河南省2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将3袋垃圾随机投入4个不同的垃圾桶，则不同的投法有（ ）
A. 7种B. 12种C. 64种D. 81种
2. 若函数，则（ ）
A. 3B. C. 1D. 0
3. 记等差数列的前项和为，已知，则公差（ ）
A. -1B. C. D. 2
4. 小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ）
A. 120种B. 210种C. 240种D. 360种
6. 某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（ ）
（参考数据：若，则，）
A. 683B. 841C. 977D. 955
7. 已知是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，，为双曲线上两点，且，直线，的斜率分别为3和，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 二项式系数之和64B. 所有项系数之和为
C. 常数项为60D. 第3项的二项式系数最大
10. 已知圆，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若圆和圆相交，则
B. 若圆和圆外切，则
C. 当时，圆和圆有且仅有一条公切线
D. 当时，圆和圆相交弦长为
11. 已知定义在上的可导函数满足，当且仅当时，等号成立，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
13. 已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________.
14. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是上一点，过点作的垂线交轴的正半轴于点，交于点，与轴平行，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤；
15. 已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为中点.
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值.
17. 已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
18. 智能制造离不开精密的零件，某车间生产精密零件，按照包装每箱10个，某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量.
（1）已知某箱零件中有2个次品，从中随机抽取3个零件检查，设随机变量为次品个数，求；
（2）根据历年数据统计该车间生产零件中，每箱有0个，1个，2个次品的概率分别为0.6，0.3，0.1，每箱随机检查3个零件，若发现有次品，则质检不合格，从某批次的产品中，任选一箱，求检测合格的概率.
19. 已知函数有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）函数，若与有相同的值域，求的值，并证明：，恒成立.