陕西省西安市铁一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份陕西省西安市铁一中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题）
1．在实数﹣、、、中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：，＝2，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
故在实数﹣、、、中，是无理数的是．
故选：D．
2．如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积其中S2＝6π，S3＝10π，则S1为（ ）
A．8πB．4πC．16πD．4
解析：解：∵S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，
又BC2+AC2＝AB2，
∴S1＝S2﹣S3＝10π﹣6π＝4π．
故选：B．
3．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2D．∠A+∠B＝∠C
解析：解：a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；
由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54B．60C．100D．110
解析：解：如图延长EG交BC于M，其他字母标注如图示：根据题意，EF＝3，EG＝4，FG＝5，
在Rt△EFG和Rt△MGQ中，
∵∠FEG＝∠GMQ＝90°，∠EFG＝∠MGQ，FG＝QG，
∴Rt△EFG≌Rt△MGQ（AAS），
∴GM＝EF＝3，MQ＝EG＝4
∴AB＝3+4+3＝10，
同理可证△GMQ≌△QCH，
∴CQ＝GM＝3，
∴BC＝4+4+3＝11．
空白部分的面积＝长方形面积﹣三个正方形的面积和＝11×10﹣（32+42+52）＝60．
故选：B．
5．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则a的值是（ ）
A．﹣2B．7C．﹣7D．49
解析：解：∵2x﹣3与5﹣x是正数a的平方根，
∴2x﹣3+5﹣x＝0．
解得x＝﹣2．
∴2x﹣3＝﹣7，5﹣x＝7．
∵（±7）2＝49．
∴a的值为49．
故选：D．
6．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数；③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法正确；
②实数分为正实数、负实数和零，故说法错误；
③立方根等于它本身的数有﹣1，0和1，故说法正确；
④无理数是开方开不尽的数，即无理数是无限不循环小数，也是无限小数，故说法正确；
⑤算术平方根等于本身的数是1和0，故说法错误；
故选：C．
7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5B．25C．10+5D．35
解答】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，
由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．
（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，
由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB＝＝＝5；
由于25＜5＜5，
故选：B．
8．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：根据图形可得：
AB＝AC＝＝，
BC＝＝，
∠BAC＝90°，
设△ABC中BC的高是x，
则AC•AB＝BC•x，
×＝•x，
x＝．
故选：A．
9．已知实数a满足|2022﹣a|+＝a，则a﹣20222的值为（ ）
A．2022B．2023C．20222D．20232
解析：解：由题意得：a﹣2023≥0，
解得：a≥2023，
则a﹣2022+＝a，
∴＝2022，
∴a﹣2023＝20222，
∴a﹣20222＝2023，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于（ ）
A．5B．20C．D．
解析：解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵AD＝15，AC＝17，
∴DC＝＝＝8，
∵BC＝28，
∴BD＝28﹣8＝20，
由勾股定理得：AB＝＝25，
过点E作EG⊥AB于G，
∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，
∴EG＝ED，
在Rt△BDE和Rt△BGE中，
∵，
∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），
∴BG＝BD＝20，
∴AG＝25﹣20＝5，
设AE＝x，则ED＝15﹣x，
∴EG＝15﹣x，
Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，
x＝，
∴AE＝．
故选：D．
二、填空题（共6小题）
11．81的算术平方根的平方根是 ±3 ．
解析：解：81的算术平方根的平方根是±3，
故答案为：±3．
12．比较大小： ＜ ．（填“＞”，“＜”或“＝”）
解析：解：﹣
＝
＝
∵，
∴4，
∴，
∴﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
13．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是 32或42 ．
解析：解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝＝＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
综上所述，△ABC的周长是42或32．
故填：42或32．
14．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：|a﹣b|＝ a ．
解析：解：由数轴可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a﹣b＞0，
∴|a﹣b|
＝a+a﹣b﹣（a﹣b）
＝a，
故答案为：a．
15．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6米，AB＝5米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 3 米．
解析：解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB﹣2+3个正方形的宽，
∴长为5﹣2+3×2＝9米；宽为6米．
于是最短路径为：＝3米．
故答案为：3．
16．如图，等边△ABC，边长是8．点M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，点P是边AC上的动点，连接PM、PN．若PM+PN＝4，则线段PC的长为 4 ．
解析：解：如图，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，AG⊥BC于点G，连接BP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABG＝60°，
∴∠BAG＝30°，
∴BG＝AB＝4，
∴AG＝BG＝4，
∴S△ABC＝BC•AG＝8×4＝16，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP＝AB•PD＝BC•PE，
∴8（PD+PE）＝16，
∴PD+PE＝4，
∵PM≥PD，PN≥PE，
∴PM+PN≥PD+PE＝4，
∵PM+PN＝4，
∴PM+PN＝4＝PD+PE，
∴此时M，D重合，N、E重合，即BD＝BE，
在Rt△BPD和Rt△BPE中，
BP＝BP，BD＝BE，
∴Rt△BPD≌Rt△BPE（HL），
∴∠DBP＝∠CBP＝30°，
∵AB＝BC＝AC＝8，
∴PC＝BC＝4，
故答案为：4．
三、解答题
17．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解析：解：（1）原式＝2﹣3+5
＝4；
（2）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（3）原式＝2+﹣﹣
＝2+﹣﹣
＝+；
（4）原式＝4+4+3﹣（9﹣2）+4﹣2
＝4+2．
18．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，
（1）如图1，点A表示的数是 ；
（2）如图2，直线l垂直数轴于原点在数轴上，请用尺规作出表示1﹣的点（不写作法，保留作图痕迹）．
解析：解：（1）如图：
∵OA＝OB＝＝，
∴点A表示的数是，
故答案为：；
（2）如图所示：
点P即为所求．
19．求下列各式中x的值：
（1）25x2﹣64＝0；
（2）343（x+3）3+27＝0．
解析：解：（1）∵25x2﹣64＝0
∴25x2＝64
∴x2＝，
解得，x1＝，x2＝﹣；
（2）∵343（x+3）3+27＝0
∴343（x+3）3＝﹣27
∴（x+3）3＝
∴x+3＝﹣，
解得，x＝﹣3．
20．（1）在如图中画出边长为、、的三角形．
（2）该三角形的面积为 ．
解析：解：（1）如图，△ABC即为所求.
（2）△ABC的面积为＝．
故答案为：．
21．已知5a+2的立方根是3，b+1是9的平方根，c是的整数部分，求a+b+c的值．
解析：解：由已知得：5a+2＝27，b+1＝±3，c＝4，
解得：a＝5，b＝2或b＝﹣4，c＝4，
当b＝2时，a+b+c＝5+2+4＝11；
当b＝﹣4时，a+b+c＝5+（﹣4）+4＝5；
综上所述，a+b+c等于5或11．
22．我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200元，则共需要投入多少钱？
解析：解：连接AC，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC＝＝25（米）．
在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×15×20+×7×24＝234（平方米）．
∴四边形空地ABCD的面积为234平方米．
∴200×234＝46800（元）．
答：学校共需投入46800元．
23．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
解析：解：（1）海港C受台风影响，理由：
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
过点C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，
∵ED＝（km），
∴EF＝2ED＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
24．在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：．
（2）若a＝，求3a2﹣18a+1的值．
解析：解：（1）＝＝＝3+；
（2）∵a＝＝＝＝3﹣2，
∴a﹣3＝﹣2，
∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，
∴a2﹣6a＝﹣1，
∴3a2﹣18a＝﹣3，
则3a2﹣18a+1＝﹣3+1＝﹣2．
25．如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．
（1）如图1，点B'落在边AD上，若AE＝2，则AB'＝ 2 ，FB'＝ 4 ；
（2）如图2，若BE＝2，点F是BC边中点，连接B'D、FD，求△B'DF的面积；
（3）如图3，点F是边BC上一动点，过点F作EF⊥DF交AB于点E，将△BEF沿着EF翻折得到△B'EF，连接DB'，当△DB'F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．
解析：解：（1）∵AE＝2，AB＝6，
∴BE＝4，
∵将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，
∴BE＝B'E＝4，BF＝B'F，
∴AB'＝＝＝2，
如图1，过点B'作BH⊥BC于H，
∴四边形ABHB'是矩形，
∴BA＝B'H＝6，AB'＝BH＝2，
∴HF＝BF﹣2，
∵B'F2＝B'H2+HF2＝36+（B'F﹣2）2，
∴B'F＝4，
故答案为：2，4；
（2）如图2，连接BB'，交EF于N，连接B'C，过点B'作B'M⊥于M，
∵点F是BC边中点，
∴BF＝CF＝4，
∵将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，
∴BF＝B'F＝BC，BN＝B'N，BB'⊥EF，
∵BE＝2，BF＝4，
∴EF＝＝＝2，
∵S△BEF＝×BE•BF＝×EF•BN，
∴2×4＝2BN，
∴BN＝，
∴FN＝＝，BB'＝，
∴B'M＝＝，
∴MF＝＝，
∴△B'DF的面积＝×（+6）×（4+）﹣×4×6﹣××＝13.6；
（3）若DF＝B'F时，则BF＝DF＝B'F，
∵DF2＝DC2+CF2，
∴（8﹣CF）2＝36+CF2，
∴CF＝，
若DF＝B'D时，如图3，过点D作DQ⊥B'F于Q，
∴B'Q＝QF，
∵EF⊥DF，
∴∠EFB'+∠DFB'＝90°＝∠BFE+∠DFC，
∴∠DFC＝∠DFB'，
又∵∠DQF＝∠C＝90°，DF＝DF，
∴△DFC≌△DFQ（AAS），
∴CF＝QF＝BF，
∵BC＝BF+CF，
∴8＝2CF+CF，
∴CF＝，
综上所述：CF的长为或．