数学4.3 角的平分线教案配套课件ppt

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作一个角的平分线 角平分线的性质角平分线的判定
1. 角的对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
2. 角平分线的作法 已知： ∠ AOB（如图 4.3-1）。求作： ∠ AOB 的平分线。作 法： (1)以 点 O 为 圆 心，以 适 当 的 长为半径作弧，分别交这个角的两边于C， D 两点；
“作一个角的平分线”也是基本作图
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分。
1-1.已知： ∠ AOB，如图所示，求作： ∠ AOB的邻补角的平分线（保留 作 图 痕 迹，不 写 作法）。
解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一)
1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 。角平分线的性质的两个必要条件(1)点在角平分线上；(2) 这 个 点 到 角 两 边 的 距 离 即 点 到 角 两 边 的 垂 线 段 的长度。两者缺一不可。
2. 几何语言： 如图 4.3-3，因为 OP 平分∠ AOB， PE ⊥ OA 于点 E， PF ⊥ OB 于点 F，所以 PE=PF。
只要符合基本模型，直接得出结论,不需要证全等
特别提醒1.角平分线的性质是由两个条件(角平分 线，垂 线)得 到一个结论(线段相等)。2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直 于 角 两 边 的 线段”， 如图4.3-4①所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图4.3-4②所示。
[期 中· 青 岛 李 沧 区]如 图 4.3-5， OD 平 分 ∠ EOF，在OE， OF 上 分 别 取 点 A， B，使 OA=OB， P 为 OD 上 一 点，PM ⊥ BD， PN ⊥ AD，垂足分别为 M， N。求证： PM=PN。
解题秘方：在图中找出能利用角平分线性质的模型，利用角平分线的性质可证明线段相等。
2-1. [期中·济宁任城区] 如 图，已 知 ∠ AOB=90°， OM是∠ AOB的平分线，三角尺的直角顶 点 P 在 射 线 OM 上滑动，两直角边分别与OA， OB交于点C， D。求证： PC=PD。
证明：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，则∠CFP＝∠DEP＝90°。因为OM是∠AOB的平分线，所以PE＝PF。因为∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，所以∠PCF＋∠PDO＝360°－∠AOB－∠CPD＝180°。又因为∠PDE＋∠PDO＝180°，
如图4.3-6，在△ ABC中，∠ C=90°， AD平分∠ CAB，BD=2CD，点 D 到 AB 的距离为 5.6 cm，求 BC 的长。
解题秘方：依 据 角 平 分 线 的 性 质 定 理得 出 CD 的 长，进 而 得 出 BD 的 长，依 据BC=CD+BD 即可得出结论。
解： 如 图 4.3-6，过 点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E。因 为 ∠ C=90 ° ， AD 平 分 ∠ CAB，点 D 到 AB 的 距 离 为5.6 cm，所以 CD=DE=5.6 cm。又因为 BD=2CD，所以 BD=2× 5.6=11.2（cm）。所以 BC=CD+BD=5.6+11.2=16.8（cm）。
3-1. [ 期 中·福 州 ] 如图，在△ ABC 中， ∠ C=90° ， BP 平分∠ ABC，AC=10， 且 CP ∶ AP=2∶ 3，则点 P 到 AB 的距离为 ________。
如 图 4.3-7，在 △ ABC 中， AD 是∠ BAC 的 平 分 线， DE ⊥ AB 于 点 E， DF ⊥AC 于 点 F，△ ABC 的 面 积 是 225 cm2，AB=28 cm， AC=17 cm，求 DE 的长。
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解。
4-1. [ 模拟·青岛 ] 如图，在△ ABC 中， ∠ BAD=∠ CAD， AB=2AC=4，若△ ABC 的面积为 6，则 点 D 到 AB 的 距 离为_________ 。
如 图 4.3-8， 在 △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC， AD 平分∠ CAB，交 BC于点 D， DE ⊥ AB，垂足为 E。若 AB=8 cm，求△ DEB 的周长。
技巧点拨： 已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长。
5-1.如图，已知△ ABC中， ∠ C=90 ° ， AD 平分∠ BAC 交BC 于点 D，DE ⊥ AB 点于 E，点 F在 AC 上，且 BD=FD。求证： AE-BE=AF。
1. 判 定 定 理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
2. 几何语言： 如图 4.3-9，因 为 点 P 为 ∠ AOB 内 一 点， PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E，且 PD=PE，所以点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上。应用角平分线的判定所具备的条件(1)位置关系：点在角的内部；(2)数量关系：该点到角两边的距离相等。定理的作用： 判断点是否在角平分线上。
特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部。2.角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等）得到一个结论(角平分线)。3.角平分线的判定方法是证明两个角相等的重要依据，它比利用三角形全等证明两角相等更方便快捷。
拓宽视野三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。
如图 4.3-10， BF ⊥ AC 于点 F， CE ⊥ AB 于点 E， BF和 CE 交于点 D， BE=CF。求证： AD 平分∠ BAC。
解题秘方：利用角平分线的判定定理判定角平分线时，关键是证明角的内部的点到角两边的距离相等。
6-1. [ 月 考· 台 州 ] 如图， ∠ AOB=60 ° ，P 是 射 线 OC 上 的 一点， PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E， M，N 分 别 是 OA 与 OB上 的 点， DM=EN，∠ MPN=120° 。求证：OC是∠ AOB 的平分线。
证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDM＝∠PEO＝∠PEN＝90°。因为∠DOE＋∠PDO＋∠DPE＋∠PEO＝360°，∠AOB＝60°，所以∠DPE＝120°。因为∠DPM＋∠MPE＝120°，∠MPE＋∠NPE＝120°，所以∠MPD＝∠NPE。
如图 4.3-11， BP， CP 分别是△ ABC 的外角平分线，PM ⊥ AB 于点 M， PN ⊥ AC 于点 N。求证： AP 平分∠ MAN。
证明： 如图 4.3-11，作 PD ⊥ BC 于点 D。因为 BP 是∠ MBC 的平分线， PM ⊥ AB， PD ⊥ BC，所以 PM=PD。同理可得 PN=PD，所以 PM=PN。又因为 PM ⊥ AB， PN ⊥ AC，所以 AP 平分∠ MAN。
7-1.如 图， △ ABC 的角平分线 BE， CF 相交于点 P。求证：点 P 在∠ A 的平分线上。
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为D，M，N。因为BE平分∠ABC，点P在BE上，所以PD＝PM。同理可得PM＝PN，所以PD＝PN。所以点P在∠A的平分线上。