初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）4.2 线段的垂直平分线示范课课件ppt

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线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的判定作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线
1. 定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。
特别解读线段的垂直平分线必须满足两个条件：1.经过线段的中点；2.垂直于这条线段。
下列说法正确的有( )① P 是线段 AB 上的一点，直线 l 经过点 P 且 l ⊥ AB，则 l 是线段 AB 的垂直平分线；②直线 l 经过线段 AB 的中点 P，则l是线段AB的垂直平分线 ；③经过线段 AB 的中点 P 且垂直于线段 AB 的直线 l 是线段AB 的垂直平分线。A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
解：① 只 满 足 垂 直 条 件 ，而 没 有 经 过 线 段 中 点 的 条 件 ，故 错 误 ；② 只 满 足 经 过 线 段 中 点 的 条 件 ，而 没 有 垂 直 条 件 ，故 错 误 ；③ 直 线 l 既 经 过 线 段 AB 的 中 点 P ，又 垂 直 于 线 段AB ，故 正 确 。
解题秘方：本题应用定义法，根据线段垂直平分线的定义进行判断即可。
1-1.如 图， AB 的 垂 直平分线为直线MN，点P 在 MN 上，连 接 PA，PB。 下列结论不一定正确的是(     ) A.S △ APO=S △ BPOB.OA=OBC.OP=OBD.PO平分∠ APB
线段垂直平分线的性质定理
1. 性 质 定 理： 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 线 段 两 端的 距 离相等。条件： 点在线段的垂直平分线上。结论： 这个点到线段两端点的距离相等。
2. 几何语言如图 4.2-2。因为 PO ⊥ AB 于点 O， AO=BO，所以 PA=PB。
特别解读用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法。
如图 4.2-3， AD ⊥ BC， BD=DC，点 C 在线段 AE 的垂直平分线上，则 AB， AC， CE 的长度关系为（ ）A.AB>AC=CE B.AB=AC>CEC.AB>AC>CE D.AB=AC=CE
解题秘方：根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 定 理 得 出 AB，AC， CE 之间的关系。
解：因为 AD ⊥ BC， BD=DC，所以 AB=AC。因 为 点 C 在 线 段 AE 的 垂 直 平 分 线上，所以 AC=CE。所以 AB=AC=CE。
2-1.如 图，直 线 PD 和直 线 PE 分 别 是 线 段AB， BC的垂直平分线，判断PA和PC的数量关系，并说明理由。
解：PA＝PC。理由如下：如图，连接PB。因为直线PD是线段AB的垂直平分线，所以PA＝PB。同理可得PC＝PB，所以PA＝PC。
[母题 教材 P105 习题 T2]如图 4-2-4，在 △ ABC 中，AB=5 cm， BC 的垂直平分线分别交 AB， BC 于点 D， E，△ ACD的周长为 8 cm，求线段 AC 的长 .
解：因为DE 为线段 BC 的垂直平分线，所以CD=BD.所以△ ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8 cm.又因为AB=5 cm， ∴ AC=3 cm.
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质定理将要求的线段向已知条件转化 .
3-1. [期末·烟台莱山区] 如 图，△ ABC 中 边 AB的垂直平分线分别交BC， AB于点D， E，连接AD， AE=3cm，△ ADC的 周 长 为 9cm，则△ ABC的周长是_______ 。
如图 4.2-5，在△ ABC 中，∠ A=40°，∠ B=90°，边AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，求∠ BCM的度数。
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质定理得到线段相等，为三角形全等创造条件，从而将要求的角向已知角转化。
4-1. [ 模拟· 济宁 ] 如图，∠ C=90°， AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E， 连接AD，若 ∠ CAD=20 °， 则∠ B=(     ) A. 20° B. 30°C. 35° D. 40°
1. 判定： 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。条件： 点到线段两个端点的距离相等。结论： 点在线段的垂直平分线上。2. 几何语言： 如图 4.2-6，因为 PA=PB，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
特别解读1.证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证明平分；二是取中点，证明垂直。2.证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上。
3. 作用：(1)作线段垂直平分线的依据；(2)可用来证明线段垂直、相等。拓展： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
如图 4.2-7， P 为∠ MON 平分线上一点， PA ⊥ OM 于A， PB ⊥ ON 于 B。求证： OP 垂直平分 AB。
解题秘方： 判定线段垂直平分线的方法有两种：一是判定方法，二是定义法。一般习惯用定义法进行判定，而利用判定方法判定更简单。用判定方法判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等。
证法一（判定方法）：因为 P 为∠ MON 平分线上一点，所以∠ AOP= ∠ BOP。因为 PA ⊥ OM， PB ⊥ ON，所以∠ PAO= ∠ PBO=90° 。又因为 OP=OP，所以△ AOP ≌ △ BOP（AAS）。所以 PA=PB， OA=OB。所以点 P，点 O 均在 AB 的垂直平分线上。所以 OP 垂直平分 AB。
5-1.如图， AC=BC， AD=BD，这 个 图 形 叫 作 “筝 形”，数 学 兴 趣 小组的几名同学探究出关 于 它 的 如 下 结 论：①△ ACD≌△ BCD；② AO=BO；③ AB⊥ CD ；④∠ CAB=∠ ABD。其中正确结论的序号是(     ) A. ①③④ B. ①②③C. ①②④ D. ②③④
5-2.如图， AD与BC相交 于 点 O， AB=CD，∠ ABC= ∠ CDA， EB=ED。 求证:OE ⊥ BD。
如图 4.2-8，已知 AB=AD， BC=DC， E 是 AC 上一点。求证：(1) BE=DE。(2)∠ ABE= ∠ ADE。
解题秘方：连接 BD，要 证 明 BE=DE，只 需 证 明 AC 所在的直线是线段 BD 的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可得到 BE=DE；
证明：如图 4.2-8，连接 BD。因为 AB=AD， BC=CD，所以 A， C 两点均在线段 BD 的垂直平分线上。所以 AC 所在的直线是线段 BD 的垂直平分线。又因为 E 是 AC 上一点，所以 BE=DE。
解题秘方：证明△ ABE ≌ △ ADE 即可。
(2)∠ ABE= ∠ ADE。
6-1.如 图，在 △ ABC中， DM， EN 分别垂直平 分 边 AC 和 边 BC，交 边 AB 于 M， N 两 点，DM与EN相交于点F。求 证：点 F 在 AB 的 垂直平分线上。
证明：连接AF, CF，BF。因为DM垂直平分边AC，所以AF＝CF。因为EN垂直平分边BC，所以BF＝CF。所以AF＝BF。所以点F在AB的垂直平分线上。
作已知线段的垂直平分线已知：线段 AB（如图 4.2-9）。求作：线段 AB 的垂直平分线。
如图 4.2-11，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在A， B， C三个住宅小区之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个住宅小区的距离相等？
解题秘方：本 题 转 化 为 数 学 问 题 就 是 要找一个点，使它到三个点的距离相等。连接AB， BC，到 A， B 两 点 距 离 相 等 的 点 在 线 段AB 的 垂 直 平 分 线 上，到 B， C 两 点 距 离 相 等 的 点 在 线 段 BC的垂直平分线上，因此两条垂直平分线的交点即为所求。
解： 如图 4.2-11，连接 AB， BC，分别作 AB， BC 的垂直平分 线 DE， GF，两 直 线 交 于 点 M，则 点 M 就 是 所 要 确 定 的 修建购物中心的位置。
7-1.某通讯工程队准备在一段笔直的公路l上修建一个5G信号基站，以服务公路旁的A，B两个工业园区（如图），要求该基站到 A， B 两个工业园区的距离相等，通过作图，确定该基站修建的位置。（不写作法，但要保留作图痕迹）
解：如图，点P即为所求。
过一点作已知直线的垂线
1. 过已知直线上一点作垂线已知：直线 l 和 l 上一点 P（如图 4.2-12）。求作：过点 P 的直线 l 的垂线。作法：如图 4.2-13。(1)在直线 l 上作出以点 P 为中点的线段 AB；(2)作线段 AB 的垂直平分线 CD。直线 CD 为经过点 P 的直线 l 的垂线。
2. 过已知直线外一点作垂线已知：直线 l 和 l 外一点 P（如图 4.2-14）。求作：过点 P 的直线 l 的垂线。
作法：如图 4.2-15。(1)任意取一点 K，使点 K 与点 P 分别在直线 l 两侧，以点P 为圆心， PK 长为半径作弧交直线 l 于 A， B 两点；(2)作线段 AB 的垂直平分线 CD。直线 CD 为经过点 P 的直线 l 的垂线。
特别提醒因为点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种情况，因此，过一点作已知直线的垂线需要分类讨论。
知识储备垂线的性质：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。特别解读“过 一 点 作 已 知直线的垂线”和“作一条线段的垂直平分线” 都是基本作图。
如图4.2-16，已知钝角三角形ABC，其中∠ C为钝角，求作△ ABC 的中线 AD 和高 AH（保留作图痕迹）。
解题秘方：将作中线转化为作线段的垂直平分线（找中点），将作高转化为过直线外一点作垂线。
解：如图 4.2-17，作 BC 的垂直平分线 m，交 BC 于点 D，连接 AD，则 AD 是所求作的△ ABC 的中线 ；延 长 BC，过 点 A 向 BC 的 延 长 线 作 垂 线，垂 足 为 H，则AH 是所求作的△ ABC 的高。
8-1. [ 中 考· 盐 城 ]如图， AB=AE， BC=ED，∠ B= ∠ E。(1)求证： AC=AD;
(2)用直尺和圆规作图：过 点 A 作 AF ⊥ CD，垂足为F（不写作法，保留作图痕迹）。
解：如图，线段AF即为所求。