西安市铁一中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．不等式2x+3＜5的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．若不等式的解集是，则必满足（ ）
A．B．C．D．
4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O．如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．不等式的负整数解有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
6．如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知．则图中阴影部分的面积为（ ）

A．48B．38C．39D．24
8．如图，中，，且垂直平分，交于点，交于点，若周长为，则为（ ）
A．5B．8C．9D．10
9．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．若点D为等边内一点，且，，，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．命题“如果，那么”，则它的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
12．把点先向上平移4个单位，再向左平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为 ．
13．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买 瓶甲饮料．
14．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为14和22，则的长为 ．
15．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
16．如图，中，，，点D为线段的中点，点E、F分别为线段上的点，且，则周长的最小值为 ．
17．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：，则2和26均为“和谐数”．在不超过2024的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ．
18．如图，在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C在坐标轴上，点P在BC边上，直线：，直线：．已知点M在第一象限，且是直线上的点，若是等腰直角三角形，则点M坐标是 ．
三、解答题
19．（1）计算：
（2）解不等式：
20．解不等式组：
(1)
(2)
21．如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)根据要求画图：将绕原点O逆时针旋转后得到．
(2)的面积是______．
22．定义运算；当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题：
(1)______，当时，______；
(2)若，求x的取值范围；
23．如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形．
24．初二年级组织师生到秦岭国家植物园研学，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客300人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和B型两种客车共40辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，则采用哪种租车方案租金最少？最少租金是多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点、交y轴于点．
(1)求直线l对应的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，若存在，请求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______．
（2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由
（3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离．
《陕西省西安市铁一中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题》参考答案
1．A
解：A、这个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项是正确的；
B、这个图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、这个图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：A
2．A
移项得，2x＜5﹣3，
合并同类项得，2x＜2，
系数化为1得．x＜1．
在数轴上表示为：
故选A．
3．C
解： 不等式的解集是，
＜
＜
故选：
4．D
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEE＝90°，
在△ADC和△AEB中，
∵∠ADC=∠AEB，∠DAC=∠EAB，AC=AB，
∴△ADC≌△AEB（AAS）；
∴AD＝AE，∠C＝∠B，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
∵∠B=∠C，∠BOD=∠COE，BD=CE，
∴△BOD≌△COE（AAS）；
∴OB＝OC，OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∵OA=OA，OD=OE，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）；
∴共有4对全等三角形，
故选：D．
5．D
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
不等式两边同除以得：，
不等式的负整数解有，，共3个，故D正确．
故选：D
6．A
解：，，
，，
，
，
，
故B不符合要求；
，
故C不符合要求；
，
故A符合要求；
，
，
故D不符合要求；
故选：．
7．C
解：由平移的性质知，，
∴，
∴．
故选：C．
8．A
解：∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
解：由，得：，
由，得：，
不等式组只有4个整数解，
∴
，
解得，
故选：A．
10．A
解：如图，将绕点顺时针旋转得，再过点作，交延长线于点，如下图：
由旋转的性质知，，，，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
在中，，
，，
在中，由勾股定理得，，
，
又等边的面积，
等边的面积，
故选：A．
11．假
解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
12．
解：根据题意，点Q的坐标是，
即．
故答案为：．
13．3
设小宏能买瓶甲饮料，则买乙饮料瓶．根据题意，得
解得
所以小宏最多能买3瓶甲饮料．
14．11
解：如图作于E，
∵，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：11．
15．
解：由图可知：两条直线的交点坐标为，
∵，
∴，
∴，即直线在直线的上方，
∵当时，直线在直线的上方，
∴解集为，
故答案为：．
16．/
解：∵，，点D为线段的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为定值，
∴当最小时，的周长最小，
过点作，，连接，作关于的对称点，连接，
则：四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，的周长最小，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵作关于的对称点，
∴，
∴三点共线，
∴，
在中，，
∴周长的最小值为：；
故答案为：．
17．6860
解：
（其中k为非负整数），
由得，，
∴，1，2，…，8，9，即得所有不超过2024的“和谐数”，
∴它们的和为：．
故答案为：6860．
18．，、或，．
解：直线，
当时，，
点的坐标为，
∵在矩形中，点O为坐标原点，点B的坐标为
∴
①若点为直角顶点，点在第一象限，，如图1所示，
过点作轴于点，过点作轴于点，
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
则，
，，
点的纵坐标是7，
将代入，得，
，
，
点的坐标为，
点在边上，
此种情况不存在；
②若点为直角顶点，点在第一象限，如图2所示，
过点作交的延长线于点，
∴
∵是等腰直角三角形，
∴
∴
则，
，，
设点的坐标为，则，故，
，
，
解得，，
，
即点的坐标为，；
③若点为直角顶点，点在第一象限，如图3所示，
设点的坐标为，
过点作轴，交轴于点，交于点，
则同理可证
，
又，
，
解得，，
，
点的坐标为；
设点的坐标为，同理可得，，解得，，
，
即点的坐标为，；
由上可得，点的坐标为，、或，．
故答案为：，、或，．
19．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）∵
∴
则
解得．
20．(1)
(2)
（1）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
21．(1)见解析
(2)
（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积．
22．(1)；
(2)
（1）解：∵，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴．
23．见详解
解： ，
，
，
，
和是直角三角形，
，，
又有，
，
∵，
，
，
是等腰三角形．
24．(1)每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客50人
(2)租A型车30辆，则租B型车10辆，租金最少，最少租金是21000元
（1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，
根据题意得，
解得，
每辆型车坐满后载客40人，型车坐满后载客50人；
（2）解：设租型车辆，则租型车辆，
∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，
∴ ，
解得，
设租金为，则，
∵，
∴随的增大而减小，
当，则有最小值，且为，
即租型车30辆，则租型车10辆，租金最少，最少租金是元．
25．(1)
(2)或或或
（1）解：设直线l的解析式为，把点，代入得，
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
；
①当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
②当时，点C在点A的左侧，如图所示：
此时点C的坐标为；
当时，点C在点A的右侧，如图所示：
此时点C的坐标为；
③当时，如图所示：

设点，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
此时点C的坐标为；
综上分析可知：点C的坐标为或或或．
26．（1）延长线上；7；（2）线段长的最大值为7；理由见解析；（3）的最大值为米，点C到直线的距离为米
解：（1）当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是；
（2）∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵当点D在延长线时，最大，且最大值为，
∴线段长的最大值为7；
（3）过点C作，截取米，连接，，如图所示：
根据作图可知，为等腰直角三角形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米，
即的最大值为米，
此时过点C作于点F，
∵，
∴米，
即此时点C到直线的距离为米．