2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算，共12页。试卷主要包含了若＝x＋y，则xy＝等内容，欢迎下载使用。

1.理解平面向量的概念、几何表示及两个向量相等的含义．
2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．
3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 向量平行与直线平行有何不同？
【问题2】 共线向量定理中为什么规定a≠0?
关键能力·题型剖析
题型一 平面向量的基本概念
例 1 [2024·河南南阳模拟]下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|c|，则a＝c
B．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．与非零向量a共线的单位向量为±
题后师说
平行向量有关概念的注意点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
巩固训练1
(多选)下列说法正确的是( )
A．a与b是非零向量，则a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B．A，B，C是互不重合的三点，若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C．a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D．设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
题型二 平面向量的线性运算
角度一 向量的线性运算
例2 [2024·河北衡水模拟]在正方形ABCD中，E在CD上且有＝2，AE与对角线BD交于F，则＝( )
A． B．
C． D．
题后师说
平面向量的线性运算的求解策略
巩固训练2
[2024·江西宜春模拟]如图所示的△ABC中，点D、E分别在边BC、AD上，且BD＝DC，ED＝2AE，则向量＝( )
A． B．
C． D．
角度二 根据线性运算求参数
例 3 [2024·安徽蚌埠模拟]在△ABC中，已知＝＝2，若＝x＋y，则x＋y＝( )
A．－ B．
C．－ D．
题后师说
解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)即可求得相关参数的值．
巩固训练3
[2024·河南荥阳模拟]在平行四边形ABCD中，F是边BC的中点，点E满足＝－2.若＝x＋y，则xy＝( )
A．－ B．1
C．－ D．3
题型三 共线向量定理的应用
例 4 设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【变式练习】 若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
题后师说
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线；
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线；
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
巩固训练4 (1)设e1与e2是不共线的非零向量，若ke1＋e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是( )
A．－1 B．1
C．±1 D．任意不为零的实数
(2)[2024·河北石家庄模拟]△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且＝＝λ，则λ＝( )
A． B． C． D．
1．已知四边形ABCD，下列说法正确的是( )
A．若＝，则四边形ABCD为平行四边形
B．若||＝||，则四边形ABCD为矩形
C．若∥，且||＝||，则四边形ABCD为矩形
D．若||＝||，且∥，则四边形ABCD为梯形
2．[2022·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
3．已知a、b为不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
4．[2024·广东中山模拟]已知向量e1，e2不共线，若e1＋2e2与－2e1＋me2共线，则实数m的值为________．
第一节 平面向量的概念及线性运算
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况．
【问题2】 提示：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；
(2)当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa，但此时向量a与b共线；
(3)当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与有唯一一个实数λ矛盾．
关键能力·题型剖析
例1 解析：若|a|＝|c|，则a＝－c或a＝c，所以选项A错误；若b＝0，a≠0，此时 λ不存在，选项B错误；若b＝0，由a∥b，b∥c，不一定得到a∥c，选项C不正确；由向量a为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确．故选D.
答案：D
巩固训练1 解析：a与b同向，但|a|不一定与|b|相等，
∴a≠b，若a＝b，则a与b同向，且有|a|＝|b|，∴a与b同向是a＝b的必要不充分条件，A正确．
与共线，则有＝λ，故一定有A，B，C三点在同一条直线上，B正确．
a与b同向，则a与－b反向，C正确．
λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，D错误．故选ABC.
答案：ABC
例2 解析：如图，正方形ABCD中，＝2，则DE＝CD＝AB，
因为AB∥CD，所以△DEF∽△BAF，则＝＝，
故＝＝)＝＝.故选C.
答案：C
巩固训练2 解析：∵BD＝DC，∴＝－，∵＝＝，∴＝)，又∵ED＝2AE，∴＝＝.故选D.
答案：D
例3
解析：由题意可得
解得，
所以＝＝＝，
即，所以x＋y＝－.故选A.
答案：A
巩固训练3 解析：由题意知，＝＝＝＝，所以＝＝＝－，又＝x＋y，所以x＝，y＝－，所以xy＝－.故选C.
答案：C
例4 解析：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，
∴共线．
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
变式训练 解析：＝＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
∴解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
巩固训练4 解析：(1)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线且方向相反，设ke1＋e2＝m(e1＋ke2)，m∈R且m<0，因为e1与e2是不共线的非零向量，则，解得k＝m＝－1.故选A.
(2)因为点M是BC的中点，所以＝，
故＝＝)＝，则＝，
故＝λ＝λ－λ，
因为N，D，C三点共线，所以存在m(m≠－1)使得＝m，
即＝m()，则＝(1＋m)－m，
所以λ－λ＝1＋m－m＝1，解得λ＝.故选A.
答案：(1)A (2)A
随堂检测
1.
解析：A选项，若＝，则||＝||且∥，则四边形ABCD为平行四边形，正确；
B选项，如图，||＝||＝2，但是四边形ABCD不是矩形，错误；
C选项，若∥，且||＝||，则四边形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故错误；
D选项，若||＝||，且∥，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误．故选A.
答案：A
2．解析：因为BD＝2DA，所以＝＝＋3＝＋3()＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
答案：B
3．解析：因为a、b为不共线的向量，所以a、b可以作为一组基底，对于A，＝a＋5b，＝－2a＋8b，若存在实数t使得＝t，则a＋5b＝t(－2a＋8b)，所以，方程组无解，所以与不共线，故A、B、C三点不共线，即A错误；
对于B，因为＝a＋5b，＝－2a＋8b，所以＝＝a＋5b＋(－2a＋8b)＝－a＋13b，同理可以说明不存在实数t，使得＝t，即与不共线，故A、C、D三点不共线，即B错误；
对于C，因为＝－2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，又＝a＋5b＝，所以∥，故A、B、D三点共线，即C正确；
对于D，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，同理可以说明不存在实数t，使得＝t，即与不共线，故B、C、D三点不共线，即D错误．故选C.
答案：C
4．解析：因为向量e1，e2不共线，则e1＋2e2≠0，若e1＋2e2与＋me2共线，则存在实数λ，使得λ(e1＋2e2)＝λe1＋2λe2＝－2e1＋me2，所以解得
答案：－4