上海市实验学校2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[附解析]

这是一份上海市实验学校2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[附解析]，共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1．与的等差中项为 .
2．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 .
3．若是关于的方程的一个根，则 ．
4．计算： .
5．已知平面向量，，若，则 .
6．将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 .
7．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 .
8．已知函数在处取得最小值，则 .
9．已知数列满足，，数列满足，若对任意正整数，都有，则的取值范围为 .
10．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 .
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题选对得4分，否则一律得零分）
11．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状
为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
13．已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
14．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. （本题满分10分）
已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．
(1)求复数；
(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16．（本题满分10分）
已知是数列的前项和，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
17.（本题满分12分）
如图，扇形的面积为，且.
(1)求.
(2)若，且，求，的值.
(3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由.
18. （本题满分12分）
已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式；
(3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
四、附加题
19．（本题满分10分）
对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”.
(1)若，，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(2)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值.
20．（本题满分10分）
两个由实数组成的无穷数列和具有下述关系：对，，都有
已知，. 求的所有可能值.
上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学答案
一、填空题（本大题满分40分,共有10题，每题填对得4分，否则一律得零分）
1．与的等差中项为 .
【答案】
【详解】由等差中项的定义可知，与的等差中项为.
故答案为：
2．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【详解】因为，，所以在方向上的投影向量的坐标为.故答案为：.
3．若是关于的方程的一个根，则 ．
【答案】
【详解】根据方程复数根互为共轭复数，可得为另外一个根.
利用韦达定理结合复数的加法和乘法运算可知，故答案为：.
4．计算： .
【答案】
【详解】，故.故答案为：
5．已知平面向量，，若，则 .
【答案】/
【详解】由，，且，得，所以，
所以.故答案为：.
6．将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 .
【答案】/
【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
可得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位，
得到函数的图象，
因为函数为偶函数，则，可得，
故当时，取最小值.故答案为：.
7．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 .
【答案】
【详解】因为 为等差数列，所以
．故答案为：.
8．已知函数在处取得最小值，则 .
【答案】
【详解】因为， 其中
因为函数在处取得最小值，则
则 ，即 ，
所以 故答案为：
9．已知数列满足，，数列满足，若对任意正整数，都有，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，所以，即，
得到，而，则，
故是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，即，
因为，所以，
则，
因为，所以，
则，即，
得到，且令，
我们对的取值进行分类讨论，易得，
当为奇数时，，当为偶数时，，
当为奇数时，可得，此时令，
由一次函数性质得在上单调递增，故，此时得到，
当为偶数时，可得，此时，
令，由一次函数性质得在上单调递减，
故，此时得到，综上可得，.故答案为：
10．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 .
【答案】
【详解】延长交于点，连接，作于点，
则分别为的中点，如下图所示：
易知，
同理可得，由重心性质可知；
所以；又，即，可得；
所以，可得；
因此，即.故答案为：
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题选对得4分，否则一律得零分）
11．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】作出图形如图所示，令，，
则，而，，，
所以在中，，故.故选：A.
12．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状
为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】C
【详解】由，可得，，，所以，，
因为，所以，即，所以是等腰三角形.故选：C.
13．已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【详解】由是偶函数，得，
展开并整理得：，根据二倍角公式得：，
整理得：，结合，得，代入，，
则，
利用积化和差公式：
化简得：，当时，取得最大值.故选：B
14．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】，，
当时，，所以不具有充分性；
，所以，
又，则，所以，
所以，不妨设
因为数列为正项数列，所以设公比为，则，，
当时，，，所以，，
当时，，；
当时，，，所以，，
所以，所以具有必要性，
综上，是的必要不充分条件.故选：A.
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. （本题满分10分）
已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．
(1)求复数；
(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)且.
【详解】（1）设复数，由是实数知，即，
所以．又因为是纯虚数，则为纯虚数，
即且，所以，所以．
由（1）知，则，
所以，，
因为向量与的夹角为钝角，所以，
且与不共线，即，且
解得且.
16．（本题满分10分）
已知是数列的前项和，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）由数列满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，即，
当时，，即，解得，
所以数列是首项为，公比的等比数列.
（2）由（1）可得数列的通项公式为，则，
令，可得数列的前项和为，
当时，可得；
当时，可得
，
所以数列的前项和.
17.（本题满分12分）
如图，扇形的面积为，且.
(1)求.
(2)若，且，求，的值.
(3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由.

【答案】(1) (2)， (3)存在，，理由见解析；
【详解】（1）由题意可得，，则.
（2）因，则，则，
因，则，解得，.
（3）设存在，以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，
则由，可得，即
则，
即，得或，
因，则，则，则，
故存在，使得.
18. （本题满分12分）
已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式；
(3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.
【答案】(1) (2) (3)627
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，
解得，所以，.
（2）设，则，
，
因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数，
即，.
（3）因为，所以，所以；
又，所以，
，
，
两式相减可得
.
，
.
因为，所以；所以，
时，令，则，
即为递增数列，所以，解得，
故的最小值为.
四、附加题
19．（本题满分10分）
对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”.
(1)若，，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(2)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值.
【答案】(1)存在， (2)12144
【详解】（1）法1：，，
，，，…
向量组以4为周期.，
，不是该向量组的“1向量”；
，是该向量组的“1向量”；
，不是该向量组的“1向量”；
，不是该向量组的“1向量”；
存在“1向量”，“1向量”为.
法2：由题意可得，
因为，
所以向量组以4为周期，若存在“1向量”，只需使，
又，所以，
故只需使
，即，
当时，符合要求，
故存在“1向量”，且“1向量”为；
（2）由题意，，即，
，
同理，，
上述三式相加，得：，，
又.，
设，则依题意得，
得，
故，
，
所以，
，
当，即时，，，
.
20．（本题满分10分）
两个由实数组成的无穷数列和具有下述关系：对，，都有
已知，. 求的所有可能值.
【答案】
【详解】记, ，则有，
于是，数是函数的两个实数根.
可知，这表明的判别式4.
因为函数总有两个实数根，所以，进而.
由以及，知，进而.
依次倒推，结合，知.