πB. πC. 3π2D. π2
4.下列关于平面基向量的说法中，正确的是( )
①平面内不平行的任意两个向量都可以作为一组基向量；
②基向量中的向量可以是零向量；
③平面内基向量一旦确定，该平面内的向量关于基向量的线性分解形式是唯一确定的．
A. ①B. ②C. ①、③D. ②、③
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.AB+BA= ______．
6.已知a=(1,2)，b=(1,3)，则a⋅b= ______．
7.已知复数z1=1+3i，z2=3+2i，则z1−z2在复平面内对应的点位于第______象限．
8.已知关于x的实系数二次方程x2+bx+c=0的一根为1−i(其中i是虚数单位)，则b+c= ______．
9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB与DC1所成角的大小为______．
10.已知a=(1,0)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影向量为______(用坐标表示)．
11.给出下列命题：
①书桌面是平面；
②平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；
③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.正确的是______(填写序号)．
12.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m//n，m⊥α，n⊥β⇒α//β；
②α/​/β，m⊂α，n⊂β⇒m/​/n；
③m⊥n，m/​/α⇒n/​/α；
④α/​/β，m/​/n，m⊥α⇒n⊥β，
其中正确的序号是______．
13.已知复数z满足|z−1+2i|=1，则|z|的最小值为______．
14.已知向量a=(1,1),b=(2,−1)，若a+b与2a+λb的夹角为锐角，其中λ∈R，则λ的取值范围是______．
15.将函数y=3cs(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ= ______．
16.如图，在四面体A−BCD中，AC=2,BD= 2,AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知i是虚数单位，复数z=(m2−m−2)+(m2−3m+2)i，m为实数．
(1)当实数m满足什么条件时，z为纯虚数．
(2)若复数z在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数z．
18.(本小题14分)
如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且PD⊥平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点．
(1)求证：EF/​/平面PAB；
(2)若AB=1，∠DAB=60°，PD=2 2，求直线BE与平面ABCD所成角的大小．
19.(本小题14分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，m=a+kb(k∈R)．
(1)若m与向量2a−b垂直，求实数k的值；
(2)若向量c=(1,−1)，且m与向量kb+c平行，求实数k的值．
20.(本小题18分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
(1)求证：AB/​/平面A1DCB1；
(2)求直线A1B与B1C所成的角的大小；
(3)求证：BC1⊥平面A1DCB1．
21.(本小题18分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−bc=a2．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若b=2，sinC=17．
(i)求sinB的值；
(ii)求△ABC的面积．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.C
5.0
6.7
7.二
8.0
9.45°
10.(925,1225)
11.③
12.①④
13. 5−1
14.(−1,2)∪(2,+∞)
15.5π12
16. 22或 102
17.解：(1)由复数z=(m2−m−2)+(m2−3m+2)i是纯虚数，则m2−m−2=0m2−3m+2≠0，解得m=−1；
(2)由复数z在复平面内对应的点位于实轴负半轴，得m2−m−2<0m2−3m+2=0，解得m=1，则z=−2．
18.解：(1)证明：因为E、F分别是为PD，PC的中点，
所以EF/​/DC，又因为AB//DC，
所以EF/​/AB，
因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以EF/​/平面PAB；
(2)因为ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=1，
所以三角形ABD为等边三角形，
故BD=AB=1，
又PD=2 2，所以DE= 2，
因为PD⊥平面ABCD，
所以∠EBD就是直线BE与平面ABCD所成角，
在直角三角形EDB中，
tan∠EBD=EDBD= 21= 2，
所以∠EBD=arctan 2，
即直线BE与平面ABCD所成角的大小为arctan 2．
19.解：(1)m=a+kb=(−3+k,1−2k)，2a−b=(−7,4)．
∵m与向量2a−b垂直，
∴m⋅(2a−b)=−7(−3+k)+4(1−2k)=0，解得k=53．
(2)kb+c=(k+1,−2k−1)，
∵m与向量kb+c平行，
∴(−2k−1)(−3+k)−(1−2k)(k+1)=0，解得k=−13．
20.(1)证明：因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可知AB/​/A1B1，
而AB⊄平面A1DCB1，A1B1⊂平面A1DCB1，
所以AB/​/平面A1DCB1；
(2)解：如图，连接A1D，BD，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可知A1B1/​/CD，A1B1=CD，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D/​/B1C，
所以∠DA1B(或其补角)是直线A1B与直线B1C所成角，又A1D=A1B=BD，
所以∠DA1B=60°，
所以直线A1B与直线B1C所成角为60°；
(3)证明：因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
可知A1B1⊥平面BB1C1C，且BC1⊂平面BB1C1C，
所以A1B1⊥BC1，
又因为BC1，B1C是正方形BB1C1C的对角线，因此BC1⊥B1C，
又A1B1∩B1C=B1，且A1B1，B1C⊂平面A1DCB1，
所以BC1⊥平面A1DCB1．
21.解：(Ⅰ)b2+c2−bc=a2，
由余弦定理可知，b2+c2−2bc⋅csA=a2，
则csA=12，
A∈(0,π)，
则A=π3；
(Ⅱ)(i)sinC=17则a故csC= 1−sin2C=4 37，
故sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC= 32×4 37+12×17=1314，
(ii)由正弦定理可知，a=bsinAsinB=2× 321314=14 313，
故△ABC的面积为12absinC=12×14 313×2×17=2 313．