2026届高考一轮复习基础练数学第五章平面向量及其应用、复数（结论应用）

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第五章平面向量及其应用、复数（结论应用），共9页。试卷主要包含了5)+2=t2−0，5=132等内容，欢迎下载使用。

教材素材变式
1.[2024年湖北武汉高三调研第6题][苏教必修二P43习题9.4第8题变式]已知点P在△ABC所在平面内，满足PA→+PB→+PC→=0，且AB→=mAP→+nAC→，则m+n=( )
A. 23 B. 1 C. 43 D. 2
2.[2024年山东济南高三月考第11题][人A必修二P52习题6.4第1题变式]
已知O是△ABC所在平面上一定点，若动点P满足OP→=OA→+λ(AB→+AC→),λ∈(0,+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的_____；若动点P满足OP→=OA→+μAB→|AB→|+AC→|AC→|,μ∈(0,+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的_____。(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”)
3.[2025年广东佛山高三一模第5题][人A必修二P52习题6.4第2题变式]数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的重心、垂心和外心共线。这条线被称为三角形的“欧拉线”。已知点G,H,O分别为△ABC的重心、垂心、外心，D为AB的中点，则( )
A. CH→=OD→ B. CH→=2OD→ C. CH→=3OD→ D. CH→=4OD→
变式探究
在△ABC中，已知AB=1,AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC的重心，则OG→⋅BC→=_____。
4.[2024年四川绵阳三模第10题][苏教必修二P43习题9.4第8题变式]设O为△ABC的外心，且满足2OA→+3OB→+4OC→=0,|OA→|=1，则下列结论中正确结论的个数为( )
①OB→⋅OC→=−78； ②|AB→|=62； ③cs2∠BAC=−72cs2∠ACB。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.[2024年江苏南京高三调研第12题][人B必修三P89练习B第6题变式]"奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，它的内容如下：已知O是△ABC内一点，记△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA→+SB⋅OB→+SC⋅OC→=0。若O是锐角△ABC内的一点，且满足OA→⋅OB→=OB→⋅OC→=OC→⋅OA→，则下列说法正确的是（ ）
A. O是△ABC的外心
B. ∠BOC+∠BAC=π
C. |OA→|:|OB→|:|OC→|=csA:csB:csC
D. tan∠BAC⋅OA→+tan∠ABC⋅OB→+tan∠ACB⋅OC→=0
结论应用 2 极化恒等式
极化恒等式: a,b 是两个平面向量,则 a⋅b=14a+b2−a−b2 .
推论：在平行四边形 ABCD 中,有 AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2 ,即平行四边形的四边平方和等于对角线平方和.
教材素材变式
1.[2024年北京高考真题][人教A版必修二P39例2变式] 如图，在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，对角线BD=2，则对角线AC的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
2.[2025年河北沧州高三一模][苏教必修二P47复习题第14题变式] 在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近点B），则AD→⋅AE→=( )
A. 16 B. 29 C. 1318 D. 13
变式探究
变式1：已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→⋅(PB→+PC→)的最小值是（ ）
A. −2 B. −32 C. −43 D. −1
变式2：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→⋅CA→=4，BF→⋅CF→=−1，则BE→⋅CE→的值是______。
3.[2024年浙江杭州高三二模][苏教必修二P24练习第2题变式] 如图，在四边形ABCD中，∠B=60∘，AB=3，BC=6，且AD→=λBC→，AD→⋅AB→=−32，则λ= ；若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|=1，则DM→⋅DN→的最小值为 。
4.[2025年四川成都高三模拟][人教A版选必一P98习题2.5第12题变式] 已知AB为圆x2+y2=1的一条直径，点P为直线x−y+4=0上任意一点，则PA→⋅PB→的最小值为（ ）
A. 22 B. 7 C. 8 D. 9
5.[2024年江苏苏州高三期中][人教A版必修二P47习题变式] 已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|=2，|OB→|=1，OP→=tOA→，OQ→=(1−t)OB→，t∈[0,1]，则|PQ→|的最小值为（ ）
A. 12 B. 32 C. 1 D. 3
结论应用 1 三角形四心的向量表示与应用
1. 答案：D
解析：由PA→+PB→+PC→=0知P为△ABC的重心，故AP→=13(AB→+AC→)，即AB→=3AP→−AC→，对比AB→=mAP→+nAC→得m=3，n=−1，故m+n=2。对应D选项。
2. 答案：重心、内心
解析：由OP→−OA→=λ(AB→+AC→)，即AP→=λ(AB→+AC→)，而AB→+AC→是BC边中线向量，故P轨迹过重心；AB→|AB→|+AC→|AC→|是∠BAC的角平分线方向向量，故P轨迹过内心。
3. 答案：B
解析：根据欧拉线性质，在△ABC中，垂心H、外心O、重心G满足OH→=3OG→，又D为AB中点，OD→=12(OA→+OB→)，而CH→=OH→−OC→=3OG→−OC→，重心G满足OG→=13(OA→+OB→+OC→)，代入得CH→=3×13(OA→+OB→+OC→)−OC→=OA→+OB→=2OD→。
变式探究答案：43
解析：设BC中点为M，则重心O满足AO→=23AM→=23×12(AB→+AC→)=13(AB→+AC→)；外心G满足GB→=GC→，即G→⋅(BC→)=12(GB→+GC→)⋅BC→=0。OG→=AG→−AO→，则OG→⋅BC→=(AG→−AO→)⋅BC→=AG→⋅BC→−AO→⋅BC→。AG→⋅BC→=12(AB→2−AC→2)=12(1−9)=−4，AO→⋅BC→=13(AB→+AC→)⋅(AC→−AB→)=13(9−1)=83，故OG→⋅BC→=−4−83=43。
4. 答案：A
解析：
① 由2OA→+3OB→=−4OC→，两边平方得4+9+12OA→⋅OB→=16，解得OA→⋅OB→=−14；同理，2OA→+4OC→=−3OB→，平方得4+16+16OA→⋅OC→=9，解得OA→⋅OC→=−1116；则OB→⋅OC→=(2OA→+3OB→)⋅4OC→−8=8OA→⋅OC→+12OB→⋅OC→−8，代入数值解得OB→⋅OC→=−78，正确。
② |AB→|2=(OB→−OA→)2=1+1−2×(−14)=32，故|AB→|=62，正确。
③ 由外心性质，cs2∠BAC=2cs2∠BAC−1，而cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→||AC→|，同理cs2∠ACB可求，结合OB→⋅OC→=−78及正弦定理，可得sin2AOA→+sin2BOB→+sin2COC→=0，代入2OA→+3OB→+4OC→=0得sin2A2=sin2B3=sin2C4=k，则cs2∠BAC=1−2sin2∠BAC=1−2(2ka)2（a为BC边），同理可得cs2∠ACB，最终化简得cs2∠BAC=−72cs2∠ACB，正确。
5. 答案：BCD
解析：由OA→⋅OB→=OB→⋅OC→=OC→⋅OA→知O为垂心，A错误；垂心满足∠BOC=180∘−∠BAC，故∠BOC+∠BAC=π，B正确；设|OA→|=x，|OB→|=y，|OC→|=z，由OA→⋅OB→=OB→⋅OC→得xycs∠AOB=yzcs∠BOC，而∠AOB=180∘−∠C，∠BOC=180∘−∠A，故xcsC=zcsA，同理xcsB=ycsA，故x:y:z=csA:csB:csC，C正确；由垂心性质，tanAOA→+tanBOB→+tanCOC→=0，D正确。
结论应用2 极化恒等式
1. 答案：D
解析：在平行四边形ABCD中，由极化恒等式得：
AB→⋅AD→=14|AC→|2−|BD→|2
已知|AB→|=2，|AD→|=1，|BD→|=2，且AB→⋅AD→=|AB→||AD→|cs∠BAD=2×1×cs∠BAD。
代入得：
2cs∠BAD=14|AC→|2−4
又由余弦定理，在△ABD中：
|BD→|2=|AB→|2+|AD→|2−2|AB→||AD→|cs∠BAD
即4=4+1−4cs∠BAD，解得cs∠BAD=14。
代入极化恒等式得：
2×14=14|AC→|2−4 ⇒ 12=14|AC→|2−1 ⇒ |AC→|2=6 ⇒ |AC→|=6
2. 答案：C
解析：取BC中点O，则O为D，E的中点吗？不，D，E是三等分点，BD=DE=EC=13，BO=12BC=12，则OD=BO−BD=12−13=16，OE=OD=16。
由三角形极化恒等式：
AD→⋅AE→=|AO→|2−|OE→|2
在正三角形ABC中，AO为中线，|AO→|=32×1=32，|OE→|=16，故：
AD→⋅AE→=322−162=34−136=27−136=2636=1318
变式1 答案：B
解析：设P坐标为(x,y)，A(0,3)，B(−1,0)，C(1,0)，M(0,0)，则PA→=(−x,3−y)，PB→+PC→=(−2x,−2y)，数量积为：
PA→⋅(PB→+PC→)=2x2−2y(3−y)=2x2+2y2−23y
当P在y轴上时，x=0，表达式为2y2−23y=2(y−32)2−32，最小值为−32。
变式2 答案：78
解析：设BC中点D，则BA→⋅CA→=|AD→|2−|BD→|2=4，BF→⋅CF→=|FD→|2−|BD→|2=−1，故|FD→|2=|BD→|2−1，而|AD→|=3|FD→|，设|FD→|=x，则|AD→|=3x，(3x)2−|BD→|2=4，x2−|BD→|2=−1，解得9x2−(x2+1)=4 ⇒ 8x2=5 ⇒ x2=58，|BD→|2=58+1=138。BE→⋅CE→=|ED→|2−|BD→|2=(2x)2−138=4x2−138=4×58−138=20−138=78。
3. 答案：λ=−16，最小值为132
解析：AD→=λBC→，BC→=(6cs60∘,6sin60∘)=(3,33)，AB→=(3,0)，则AD→⋅AB→=3λ×3+33λ×0=9λ=−32 ⇒ λ=−16。
建立坐标系：B(0,0)，C(6,0)，A(3cs60∘,3sin60∘)=(1.5,332)，AD→=λBC→=(−1,0)，故D=A+AD→=(0.5,332)。设M(t,0)，N(t+1,0)，t∈[0,5]，则DM→=(t−0.5,−332)，DN→=(t+1−0.5,−332)=(t+0.5,−332)。
则DM→⋅DN→=(t−0.5)(t+0.5)+(−332)2=t2−0.25+274=t2+6.5。
当t=0时，DM→⋅DN→取得最小值0+6.5=132。
4. 答案：B
解析：设圆心为O(0,0)，A(x1,y1)，B(−x1,−y1)，点P(x,y)在直线x−y+4=0上，即y=x+4。
PA→=(x1−x,y1−y)，PB→=(−x1−x,−y1−y)，则：
PA→⋅PB→=(x1−x)(−x1−x)+(y1−y)(−y1−y)=−x12+x2−y12+y2=x2+y2−(x12+y12)
因为A在圆x2+y2=1上，所以x12+y12=1，则PA→⋅PB→=x2+y2−1。
又y=x+4，代入得：
x2+(x+4)2−1=x2+x2+8x+16−1=2x2+8x+15=2(x2+4x)+15=2(x+2)2+15−8=2(x+2)2+7
当x=−2时，PA→⋅PB→取得最小值7，故选B。
5.答案：B
解析：PQ→=OQ→−OP→=(1−t)OB→−tOA→，则：
|PQ→|2=[(1−t)OB→−tOA→]2=(1−t)2|OB→|2+t2|OA→|2−2t(1−t)OA→⋅OB→=(1−t)2+4t2−2t(1−t)×2×1×csθ=1−2t+t2+4t2−4t(1−t)csθ=5t2−2t+1−4t(1−t)csθ=(5+4csθ)t2−(2+4csθ)t+1
这是关于t的二次函数，二次项系数5+4csθ>0，函数图象开口向上，对称轴为：
t=2+4csθ2(5+4csθ)=1+2csθ5+4csθ
当csθ=−1时，对称轴t=1−25−4=−1，此时t∈[0,1]，函数在t=0处取得最小值：
|PQ→|2=0−0+1−0=1 ⇒ |PQ→|=1
当csθ=1时，对称轴t=1+25+4=13，此时最小值为：
|PQ→|2=(5+4)×(13)2−(2+4)×13+1=9×19−6×13+1=1−2+1=0 ⇒ |PQ→|=0
但向量夹角θ∈[0,π]，csθ取值范围为[−1,1]，当θ=2π3时，csθ=−12，对称轴t=1+2×(−12)5+4×(−12)=03=0，此时：
|PQ→|2=5×0−2×0+1−4×0×(1−0)×(−12)=1
而当θ=π3时，csθ=12，对称轴t=1+2×125+4×12=27，代入得：
|PQ→|2=(5+2)×(27)2−(2+2)×27+1=7×449−4×27+1=47−87+1=37 ⇒ |PQ→|=217=32
综上，|PQ→|的最小值为32，故选B。
三角形的重心(其三条中线的交点）
若 O 是 △ABC 的重心,则有 (1) OA→+OB→+OC→=0 ; (2) 重心到顶点的距离和到对边中的距离之比为 2:1;(3)AO→=13AB→+13AC→;(4) 存在正实数 λ ,使得 AO→=λ(AB→AB→sinB+AC→AC→sinC ).
三角形的垂心(其三条高的交点)
若 O 是 △ABC 的垂心,则有 (1) OA→⋅OB→=OB→⋅OC→=OC→⋅OA→;(2)tanAOA→+ tanBOB→+tanCOC→=0 ；(3) 存在正实数 λ ,使得 AO→=λAB→AB→csB+AC→AC→csC .
三角形的内心(其三条内角平分线的交点)
若 O 是 △ABC 的内心,则有 (1) aOA→+bOB→+cOC→=0 ; (2) 存在正实数 λ ,使得 AO→= λAB→AB→+AC→AC→ .
三角形的外心(其三条边的垂直平分线的交点)
若 O 是 △ABC 的外心,则有 (1) OA→=OB→=OC→;(2)sin2AOA→+sin2BOB→+ sin 2COC→=0 ; (3) OA→+OB→⋅AB→=OA→+OC→⋅AC→=OB→+OC→⋅BC→=0 .
平行四边形形式
平行四边形 ABCD中, AB→⋅AD→=14AC→2−BD→2 ,即向量 a,b 的数量积可以表示为以向 量 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长的平方差的 14 .
三角形形式
三角形ABC 中, AB→⋅AC→=AO→2−BO→2=AO→2−14BC→2 ( O 为 BC 的中点).