【数学】新疆兵地联盟2024-2025学年高二上学期期中联考试卷（解析版）

这是一份【数学】新疆兵地联盟2024-2025学年高二上学期期中联考试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线过点，则直线的倾斜角（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的斜率为，则，即．
因为，所以．
故选：C.
2. 平行线与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程变形为
由平行线间的距离公式可得所求距离．
故选：A.
3. 已知圆的圆心为为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为圆的圆心为，
所以，
所以以为直径的圆的圆心为，半径为．
故所求圆的标准方程为．
故选：D.
4. 已知向量，则在方向上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
，
所以在方向上的投影向量的模为.故选：B.
5. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B.
6. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知在空间四边形中，，，，
且，，

则
，
故选：D.
7. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（ ）
A. 2分钟B. 3分钟C. 4分钟D. 5分钟
【答案】C
【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，
则直线，即，圆，
记从处开始被监测，到处监测结束，
点到直线的距离为，
则，所以被监测的时长为分钟.
故选：C.

8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，

由圆的几何性质可知，
易知、分别为、的中点，则，且，
所以，，由椭圆的定义可得，
由勾股定理可得，即，
整理可得，可得，
因此，该椭圆的离心率为，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为B. 椭圆的一个焦点为
C. 椭圆的短半轴长为6D. 椭圆的离心率为
【答案】AD
【解析】因为，且椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的长轴长为，焦点坐标为，短半轴长为3，离心率．
故选：AD.
10. 空间内有四点，则（ ）
A. 点到直线EF的距离为B. 点到直线EF的距离为
C. 点到平面EFN的距离为D. 点到平面EFN的距离为
【答案】AD
【解析】因为，所以EF的一个单位方向向量为．
因为，
所以点到直线EF的距离为．
设平面EFN的法向量为，因为，
所以
令，得．
因为，
所以点到平面EFN的距离为．
故选:AD.
11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线与圆相切
B. 若圆上存在两点关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，从点向圆引切线，则切线长最小值是
【答案】BC
【解析】A.由题意得，圆的标准方程为，
圆心为，半径.
∴圆心到直线的距离，
∴直线与圆相离，故A不正确.
B.若圆上存在两点关于直线对称，
则直线经过圆的圆心，
∴，解得，故B正确.
C.若，
则圆心到直线的距离，
∴，故C正确.
D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图所示，
，
当时，取得最小值，此时取得最小值，即，故D不正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为_____________；在轴上的截距为_____________．
【答案】
【解析】因为直线的斜率为，所以直线的斜率为2．
因为直线过点，所以直线的方程为，即，
故直线的斜截式方程为，
令，解得，所以在轴上的截距为．
13. 经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______.
【答案】
【解析】由题意可知：，
因为，
所以的周长为.
14. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
，于是，
所以与所成角的余弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；
（2）经过两点.
解：（1）由题意知，
因为，即，解得，
且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的方程为.
因为椭圆经过两点，
则，解得
故椭圆的标准方程为.
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.
（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
解：（1）和不垂直，理由如下：
设，则，
在中，，所以为等边三角形，所以，
因为，，所以，从而，
所以在直角中，，，
又因为，所以，所以在中，满足，
故为直角三角形，则；
又因为，，所以平面；
因为，所以，所以，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，；
所以，，，，，
所以，，所以，
所以不成立，故和不垂直.
（2）由（1）可知，，，所以平面，
故为平面的一个法向量；
又，，设平面法向量，
所以，即，取，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 已知直线．
（1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若直线过（1）中的定点，且在轴上的截距与在轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．
解：（1）将直线的方程整理为，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，解得，
所以直线过定点，其坐标为．
（2）①当截距为0时，直线的方程为，即．
②当截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或
若，则直线的方程为，即；
若，则直线的方程为．
故直线方程为或或．
18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.
（1）否存在点，使得平面？
（2）求的取值范围.
（3）求点到直线的距离的最小值.
解：（1）如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
，，
设平面的法向量为，
则，可取，
设， 所以，
又，所以，
即，所以，
设存在点，使得平面，
则，解得，则，
则，
所以存在点，使得平面
（2）由（1）知，
所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知点满足，
取中点为，则点轨迹为线段，
所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，
，，，，，
设，，
则，可取，
又，
点到直线的距离的最小值.
19. 已知圆经过三点．
（1）求圆的方程．
（2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：（1）设圆W的方程为，
则，解得
则圆W的方程为．
（2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，
则，整理得．
又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则．
，
则，
整理得，
解得或．
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，故舍去．
所以，
故直线的方程为，即，经过定点．
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．