初中数学21.2.2 公式法教学设计

这是一份初中数学21.2.2 公式法教学设计，共6页。教案主要包含了复习引入，探索新知，巩固练习，应用拓展，归纳小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
21.2.2 公式法     教学内容    1．一元二次方程求根公式的推导过程；    2．公式法的概念；    3．利用公式法解一元二次方程．    教学目标    理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．    重难点关键    1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．    2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．    教学过程    一、复习引入    （学生活动）用配方法解下列方程    （1）6x2-7x+1=0   （2）4x2-3x=52    （老师点评）  （1）移项，得：6x2-7x=-1    二次项系数化为1，得：x2-x=-    配方，得：x2-x+（）2=-+（）2              （x-）2=x-=±  x1=+==1  x2=-+==    （2）略    总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．    （1）移项；    （2）化二次项系数为1；    （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；    （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；    （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．    二、探索新知    如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．    问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=    分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．    解：移项，得：ax2+bx=-c    二次项系数化为1，得x2+x=-    配方，得：x2+x+（）2=-+（）2    即（x+）2=    ∵b2-4ac≥0且4a2>0    ∴≥0    直接开平方，得：x+=±    即x=    ∴x1=，x2=    由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：    （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．    （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．    （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．    （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．    例1．用公式法解下列方程．    （1）2x2-4x-1=0        （2）5x+2=3x2    （3）（x-2）（3x-5）=0   （4）4x2-3x+1=0    分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．    解：（1）a=2，b=-4，c=-1    b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0    x=    ∴x1=，x2=    （2）将方程化为一般形式     3x2-5x-2=0     a=3，b=-5，c=-2     b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0    x=    x1=2，x2=-    （3）将方程化为一般形式    3x2-11x+9=0    a=3，b=-11，c=9    b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0    ∴x=    ∴x1=，x2=    （3）a=4，b=-3，c=1    b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0    因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．    三、巩固练习    教材P42  练习1．（1）、（3）、（5）    四、应用拓展    例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．    （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．    （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．    你能解决这个问题吗？    分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．    （2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③    解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2                               m2=1  m=±1      当m=1时，m+1=1+1=2≠0      当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）      ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0      a=2，b=-1，c=-1      b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9      x=      x1=，x2=-      因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．    （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0    因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0    所以m=0满足题意．    ②当m2+1=0，m不存在．    ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0    所以m=-1也满足题意．    当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，    解得：x=-1    当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0    解得x=-    因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．    五、归纳小结    本节课应掌握：    （1）求根公式的概念及其推导过程；    （2）公式法的概念；    （3）应用公式法解一元二次方程；    （4）初步了解一元二次方程根的情况．    六、布置作业    1．教材P45  复习巩固4．    2．选用作业设计:     一、选择题    1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（  ）．A．x=     B．x=    C．x=     D．x=    2．方程x2+4x+6=0的根是（  ）．A．x1=，x2=     B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=     D．x1=x2=-    3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（  ）．      A．4     B．-2     C．4或-2     D．-4或2    二、填空题    1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．    2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．    3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．    三、综合提高题    1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．    2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．    3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．    （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元） 3       80       25 4       45       10    根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？ 答案:一、1．D  2．D  3．C二、1．x=，b2-4ac≥0   2．4  3．-3三、1．x==a±│b│2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，    ∴x1=，x2=    ∴x1+x2==-，    x1·x2=·=    （2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0    原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2        =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）        =03．（1）超过部分电费=（90-A）·=-A2+A （2）依题意，得：（80-A）·=15，A1=30（舍去），A2=50