【数学】河南省2024-2025学年高二上学期期中联考试卷（解析版）

这是一份【数学】河南省2024-2025学年高二上学期期中联考试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 曲线与曲线的（ ）
A. 长轴长一定相等B. 短轴长一定相等
C. 离心率一定相等D. 焦距一定相等
【答案】D
【解析】对于曲线：，
对于曲线：，
所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等.
故选：D
2. 已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，（，，为正整数），则，，
即有，可得，解得，
可得．故选：B．
3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，双曲线的焦点在轴上，且，，即，
利用可联立求得，故双曲线的方程为：.
故选：D.
4. 设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列，
例如，即充分性不成立，
当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立，
所以p是q的必要不充分条件．
故选：C．
5. 若直线与圆相离，则点（ ）
A. 在圆外B. 在圆内
C. 在圆上D. 位置不确定
【答案】B
【解析】由题意，到的距离，即，
所以在圆内.
故选：B
6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 4
【答案】B
【解析】
如图，连接,因，则，
由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小，
最小值为,此时，最小值为.
故选：B.
7. 设等差数列和前n项和分别为和，若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】根据题意，等差数列和中，，
设，，故，，
则．故选：A．
8. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
如图，作抛物线的准线，分别过点作，垂足为，，
设，
则（*），
因点为的重心，则，即，
代入（*），可得，
因点在抛物线上，故，故，
依题，，解得.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 记等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，
又等差数列的前项和为，，，
∴，解得，，故A正确；
，故B错误；
，∴，故C正确；
，，∴，故D正确．故选：ACD．
10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
【答案】ABD
【解析】A：当时，，所以点不可能在直线上，故A正确；
B：直线方程可化为，所以直线恒过定点，故B正确；
C：因为点到直线的距离相等，所以，解得或，故C错误；
D：设，则，
所以，整理得，
即点的轨迹方程为.又直线恒过定点，且，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有公共点，
即直线上恒存在点，满足，故D正确.故选：ABD
11. 如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则（ ）
A. 存在，，使得
B. 不存在点，，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
对于A，由，得，
则，方程无解，因此不存在、使得，A错误；
对于B，由是线段上的动点，设，
则，，
由，则不存在点，使得，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】依题意，，解得，所以点的坐标为.
故答案为：
13. 记数列的前项和为，已知且，则__________.
【答案】
【解析】当时，由得，
即，
因为，所以，
所以， ，
则，
又满足上式，故，
故答案为：．
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________.
【答案】
【解析】由题意得蒙日圆为，则，，
直线的方程为：，
联立得，
，解得，，
所以
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且．
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
解：（1）设公差为，因为，且，
所以，解得或（舍），
故；
（2）由（1）可得，，
若，则，解得，
故n的最小值为5．
16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：，，.
，，.
平面，平面，
又平面，.
（2）解：四边形是矩形，，
平面，平面，
，
所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，令，可得，
平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.
（1）求的方程；
（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.
解：（1）是上一点，，则，
由抛物线的定义，知，
，则，的方程为.
（2）由（1），知.
设直线，即，代入，
整理得，，
，
又点到的距离为，
，
即，解得或（舍去），
直线的方程为，即.
18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.
（1）设向量为平面的法向量，证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：如图，连接.，
平面平面，平面平面平面，
平面.
是边长为2的等边三角形，.
以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
则，.
是平面的一个法向量，令.
，
，
.
解：（2）.
设平面的法向量为，则
令，可得，
平面的一个法向量为，
点到平面的距离为.
（3）.
设平面的法向量为，则
令，可得，
平面的一个法向量为.
由（2）可知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为..
19. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.
（1）求的方程；
（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.
（1）解：设，连接.
是的中点，是的中点，，
，则.
又.，
的方程为.
证明：（2）设且.
的中点为，则，
是上的两点，①，②，
①②，得，即，
即，可得，
，直线与直线的斜率之积为定值3.
（3）易知，且不关于轴对称，
直线的斜率不为0，设直线的方程为，
代入，整理得，
，
，
，解得或（舍去），
直线过定点.