河南省郑州市第二高级中学等校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省郑州市第二高级中学等校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，
故选：A.
2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】向量，，
则向量在向量上的投影向量为：
；
故选：D.
3. 已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为方程表示一个焦点在轴上的椭圆，
所以有，解得，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
4. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意可知，
设向量在基底下的坐标是，则,
所以，
可得，解得，
所以向量在基底下的坐标是.
故选：B.
5. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设为直线的倾斜角，当时，直线的斜率不存在，直线的倾斜角，
当时，直线的斜率＝，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
综上所述，.
故选：B.
6. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，
，
因为M，N分别为BC，AD的中点，
所以，
且，
则
，
所以，
即直线AM和CN夹角的余弦值为.
故选：A.
7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示.
设与直线平行且与直线之间距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即.
故选：C.
8. 已知实数x，y满足，则最大值为（ ）
A. 3B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】在方程中，用换方程不变，用换方程不变，
因此曲线关于x轴和y轴对称，
当，时，方程为，即，
方程表示的曲线如图（含原点）：
令，则表示过点的直线（不含点），
观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大，
由圆心到直线的距离为得，，而，解得，
所以的最大值为
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若空间中O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
B. 空间中三个非零向量，若，，则
C. 对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面
D. ，，若，则与的夹角为锐角
【答案】AC
【解析】由可得，即，
所以，所以A，B，C三点共线，故A正确；
若，则，由可得，但是不一定有，比如正方体共顶点的三条棱所在向量，故B错误；
由可得，
即，所以共面，即P，A，B，C共面，故C正确；
由与的夹角为锐角可得且与不同向共线，即且，解得且，故D错误；
故选：AC.
10. 下列说法不正确的有（ ）
A. 若两条直线与互相平行，则实数a的值为
B. 若直线不经过第三象限，则点在第二象限
C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
D. 已知直线和以，为端点线段相交，则实数k的取值范围为或
【答案】BC
【解析】对于A，若两条直线与互相平行，
其中直线的斜率为，则直线的斜率存在且为，
得，解得或，
舍去，此时两条直线与重合，
故实数a的值为，选项A正确；
对于B，当时，直线不经过第三象限，此时点是坐标原点，不在第二象限，选项B错误；
对于C，当直线过原点时，直线经过点，即直线也满足题意，选项C错误；
对于D，将直线化为，
所以直线恒过定点，且直线的斜率为，
其中，，
结合图象，若直线与线段相交，可得或，
选项D正确．
故选：BC.

11. 在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线的方程为
B. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是
C. 当三点不共线时，若点，则射线平分
D. 过曲线外一点作曲线的切线，切点分别为，则直线过定点
【答案】ACD
【解析】对于A，设点Px,y，则由，可得，化简可得，故A正确；
对于B，曲线的方程为，圆心为2,0，半径为，直线，即，
若直线与曲线有公共点，则圆心到直线的距离，
解得或，则的取值范围是，故B错误；
对于C，当三点不共线时，，则，
，，则，所以，
所以由角平分线定理的逆定理知射线平分，故C正确；
对于D，设曲线外一点，因为，，所以在以为直径的圆上.
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆方程为
化简得：，
因为两圆的公共弦，所以直线的方程为，
即，令，解得，则直线过定点，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 方程化简后为______．
【答案】
【解析】∵，
故令，，
∴，
∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，
即，，，
∴方程为.
13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

【答案】
【解析】由条件，知，,
所以
，
所以,
14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，
因为，所以直线方程为：即，
圆心到直线距离，
即直线与圆相交.（如图中的点均满足）
又因为，所以的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边上中线所在直线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程；
（3）的外接圆方程．
解：（1）设边的中点的坐标为，则，，
所以边的中线过点，两点，
由截距式得所在直线方程为，即；
（2）直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率，
由（1）知，中点的坐标为，
由点斜式得直线的方程为，即；
（3）设的外接圆方程为，将，，，
代入方程得，解得，，，
所以的外接圆的方程为．
16. 如图，在棱长为2的平行六面体中，.

（1）求线段的长度；
（2）求直线与直线的夹角的余弦值.
解：（1）如图所示：

由图可知，
因此由题意有
.
（2）如图所示：

所以，
由（1）可知，
所以由题意有
，
，
又，
且（1）可知，
不妨设直线与直线的夹角为，
所以，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
17. 已知以点A−1,2为圆心圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
解：（1）易知A−1,2到直线的距离为圆A半径r，
所以，
则圆A方程为
（2）过A做,由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，
显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由A−1,2到距离为知得，
代入解之可得，
所以或为所求方程．
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
解：如图建立空间直角坐标系，
，， ， ，
，， ．
（1）；
（2），
当时，最小，最小值为；
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，取的中点，连接，，
则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角．
，，
．
平面与平面夹角的余弦值是．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为
（1）已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的正弦值;
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点P到平面的距离;
（3）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为，求几何体的体积.
解：（1）由已知可得直线l的方向向量，
平面的法向量，
记直线l与平面所成角为，
则，
即可得直线l与平面所成角的正弦值为；
（2）由已知可得平面的法向量，
在平面内任取一点
又，则，
可得点P到平面的距离
故点P到平面的距离；
（3）由集合可知几何体中点的集合为
，如下图所示：
可知S是一个底面以为棱长，高为2的正四棱柱，
则.