苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题06等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训(原卷版+解析)

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题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
【重难点训练】
等腰三角形中的15道分类讨论问题
直角三角形中的15道分类讨论问题
【知识梳理】
1、等腰三角形中的分类讨论：
【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可．
1.无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论．
2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰
方法：两圆一线
具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）
③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）
【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题】
【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）

A．3B．4C．6D．7
【变式训练】
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
3．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为___________．
4．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在中，，点是边上一点，．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
5．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：

(1)经过后，此时______，______；
(2)在（1）的条件下，证明：；
(3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为?
【知识梳理】
2、直角三角形中的分类讨论：
【解题技巧】
1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．
2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）
【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题】
【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（ ）秒时，是直角三角形．
A．5B．5或C．5或D．或
【变式训练】
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，点P、Q分别是边长为的等边的边上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，下列结论：①；②的度数等于；③当为直角三角形时，秒．其中正确的结论有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．

（1）经过___________秒，为等边三角形；
（2）经过___________秒，为直角三角形．
3．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是_____．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期中）如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒．
（知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）．
(1)当时，求证：是直角三角形．
(2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值．
(3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？
5．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，．
(1)当_____时，是直角三角形；
(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．
【重难点训练】
题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训
1．（2023·全国·九年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形底角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
2．（2022秋·浙江·八年级期末）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（ ）．
A．20°或70°B．20°、70°或100°C．40°或100°D．40°、70°或100°
3．（2021秋·河北邢台·八年级统考期末）若以的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是______．
5．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）（1）等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为 ___．
（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为 ___．
6．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则_____度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为____________．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·统考一模）在中，，，，在直线BC上取一点P使得是等腰三角形，则可以考虑点P在线段延长线上和______上的情况；当点P在线段延长线上时，等腰三角形PAB的腰长为______．
8．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，是等腰三角形，平分；点是射线上一点，如果点满足是等腰三角形，那么的度数是____．

9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．由此，请你探究如下几个问题．
（1）如图1，在中，，，，直线交于D，求证：与都为等腰三角形；
（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；
（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．
10．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践
在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务．
任务：
(1)上述过程中，横线上的结论为______，括号中的依据为______．
(2)受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．
(3)如图3，在等腰三角形纸片中，，．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答下列问题：
（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，小乔发现：当∠A≠36°时，一些等腰三角形也具有这样的特性，即经过等腰三角形某一顶点的一条直线可以把该等腰三角形分成两个小等腰三角形．则∠A的度数为______（写出两个答案即可）；并画出相应的具有这种特性的等腰三角形及分割线的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．
（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．
12．（2022春·七年级单元测试）综合与探究：
在综合实践课上，张老师首先出示了例题．
例题：在等腰三角形中．，求的度数．（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏同学编了如下一题：
变式：在等腰三角形中，，求的度数
（1）请你解答以上变式题；
（2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同，在等腰三角形中，设，当 有三个不同的度数时，请你探索的取值范围
然后张老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动
如图，在 中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示位置放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点 ，并且与 的夹角 ，斜边交于点
拓展：
（3）小华发现在点的滑动过程中，的形状也在改变，请你探索可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小
13．（2022秋·北京西城·八年级北京市西城外国语学校校考期中）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；
例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，．
(1)请在以下证明过程中填入适当理由
证明：DE垂直平分AB
（ ）
（ ）
在中，
，
（ ）
、是等腰三角形．
(2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）
(3)将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段）
14．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”如图，与互为“底余等腰三角形”．
(1)若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；
(2)当时，若的“余高”，则______；
(3)当时，判断与之间的数量关系，并说明理由．
15．（2022秋·全国·八年级期末）如图①，中，，、的平分线交于O点，过O点作交于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中与、间的关系还存在吗？
(3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作交于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由．
题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训
1．（2020秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2sB．4sC．2s或4sD．2s或4.5s
2．（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）等边的边长为，点、分别是边、上的动点，点、分别从顶点、同时出发，且速度都是，则经过______秒后，是直角三角形．
3．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，点P是BC边上的动点，设，当为直角三角形时，x的值是______．
4．（2023春·八年级课时练习）如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为______．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为/s，点N的速度为2/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 _____秒后，可得到直角三角形．
6．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，等边三角形的边长是2，点在等边三角形的边上（除点外），以为一边作等边三角形，顶点、、逆时针排序．若三角形是直角三角形时，则的长度是____________．
7．（2022秋·北京顺义·九年级校考期中）如图，在中，，，，点为中点，若动点以1cm/s的速度出发，沿着由的方向运动，设点E运动的时间为秒，连接，当为直角三角形时的值为______．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，等边三角形的边长为，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿方向匀速运动，点P的速度是，点Q的速度是，当Q到达C点时，P、Q两点停止运动，设P、Q两点运动的时间为t秒，若为直角三角形，则t的值是___________．
9．（2022秋·浙江金华·八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图，已知，P点是射线上的一个动点，，
（1）当______时，是直角三角形；
（2）设，则满足______时，是钝角三角形．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．
11．（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P从A点出发，以的速度向B运动，同时点Q从B点出发以速度向C运动，当Q点到达点时，两点停止运动．设点P的运动时间为t（），则

(1) ___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，是等边三角形？
(3)当t为何值时，是直角三角形？
12．（2023春·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图1，P，Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点M．
(1)求的度数．
(2)当t为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数．
13．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，在中，，，点P是 上的一动点，，，连接 ．
(1)求证：．
(2)能否是直角三角形?若能，请直接写出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
(3)当点P在上什么位置时，是等腰三角形?请直接写出此时点P的位置．
14．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在等边中，厘米，厘米．如果点以3厘米/秒的速度运动．
(1)如果点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动．它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等．经过2秒后，和是否全等？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
(3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点与点第一次相遇，请直接写出点的运动速度是多少厘米/秒？
15．（2023春·广东河源·八年级统考期中）如图①，和中，，，且，，的延长线交交于点．
(1)求证：；
(2)当是等边三角形时，求的度数；
(3)如图②，当是直角三角形时，请直接写出的度数为________；如图③，当是任意等腰三角形时，请直接写出与某个内角之间的数量关系为________．
作法：如图1．
①分别作，的垂直平分线，交于点；
②连接，，
结论：沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形
理由：∵点在线段的垂直平分线上，
∴______．（依据）
同理，得
∴
∴，，都是等腰三角形．