河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，
第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
故选：B.
2. 已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ）
A. 3B. －1C. 3或－1D. 3或1
【答案】C
【解析】由得，或．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，的值为3或．
故选：C.
3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84
【答案】C
【解析】由题意得，
由正态曲线的对称性知，
所以．
故选：C.
4. 已知空间中三个点，则直线与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得，
记直线与的夹角为，
则．
故选：D.
5. 已知事件相互独立，与分别为的对立事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为事件相互独立，所以，
所以．
故选：D.
6. 如图，在四面体中，设，为重心，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且，
∴.
∵为的中点，∴，
∴．
故选：A.
7. 过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】A
【解析】易知的斜率存在，设，
则，得，
因为点在上，所以，
又点在第一象限，故，所以，
又，所以，
所以直线的方程为，即．
联立，得，则，
由抛物线定义，得．
故选：A.
8. 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意得，的所有可能取值为，
，
，
所以的期望为，
所以．
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在（是常数）的展开式中，各项的二项式系数中只有第4项最大，且的系数为160，则（ ）
A. B.
C. 展开式中的常数项为240D. 各项系数的和为
【答案】AC
【解析】对于A，因为展开式中二项式系数只有第4项最大，所以展开式共有7项，则，故A正确；
对于B，展开式的通项，
令，得，因为的系数为160，所以，解得，故B错误；
对于C，令，得，所以常数项为，故C正确；
对于D，在中，令，得的展开式中各项系数的和为，故D错误．
故选：AC.
10. 已知是异于点的动点，且满足（表示斜率），动点的轨迹加上点构成曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，曲线的离心率为
B. 当时，曲线有渐近线，且渐近线方程为
C. 当时，直线被曲线所截得的弦长为
D. 当时，设点，过原点的直线与曲线交于两点，则面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】设Px,y，则．
对于A和B，由得曲线方程为：，
故曲线为双曲线，其中，
∴双曲线离心率为，渐近线方程为，即，故A，B正确.
对于C，由得曲线方程为：，
故曲线表示圆，其中圆心为，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴直线被曲线所截得的弦长为，故C错误.
对于D，由得曲线方程为：，
故曲线表示椭圆，上、下顶点坐标分别为.
∵（是原点），，，
当直线与轴重合时取最大值2，
∴面积的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
11. 在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上任意一点，则（ ）
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 过三点作正方体的截面，所得截面的面积为
D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】如图，以所在的直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，
则．
对于A，设，则，
因为，所以与不一定垂直，故A错误.
对于B，.
设面的一个法向量为，则，
令，则，故，
设直线与平面所成的角为，则，故B正确.
对于C，由得，故，
连接，可得过三点的截面为四边形，
其中，故四边形为等腰梯形，
因为等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，故C正确.
对于D，，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
所以点到平面的距离，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则________．
【答案】2
【解析】由题意得，且，解得，
∵，
∴或，
解得（舍去）或．
13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在上，，且的面积为，则的离心率为________．
【答案】
【解析】如图，在中，因为，
所以由余弦定理得，
可化为．
因为的面积为，
所以，
得①，又由双曲线的定义知②，
把①②代入（）式，化简整理可得，所以离心率．
14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________．
【答案】7
【解析】依题意，得解得，
故，所以．
当最大时，
即
即整理得
解得，而，因此．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知圆过点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且与圆相切，求的方程．
解：（1）因为点，
所以线段的中点为，
所以的中垂线方程为．
联立得，故圆的圆心为点，
又圆的半径，
所以所求圆的方程为．
（2）由题意及（1）知，圆的圆心为，半径为，直线过点．
①若的斜率不存在，则的方程为，此时，圆心到的距离为3，符合题意；
②若的斜率存在，设的方程为，即，
因为与圆相切，所以，解得，
此时，的方程为．
综上，的方程为或．
16. 某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为．
（1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率．
（2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间．
解：（1）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”，
用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”，
则，
．
．
（2）甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81，
甲车间加工的每个零件获利的期望为（元），
乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76，
乙车间加工的每个零件获利的期望为（元），
因为，所以应扩建甲车间．
17. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
（1）若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
（2）若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
解：（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”，则．
在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以．
故．
（2）设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出2道代数题”，
事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，
事件为“乙从A箱中取出2道几何题”，
则．
当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，；
当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，；
当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，．
由全概率公式可得
．
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若点分别是直线上的动点，求的最小值．
（1）证明：如图，取的中点，连接．
因为为的中点，为的中点，所以．
因为底面，所以平面，
又平面，所以．
因为底面是矩形，且，所以，
又，所以，所以，
所以，所以．
又，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则．
由题意知平面的一个法向量为．
易知，
设平面的法向量为，
则即取，
所以，
所以二面角的正弦值为．
（3）解：因为点分别是直线上的动点，
设，则，所以．
设，则，
所以，则
，
所以当时，．
19. 已知平面内的动点到点的距离和到定直线的距离的比为，动点的轨迹为曲线．
（1）求的方程．
（2）过点的直线与交于不同的两点，点与点关于轴对称．
（i）证明：直线过轴上一定点；
（ii）记（i）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（为不同的两点），记的面积分别为，求的取值范围．
（1）解：依题意得，
化简整理得，所以的方程为．
（2）（i）证明：当的斜率不为0时，
设的方程为，
则．由得，
由，得，
则．
直线的方程为，
令，得
，
即直线过定点．
当的斜率为0时，直线的方程为，也过点．
综上，直线过定点．
（ii）解：方法一：由题意知的斜率存在且不为，如图．
由（i）知直线的方程为
，
，
，
，
由（i）知且，可知的符号相同，
根据对称性，只需考虑的情形．
因为
又，所以，所以，
所以，所以，
故的取值范围为．
方法二：，
由（i）知，
所以．
下同方法一．