河南省郑州名校联考2024-2025学年高二上学期期中联考测数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州名校联考2024-2025学年高二上学期期中联考测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知全集，集合，集合，则等于， 直线是双曲线的一条渐近线，则， 直线的倾斜角为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】全集，而，
则，又，
所以．
故选：D．
2. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 16
【答案】A
【解析】直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜率为2，得，所以．
故选：A．
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线x+3y﹣1=0的倾斜角为α．
直线x+3y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．
∵α∈[0°，180°），
∴α=150°．
故选D．
4. 已知，向量，，，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为向量， ，，
由，则，解得，
由，则，解得，则．
故选：A．
5. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因函数的周期为2，且为奇函数，
故，
.
故选：B．
6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设Px,y，由，则，
故，
得圆，圆心，半径为.
又点与圆心的距离为，由于过点总可以向以点为圆心的圆作两条切线，故两圆相离，所以，故的取值范围为．
故选：B
7. 如图所示，在三棱锥中，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在中，，
，则，
取的中点分别为，则分别为的外心，且，
平面平面，平面平面平面，
平面，因平面，故,
在中，又
在中，
在中，
故为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，
故外接球的表面积.故选:D．
8. 已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】依题意，设，过点的切线，
联立得，
令，解得，故得，
同理可得，
记交于点交于点交于点，联立､的方程解得，
同理可得，则．
另外直线，化简得：;
直线,化简得：．

如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，
则
过点垂直于轴的直线交直线于点，解得，
因为，
所以，即切线围成的三角形的面积为．
故选：A.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，曲线为直线
B. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线为焦点在轴上双曲线
D. 曲线不可能是圆
【答案】ABC
【解析】A选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正确．
B选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的椭圆，正确．
C选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上双曲线，正确．
D选项：当时，方程可化为，可知曲线为以原点为圆心，以为半径的圆，D错误．
故选：ABC．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在长方体中，可以构成空间的一个基底
B. 已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内
C. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
D. 已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则
【答案】BCD
【解析】对于A，在长方体中，共面，
则不能构成空间的一个基底，A错误；
对于B，，而，
则四点共面，从而在平面内，B正确；
对于C，依题意，，设，
即，则，解得，
因此向量在基底下的坐标为，C正确；
对于D，，，
则，
，
，
，D正确.
故选：BCD.
11. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为
C. 若，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，设，
由椭圆和双曲线定义有，
将两式平方得，
相加整理得，
又在中，由余弦定理有，
则，
即，
则，故A选项错误；
对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知，
另外三个点的坐标为，，
以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上，
所以满足，
则有，
当且仅当时等式成立，故B选项正确；
对于C，即，所以，则，
又，所以，即，
又，所以，
，则．
令，则，
函数在上单调递减，所以，故C选项正确；
对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线，
则由角平分线性质定理有即，
由外角平分线性质定理有，即，
求的最小值即求的最小值；
由可得，
代入即，
整理可得，所以，
则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确；
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则______.
【答案】2
【解析】在抛物线上，所以，故.
13. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒
可得，即，所以，
由得．当且仅当取等号.
14. 已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为__________．
【答案】4
【解析】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，∵平面平面，
∴点到面的距离为点到直线的距离
∴由抛物线的定义可知：，
易知，
∴，,
设是平面的其中一个法向量，则，
令，得，平面的法向量为，
又，则到平面的距离，
所以的最小值为，
∵点分别为的中点且，，
∴，
所以三棱锥的体积的最小值：．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方程．
解：（1）由等边三角形可知双曲线焦距为，
∵，即，∴，∴，∴，
双曲线的标准方程为：．
（2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，
∴设直线的方程为，
联立方程组得，
，解得，
由韦达定理可知，
即，解得或．
所以直线的方程为或．
16. 一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．

（1）若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；
（2）若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值．
解：（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：．
轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，
直线方程为，即．
原点到轮船航线所在直线的距离为，
所以，轮船没有触礁风险．
（2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，
直线的方程为：，其一般式方程为：．
易知原点到直线的距离为，
直线与圆相离，
圆上动点到直线的距离的最小值为：．
17. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，求三角形内切圆半径的取值范围．
解：（1）因为，
由正弦定理得：，整理可得，
则，且，故．
（2）由余弦定理，即，
整理可得．
设三角形内切圆半径为，则，
即，
由正弦定理可知．
．
因为，则，可得，
所以．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．
（1）若为棱中点，证明：面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．
（1）证明：连接交于，则为三角形中位线，易知，
又因为上，面，所以面；
（2）解：以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
由为棱上一点，
设，
．
设平面的法向量为，
由可得
令，则，则．
取平面的法向量为，
则二面角的平面角满足：
，
化简得：，解得：或（舍去），
故存在满足条件的点，此时．
（3）解：因为，
可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有：
可得，
设，则，
由题可知：该方程有实根，则，解得，
同理可得．
设点到平面的距离为，则由等体积法得到：，
，解得：．
当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，
最大体积为：．
19. 已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线的方程；
（3）过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线于点．试证明：恒成立．
（1）解：由题意可得解得
所以，椭圆的方程为．
（2）解：设，
下证：切线的方程为；
直线的斜率存在，，设直线的方程为：，
与联立整理得：，
由已知得：，
化简得：．
因为，则，即，所以，
所以直线的方程为：，即，
则，
故直线的方程为．
同理可得直线的方程为，
由点的坐标为，则，
则两点都在直线上，
由于两点确定一条直线，故直线的方程为；
（3）证明：设，
由题意易得直线的斜率存在，故可设为，
联立得，
由韦达定理可得，
联立得．
要证，即证，
等价于证明，所以只需证明，
化简可得，
将韦达定理及代入可得：
，
化简得，
即，
上式显然可以判断出是恒成立的．
故恒成立．