【数学】广西玉林市2024-2025学年高二上学期期中联考试卷（解析版）

这是一份【数学】广西玉林市2024-2025学年高二上学期期中联考试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】由抛物线可得，而抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：C.
2. 经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. 90°D. 60°
【答案】B
【解析】经过两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，又，所以.
故选：B
3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（ ）
A. B.
C. 与相交D. 或
【答案】A
【解析】由向量，得，所以，所以.
故选：A
4. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
令，则，即直线恒过定点，
则圆的方程为，即，
故选：D.
5. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为向量，
又，则，
整理得到，解得，
故选：C.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为( )
A. 3B. 5C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可知，，且，
因为，所以，
又，故，
所以.
故选：A.
7. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点，则，且，
以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因，则，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离为，
故选：C.
8. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】（方法一）

因为抛物线的焦点到准线的距离为，故，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为F1,0，
设直线的方程为：，不妨设，
联立方程，整理得，则，
故，
又AF=x1+p2=x1+1，，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：B.
（方法二）由方法一可得，则，
因此
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. 的坐标为B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；
对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误；对于D，，故D正确.
故选：BD.
10. 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与的交点为
B. 存在，使
C. 若，则
D. 直线恒过点
【答案】ACD
【解析】选项，当时，直线，直线，
联立，解得，
所以两直线的交点为，A选项正确；
B选项，假设存在，使，则，解得或，
当，，，两直线重合，舍去，
当时，，即，，
即，两直线重合，舍去，所以不存在，使，B选项错误；
C选项：若，则，解得，C选项正确；
D选项，直线，即，
令，即，所以直线恒过点，D选项正确；
故选：ACD.
11. 已知圆，圆，（，且，不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】圆和圆交于不同的两点，，
∴两圆方程相减可得直线的方程为：，
即，分别把点，两点坐标代入
得：，，
上面两式相减得：，
即，所以选项A正确；
由上得：，所以选项B正确；
∵两圆的半径相等，∴由圆的性质可知，线段与线段互相平分，
则有，，
变形可得，，故C正确，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则_______.
【答案】
【解析】因为，所以.
故答案为：.
13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________.
【答案】4
【解析】如图，根据椭圆对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，
由椭圆，得，，
是的中点，是的中点，
为的中位线，
，
由椭圆的定义得．
故答案为：4．
14. 已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______．
【答案】1
【解析】因为平面，底面为矩形，建立如图所示空间直角坐标系，
易得，
设，则，
设平面BEF的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则，
所以，
解得，即．
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆．
（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
（2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
解：（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
16. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点.
（1）求直线BD与直线PC所成角的大小；
（2）求点B到平面ADE的距离．
解：（1）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系.
由题意，A1,0,0，，，P0,0,1，，
设直线BD与直线PC所成的角为，
因为，，，
所以直线BD与直线PC所成角为；
（2）因为，，，
所以，，
则为平面的一个法向量，
设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，由，得，
所以点到平面的距离为.
17. 已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
（1）求的方程和焦点坐标；
（2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求
解：（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且MA和NF的长度保持相等，记.
（1）求MN的长；
（2）当MN的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）由题意可知，直线BC、BE、BA两两垂直，可以点B为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
因为，所以，.
所以.
（2）由（1），已得，
因，则当时，取得最小值为.
此时，分别为的中点，则，，取的中点，连接，，则，
因为，，所以，.
故是平面与平面的夹角或其补角，
因为，.
所以，
故平面与平面夹角的余弦值是.
19. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍.
（1）求椭圆伴随双曲线的方程；
（2）点为的上焦点，过的直线与上支交于两点，设的面积为，（其中为坐标原点）.若，求.
解：（1）的伴随双曲线为，
设椭圆与其伴随双曲线离心率分别为，依题意可得，
即，即，解得，
所以椭圆，
则椭圆伴随双曲线的方程为；
（2）
由（1）可知，设直线的斜率为，Ax1,y1,Bx2,y2，
则直线的方程，
与双曲线联立并消去，得，
则，所以，，则，
又，
又，解得，
又，
所以
因为，所以.