苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题01全等三角形的判定与性质重难点题型专训(原卷版+解析)

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题型一 用“SSS”证明三角形全等问题
题型二 全等的性质与“SSS”综合问题
题型三 用“SAS”证明三角形全等问题
题型四 全等的性质与“SAS”综合问题
题型五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题
题型六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题
题型七 用“HL”证明三角形全等问题
题型八 全等的性质与“HL”综合问题
题型九 灵活选用判定方法证全等
题型十 结合尺规作图的全等问题
题型十一 与角平分线相关的全等证明问题
题型十二 全等三角形的综合问题
【知识梳理】
知识点、全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【经典例题一 用“SSS”证明三角形全等问题】
【例1】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）画的平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交于M点，交于N点；
②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C；
③过点C作射线．射线就是的角平分线．
请你说明这样作角平分线的根据是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·四川雅安·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件_______________．（填一个即可）
3．（2023·全国·九年级专题练习）小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分、可将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．
【经典例题二 全等的性质与“SSS”综合问题】
【例2】（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线，若，则为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级期末）如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为___________．
3．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【经典例题三 用“SAS”证明三角形全等问题】
【例3】（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（ ）
A．1个B．5个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形中，，则的度数是（ ）
A．50°B．54°C．60°D．72°
2．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在中，已知， ，．若，则的度数为__________．
3．（2023春·七年级课时练习）如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【经典例题四 全等的性质与“SAS”综合问题】
【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级单元测试）在中，是边的中点，若，，则的中线长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等，x的值为_________．

3．（2023·河北沧州·统考二模）如图1，，，三点在同一条直线上，点在线段上，点在线段上，且，，连接，．

(1)求证：；
(2)写出，和三者间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，，两根长度相等的木棍固定在点处，．点在木棍上，点在木棍上，与是两根皮筋，皮筋的端点，固定，改变皮筋端点，的位置，始终保持，且皮筋处于绷直状态，若增加了，则_______（填“增加”或“减少”）_________度．
【经典例题五 用“ASA(AAS)”证明三角形全等问题】
【例5】（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（ ）
A．4B．6C．10D．16
2．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．
3．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【经典例题六 全等的性质与“ASA(AAS)”综合问题】
【例6】（2023·浙江·八年级假期作业）已知如图：，且，于D，于D． ，．连接，．则图中阴影部分的面积为（ ）．

A．5B．6C．9D．10
【变式训练】
1．（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ）
A．B．3C．D．4
2．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为______．

3．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
(1)若在外（如图1），求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，，则 ．
【经典例题七 用“HL”证明三角形全等问题】
【例7】（2022春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的个数有（ ）
①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ______．
3．（2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习）如图，中，，，点为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【经典例题八 全等的性质与“HL”综合问题】
【例8】（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，，于，于E，与交于点．有下列结论：
①；②；③点在的平分线上；④点在的中垂线上．
以上结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式训练】
1．（2021秋·陕西汉中·八年级统考期末）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，过A作，垂足为H，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是( )
A．2B．2.5C．3D．
2．（2023春·广东茂名·八年级统考期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接DE，则．其中正确的结论有______．

3．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在中，，是过点的直线，于点，于点．
(1)若，在直线的同侧（如图①所示），且，求证：
①；
②．
(2)若，在直线的两侧（如图②所示），且，其他条件不变，与垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
【经典例题九 灵活选用判定方法证全等】
【例9】（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）下列条件中，可以确定和全等的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式训练】
1．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知，则图中全等的三角形有（ ）对．
A．3对B．4对C．5对D．6对
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在和中，点B，E，C，F在同条一直线上，下列4个条件：
，请你从中选3个条件作为题设，余下的1个条件作为结论，写出一个真命题，则你选择作为题设的条件序号为：______，作为结论的条件序号为：______．
3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）如图，．
(1)写出与全等的理由；
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
【经典例题十 结合尺规作图的全等问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）已知，按图示痕迹作，得到．则在作图时，这两个三角形满足的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．点在的平分线上
2．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______
3．（2023春·七年级课时练习）如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题：
(1)画直线AB，射线BD，连接AC；
(2)在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹）
(4)请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据．
【经典例题十一 与角平分线相关的全等证明问题】
【例11】（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，连结，则的面积是（ ）
A．10B．8C．6D．4
【变式训练】
1．（2021秋·全国·八年级阶段练习）如图，D为BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交 于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．
3．（2023·安徽·校联考一模）如图，在正方形中，点、分别为边、上两点，．
(1)若是的角平分线，求证：是的角平分线；
(2)若，求证：．
【经典例题十二 全等三角形的综合问题】
【例12】（2023春·广东深圳·七年级深圳市海湾中学校考期中）如图，交于M，交于D，交于N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式训练】
1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，梯形中，，E是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是（ ）．
A．①②④B．③④C．①②③D．②④
2．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于__________秒时，与全等．
3．（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，
①试说明．
②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由．
(2)如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值．
【重难点训练】
1．（2023秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，对角线 平分，下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D． 与 的大小关系不确定
2．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，F是对角线AC的中点，连接DF并延长交BC于点E，若，，，则四边形的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
3．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图所示，小语同学为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得与地面夹角，测得与地面夹角，量得点P到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与楼之间的距离，则楼高（ ）

A．B．C．D．
4．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在和中，．在以下条件：①；②；③；④；⑤中，再选一个条件，就能使，共有（ ）选择．
A．2种B．3种C．4种D．5种
5．（2022秋·七年级单元测试）中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ）

A．B．C．或D．或
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形的顶点在直线上，将直线向上平移线段的长得到直线，直线分别交，于点，．若求的周长，则只需知道( )
A．的长B．的长C．的长D．DF的长
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：
①；②；③；④；错误的有（ ）个．
A．0B．1C．3D．4
8．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
9．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有__对．
10．（2019春·广东揭阳·七年级统考阶段练习）如图，在中，已知，过E作于F，且的三条角平分线交于点G，连接，则___________度．

11．（2022春·七年级单元测试）的角平分线交于点，过点作，交边于点，，交边所在的直线于点，若，则的长为________．
12．（2023春·吉林·八年级校考阶段练习）如图，在中，垂直的平分线于点P，若，且，则__________．
13．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交 于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为________．
15．（2023·江苏·八年级假期作业）已知：在中，，，求证：．

16．（2023·浙江温州·校考三模）如图，在四边形中，，平分，，，

(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
17、（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到≌的理由是______．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得的取值范围是______．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图，是的中线，交于，交于，且．求证：．
18．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．

(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS