初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）第5章 勾股定理与实数5.1 勾股定理及其逆定理评课课件ppt

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勾股定理勾股定理的证明勾股定理的应用勾股定理的逆定理
特别提醒1.勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可以使用勾股定理。2.已知直角三角形的任意两边可以求出第三边。
特别解读运用勾股定理求边长时，关键是要分清直角边和斜边，明确所求的是哪一条边。若题目中没有明确指出哪条边是斜边，则需要分类讨论，以免漏解。
[母题 教材 P125 练习 T1 ]在 Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为 a， b， c，∠ C=90°。(1)已知 a=6， b=8，求 c；(2)已知 c=17， a=15，求 b；(3)已知 a∶ b=3∶ 4， c=15，求 b。
解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答。
解： (1)因为∠ C=90° ， a=6， b=8，所以由勾股定理，得 c 2=a 2+b 2=6 2+8 2=100。所以 c=10。(2)因为∠ C=90° ， c=17， a=15，所以由勾股定理，得 b 2=c 2-a 2=17 2-15 2=64。所以 b=8。(3)因为 a∶ b=3∶ 4， 所以设 a=3x，则 b=4x（x ﹥ 0）。又因为∠ C=90° ， c=15，所以由勾股定理，得(3x) 2+(4x) 2=15 2，所以 x=3。所以 b=4x=12。
1-1.在 Rt △ ABC 中，斜边BC=10， 则BC2+AB2+AC2= (     )A.20 D.144
1-2.若直角三角形的两直角边为a， b，且满足 a2 － 6a+9+|b － 4|=0，则该 直 角 三 角 形 的 斜边长为______________ 。
特别解读通过拼图证明命题的方法：1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变；2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；3.利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论。
图 5.1-1 ①是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c。图 5.1-1 ②是以 c 为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；(2)利用这个图形证明勾股定理。
解： 如图 5.1-2 即为所求。它是直角梯形。
(1)画出拼成的这个图形的示意图，并写出它是什么图形；
(2)利用这个图形证明勾股定理。
2-1.如图①， Rt△ ABC的三边长分别为 a，b，c， ∠ ACB=90° ，以AC为一边作正方形ACDE，点B在边CD上，将△ ABC裁 剪 拼 接 至 △ AFE 的位置， 如图②， 请用图①、 图② 的面积不变证明勾股定理。
证明：如图，连接BF。因为AC＝b，所以正方形ACDE的面积为b2。易知CD＝DE＝AC＝b，EF＝BC＝a，所以BD＝CD－BC＝b－a，DF＝DE＋EF＝a＋b。易知∠CAE＝90°，所以∠BAC＋∠BAE＝90°。易知∠BAC＝∠FAE，所以∠FAE＋∠BAE＝90°。又因为AB＝AF＝c，所以△BAF为等腰直角三角形，
1. 勾股定理的应用范围勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有 一 个 直 角 的“形”的 特 点 转 化 为 三 边“数”的 关 系。 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题。
2. 勾股定理应用的常见类型(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明包含有平方关系的几何问题；(4)求解几何体表面上的最短路程问题；(5)构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题。
特别解读运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象出几何图形;2.确定要求的线段所在的直角三角形;3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系;4.求得结果。
[母题 教材 P128 习题 T4]如图 5.1-3，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， CD ⊥ AB，垂足为 D，求 CD 的长。
解题秘方：紧扣“同一个直角三角形的面积的两种表示方法”求解，即利用面积法解决问题。
方法技巧： 已知直角三角形的两边长求斜边上的高的方法第 1 步：用两种方法分别表示同一图形的面积；第 2 步：利用面积相等列出一个方程；第 3 步：解方程即可求出斜边上的高。
特别提醒若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线（如作三角形的高）构造直角三角形。
3-1. [中考·重庆]如图，在△ ABC中， AB=AC，AD是BC边上的中线，若AB=5， BC=6，则AD的长度为________ 。
[母题 教材 P128 习题 T6] 如 图 5.1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8，正方形 A， B， C 的面积分别是 15， 12，17，求正方形 D 的面积。
解： 根据勾股定理可知， S 正方形A+S 正方形B=S 正方形P，S 正方形C+S 正方形D=S 正方形Q， S 正方形P+S 正方形Q=S 正方形M，所以 S 正方形A+S 正方形B+S 正方形C+S 正方形D=S 正方形M。因 为 S 正 方 形 M=8 2=64，所 以 S 正 方 形 A+S 正 方 形 B+S 正 方 形 C+S 正方形D=64。又因为正方形 A， B， C 的面积分别是 15，12，17，所 以 S 正 方 形 D=64-（15+12+17） =20，即 正 方 形 D 的 面 积 为20。
规 律 总 结： 与直角三角形三边相关的正方形、等边三角形、半圆形等，一般都具有相同的结论：两条直角边上图形的面积之和等于斜边上图形的面积。
4-1.如 图， 分 别 以Rt △ ABC 的 三 边 为斜边向外作等腰直角三 角 形， 若 AD=4，则阴影部分的面积为(     ) A.8 D.32
如图5.1-5，在Rt△ ABC中，∠ C=90 °， AM 是 中 线， MN ⊥ AB，垂 足 为 N。求证： AN2－BN2=AC2。
证明： 因为 MN ⊥ AB，所以在 Rt △ AMN 中， AN 2+MN 2=AM 2。在 Rt △ BMN 中， BN 2+MN 2=MB 2。所以 AM 2-AN 2=MB 2-BN 2，即 AN 2-BN 2=AM 2-MB 2。在 Rt △ AMC 中，因为∠ C=90° ，所以 AM 2-MC 2=AC 2。又因为 AM 是中线，所以 MC=MB。所以 AM 2-MB 2=AC 2。所以 AN 2-BN 2=AC 2。
5-1.如图，在Rt△ABC中， ∠ C=90° ， AM=CM， MP⊥ AB于点P。求证： BP 2=BC2+AP 2。
证明：如图，连接BM。因为PM⊥AB，所以△BMP和△AMP均为直角三角形。所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2。因为∠C＝90°，所以BC2＋CM2＝BM2，所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2。因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2。所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2。所以BP2＝BC2＋AP2。
一架 5 m 长的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯足距墙脚 3 m，若梯子的顶端下滑 1 m，则梯足将滑动( )A. 0 m B. 1 m C. 2 m D. 3 m
解：根据题意，建立如图 5.1-6 所示的模型。由题知 AB=A 1B 1=5 m， AA 1=1 m， BC=3 m。因为在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90° ，所以 AC 2=AB 2－BC 2=16。所以 AC=4 m。因为在 Rt △ A 1B 1C 中， ∠ A 1CB 1=90° ，A1C=AC－AA 1=4－1=3（m），所以 B 1C 2=A 1B 12－A 1C 2=16。所以 B 1C=4 m。所以 BB 1=B 1C-BC=4－3=1（m）。所以梯足将滑动 1 m。
6-1. 一 艘 船 由A港 沿北 偏 东60 ° 方 向 航 行30 km至B港， 然后再沿北偏西30° 方向航行40km至C港，则A， C两港之间的距离为________ km。
6-2. 如 图， 小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为7 m， 顶端距离地面24 m。 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20 m， 则 小 巷 的 宽 度为__________ 。
1. 勾股定理的逆定理 : 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤
3. 勾股定理与其逆定理的关系
特别提醒1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜 边”，因 为还没有确定是直角三角形。2. a2＋b2＝c2只是一种表现形式，满足a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2 的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边长。
[母题 教材 P127 例 3]判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ ABC 中，∠ A=25°，∠ C=65°；(2)在△ ABC 中， AC=12， AB=20， BC=16；(3)一个三角形的三边长 a， b， c 满足 a∶ b∶ c=5∶ 12∶ 13。
解题秘方：紧扣“有两个角互余的三角形是直角三角形”和“勾股定理的逆定理”进行判断。
解： (1)在△ ABC 中，因为∠ A+ ∠ C=90° ，所以△ ABC 是直角三角形。(2)在△ ABC 中，因为 AC 2+BC 2=12 2+16 2=202=AB 2，所以△ ABC 是直角三角形，且∠ C 为直角。(3)设 a=5x，则 b=12x， c=13x(x>0)。因为(5x) 2+(12x) 2=(13x) 2，所以 a2＋b2＝c2 。所以该三角形是直角三角形。
已知比例式，设参数，表示边长
7-1. [期中·青岛市南区] 在△ ABC中， ∠ A， ∠ B，∠ C的 对 边 长 分 别 是a， b， c，那么下面不能判定△ ABC是直角三角形的是(     )A. ∠ B=∠ C－∠ AB. a2=(b+c)(b－c)C. ∠ A∶ ∠ B∶ ∠ C =5∶ 4∶ 3D. a∶ b∶ c= 5∶ 4∶ 3
7-2. [ 期中·青岛胶州市] 下列四组数中能作为 直 角 三 角 形 的 三 边长的是(     )A． 1， 1， 2B． 3， 4， 5C． 5， 11， 16 D． 8， 14， 17