河南省部分名校2024-2025学年高二4月期中联考数学试题（解析版）

这是一份河南省部分名校2024-2025学年高二4月期中联考数学试题（解析版），共13页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 4名同学去3个十字路口作交通协管志愿者，每名同学可自由选择1个十字路口，不同选择方法的种数是（ ）
A. 81B. 64C. 24D. 12
【答案】A
【解析】根据题意，每名同学可自由选择3个十字路口中的任意一个，
所以每名同学有3种选择方法，由分步计数原理知，4名同学共有种选择方法.
故选：A．
2. 曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
所以，
即曲线在点处的切线斜率为，
故选：C．
3. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：B．
4. 体育课上，四组同学进行篮球训练．现将7个篮球进行分配，每个组都分到篮球的分配方法有（ ）
A. 23种B. 22种C. 21种D. 20种
【答案】D
【解析】将7个篮球分配给4组学生，每个组都分到篮球，即把7个篮球分成4组，每组至少有1个篮球，用隔板法．
将7个篮球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空中选3个插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，
不同插入方法共有种，所以每个组都分到篮球的分配方法有20种．
故选:D．
5. 已知函数，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得．
令，得．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值也是最小值．
即的最小值为，
故选：D．
6. 投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记事件“第一次正面朝上的点数为奇数”，事件“第二次正面朝上的点数大于4”．
投掷一枚正方体骰子两次，所有的样本点（x为第一次正面朝上的点数，y为第二次正面朝上的点数）共36个，
其中事件A包含的样本点有18个事件AB包含的样本点有6个，,
所以.
故选：C．
7. 在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则（ ）
A. 1.8B. 1.7C. 1.6D. 1.5
【答案】D
【解析】记事件A，B，C分别为甲、乙、丙能按时正确解答该题，
由题意得，，，
则，，．
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以.
故选：D．
8. 设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，，则．
由得，所以在上单调递减；
由得，所以在上单调递增．
当时，，当时，，
当时，，
当时，取得极小值，．
又当时，，所以函数大致图象如图．
由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，
所以实数b的取值范围是，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（ ）
A. 第二次抽到黑桃的概率为
B. 在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为
C. 若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为
D. 设抽到黑桃的次数为
【答案】ACD
【解析】第二次抽到黑桃的概率为，
故A正确；
因为两次都抽到黑桃的概率为，
所以至少有一次抽到方块的概率为，故B错误；
第二次抽到方块的概率为，两次都抽到方块的概率为，
所以已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为，故C正确；
X可能取值0，1，2，，，，
故，故D正确．
故选：ACD．
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 的展开式中，的系数是60
B. ，则
C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为48
D. 随机变量X的分布列为，，则
【答案】ABD
【解析】的展开式的通项为，，1，2，3，4，5，6，
令，则的展开式中的系数为，故A正确；
在中，令，得，所以；
再令，得，即．
所以，故B正确；
由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为0，2或4．
当个位数字为时，四位数有个；
当个位数字为2或4时，四位数分别有个．
由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故C错误；
由题意得，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若曲线在点处的切线方程为，则
B. 若，则函数在上单调递增
C. 若，则函数在上的最小值为
D 若，则
【答案】BCD
【解析】首先对函数求导，可得，
所以.
已知切线方程为，其斜率为，所以，解得，故选项错误.
当时，，.
当时，，则，即.
所以函数在上单调递增，故选项正确.
当时，.
，令，即，解得.
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以在处取得最小值，，
故C选项正确.
当时，，，不满足；
当时，，则，在上单调递增.
当时，，，不满足.
当时，令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得最小值.
令，对其求导得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在处取得最大值.
要使，则，所以，故选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调增区间为________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
由得：，因为，所以，
解得，
所以单调递增区间为.
故答案为
13. 某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是__________．
【答案】
【解析】设甲获胜为事件A，甲第一局获胜为事件B，
则，
，
所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率．
故答案为：
14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】对任意的，，可得，
可得，
构造函数，则，
所以函数在内单调递增，即在上恒成立．
因为，即在上恒成立．
分离参数有，
当时，取最小值，所以，即.
因此，实数取值范围是.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线方程是.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．
解：（1）因为，
所以．
已知函数的图象在点处的切线方程是，即，
所以，．
解得，，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）可知，，所以．
令，解得或，
所以函数在和上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减．
综上，的单调增区间为和，单调减区间为．
16. 某次物理考试后，学校随机抽取了100名参加本次考试的学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中a的值；
（2）为进一步调查学生每天学习物理的时间,从样本采用比例分层抽样从成绩在,内的学生中抽取13人，再从中任选3人进行调查，求抽到成绩在内的人数X的分布列和数学期望．
解：（1）由题意，得，解得．
（2）由题意，抽取的13人，成绩在，的学生人数分别为，，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望
17. 2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响．
（1）已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励．
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励．
计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？
（2）若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率．
解：（1）方案一中，中奖三次的概率为，
中奖两次的概率为，
所以获得代金券金额的期望为；
方案二中，中奖三次的概率为,
中奖两次的概率为，
所以获得代金券金额的期望为，
因为，所以该顾客选择方案一比较合适.
（2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”，
由题意得，
，,，
,
,
所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率.
18. 已知函数
（1）当时，求的极值；
（2）若，求在区间的最小值．
解：（1）当时，的定义域为，且，
所以，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值.
（2）由题意，，
令，解得或.
因为，所以当或时，；
当时，，单调递减.
所以，当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则在区间的最小值为.
当即时，在上单调递减，则在区间的最小值为.
综上所述，时，在区间的最小值为；
时，则在区间的最小值为.
19. 已知函数（）．
（1）若，求函数的极值；
（2）求证：．
解：（1）若，则，，
所以，．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
又，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，，无极大值．
（2），定义域为，
．
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
因为，所以，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以成立．
X
0
1
2
3
P