西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．下列城市地铁的标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．B．C．或D．或
6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，垂直平分，交于点D，连接垂直平分，交于点F，连接，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．如图，将绕点A顺时针能转得到，点的对应点分别为点，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
10．如图，中，D是的中点，，，交于，，，则的值为（ ）
A．19B．20C．21D．22
二、填空题
11．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．将点向右平移3个单位到点B，且点B在y轴上，那么点A坐标为 ．
13．如图，将沿射线平移后，得到，若，则平移距离为 ．
14．如图，在中，，平分，过点B作于点D，若，，则的度数为 ．
15．若关于x的不等式组的最小整数解是1，则实数a的取值范围是 ．
16．如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ．
17．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
18．因式分解： ．
19．如图，线段的垂直平分线交于点C，且，则的度数为 ．
20．平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C是线段的中点，点D在x轴正半轴上，连接，将射线绕着点C逆时针旋转，得到射线，射线交y轴于点E，连接，若的周长为14，则直线的解析式是 ．
三、解答题
21．计算：
(1)解不等式：
(2)解不等式组：
22．因式分解：
(1)；
(2)．
23．先化简：，再从中选择一个适当的数代入求值．
24．如图，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，画出
(2)将绕原点O逆时针旋转后得到，画出
25．如图，在中，，过点B作于点平分交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
26．西安以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡，五一期间，景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和2件B型汉服共340元；购买4件A型汉服和3件B型汉服共需760元．
(1)求两种类型汉服的单价．
(2)该商店计划购买两种类型汉服共60件，且A型汉服的数量不超过B型汉服数量的，请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少，并求出最少费用．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点，点C在x轴上，平分．
(1)求线段的长；
(2)若点D是y轴上的一个动点，当是等腰三角形时，请求出点D的坐标．
28．在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图1，内部有一点P，连接，求的最小值．
【问题解快】小明是这样做的：他将绕点C顺时针旋转得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因此．
（1）由_______（数学依据）可知：的最小值与线段的_______的长度相等，此时_______
（2）【类比应用】如图2，在中，为内一点，连接，求的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中，米，米，规划部门计划在等腰区域种植花卉，其中是边上的两个动点，且始终保持．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
《陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题》参考答案
1．A
解：是中心对称图形，故选项A符合题意；
不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选A．
2．D
解：A、不等式两边同时可得，，不等式变形错误，不符合题意；
B、当时，；当时，；当时，，不等式变形错误，不符合题意；
C、不等式两边同时可得，，不等式变形错误，不符合题意；
D、不等式两边同时可得，，不等式变形正确，符合题意；
故选：D．
3．B
解：根据因式分解的定义，可知A，C，D选项不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，
只有B选项，是因式分解，
故选：B．
4．B
解：，
∴，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
5．A
解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立；
当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：
故选：A．
6．D
解：∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
7．C
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵
则在中，，
∴，
∴，
故选：C
8．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（，故，舍去）
∴，
∴此三角形的形状是等腰三角形．
故选：A．
9．D
解：∵将绕点A顺时针能转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
解得（负值已舍去），
过点作，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
10．C
解：连接，，
∵D是的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
过点E作，交的延长线于点G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
11．真
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：真．
12．
解：点向右平移3个单位到点B，
，
点B在y轴上，
，
，
．
故答案为：．
13．5
解：∵沿射线平移后，得到，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：5
14．
解：延长交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：解不等式得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的最小整数解为1，
∴，
解得：，
故答案为：．
16．
解：∵，，，
∴，
过点作交延长线于点，则，
，
∵四边形面积为，
∴，
又∵，
∴，则，
延长至使得，
∴是的垂直平分线，
∴，
则，当点在上时取等号，
∴的最小值为．
17．4
解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴，2，3，6，，，，，
解得：，，1，，，，，，
其中x的值为整数有：，1，，共4个．
故答案为：4．
18．
解：原式
；
故答案为： ．
19．
解：连接，如图所示：
∵线段的垂直平分线交于点C，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
20．
解：∵直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，
∴当时，则，
解得，即；
∴当时，则，即；
∵点C是线段的中点，
∴
点D的横坐标为t，
∵的周长为14，
∴，
在中，，
即，
设，则，
∴，
∴，
∴
整理得：，
解得．
过点D作交的延长线于点H；过点H作x轴的平行线，交过点D与y轴的平行线于点N，交过点C与y轴的平行线于点M，
∵将射线绕着点C逆时针旋转，得到射线，
∴，
则为等腰直角三角形，
则，，
设点H的坐标为，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即，，
解得，
即点H的坐标为
设直线的表达式为，将H，C的坐标代入得：
，
解得，
∴，
当时，，
即，
∵，
∴，
解得：（负值已舍去）
故点D的坐标为
则，
故点，
设直线的表达式为，
则，
解得，
故直线的表达式为．
故答案为：．
21．(1)
(2)
（1）解：
解得：；
（2）解：
由①可得：；
由②可得：；
∴原不等式组的解集为．
22．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
23．，选代入，
解：原式
；
由题意可知，且，
将代入，原式．
24．(1)见详解
(2)见详解
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示．
25．(1)见详解
(2)
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．(1)A类型汉服的单价为每件100元，B类型汉服的单价为每件120元
(2)购买B类型汉服40件，购买A类型汉服为20件，总花费最少为6800元
（1）解：设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，
根据题意有：，
解得：，
故A类型汉服的单价为每件100元，B类型汉服的单价为每件120元．
（2）解：设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，
∵，
则，
根据题意有：，
∵，
∴w随着a的增大而增大，
∵
则当a取最小值40时，w取的最小值．
当时，
．
故购买B类型汉服40件，购买A类型汉服为20件，总花费最少为6800元．
27．(1)
(2)点D的坐标为或或或
（1）解：令，则有，解得：，
令，则有，
∴，
∴，
∴，
过点C作于点E，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：当是等腰三角形时，则可分：
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，则有或，
∴或；
当时，如图，
设，则有，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
综上所述：当是等腰三角形时，点D的坐标为或或或．
28．（1）两点之间，线段最短；；；（2）；（3）米
解；（1）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
∴此时；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；
如图所示，过点E作交延长线于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为；
（3）如图所示，过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得米，
在中，由勾股定理得米，
∴，即点Q为的中点；
∵，
∴，
又∵米，
∴是等边三角形，
∴，
∴米；
如图所示，将绕点Q顺时针旋转得到，连接，
同理可得，的最小值为线段的长，
由旋转的性质可得米，，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴的最小值为米．