苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题05全等三角形章末重难点题型专训(原卷版+解析)

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题型一 全等图形的识别
题型二 全等三角形的概念
题型三 全等三角形的性质
题型四 全等三角形的判定
题型五 全等三角形的判定与性质综合
题型六 全等三角形中的动点问题
题型七 全等三角形中的旋转（翻折）问题
题型八 全等三角形中倍长中线模型问题
题型九 全等三角形中的多结论问题
题型十 全等三角形的综合问题
【经典例题一 全等图形的识别】
【例1】（2022秋·八年级课时练习）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．
【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形，
∴周长为2×（3+4）＝14
14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，
∴能围出不全等的长方形有3个，
故选：A．
【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解．
【详解】解：图中，当有点、时，有对全等三角形；
图中，当有点、、时，有对全等三角形；
图中，当有点时，有对全等三角形；
图中，当有个点时，图中有个全等三角形，
当时，全等三角形的对数是，
故选：D．
【点睛】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．
【答案】(2)(3)(6)
【分析】根据全等形是可以完全重合的图形并观察对比图形，进行判定即可．
【详解】(6)以左下角顶点为定点逆时针旋转90°后，与(1)两个实线图形刚好重合，
(3)可上下反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(2)以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后成图(3)，然后反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(4)为平行四边形，而(1)为梯形，所以不能和(1)中图形完全重合，
(5)为直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中图形完全重合，
故答案是：(2)(3)(6)
【点睛】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，认真对观察对比是正确解答本题的关键．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．
【答案】见解析
【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．
【详解】解：如图所示：红色分割线即为所求．
【点睛】此题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键，
考点：作图—应用与设计作图．
【经典例题二 全等三角形的概念】
【例2】（2023·全国·八年级假期作业）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边B．与是对应边
C．与是对应边D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
【详解】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25B．38C．70D．135
【答案】B
【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个全等三角形；
第二个图形有个全等三角形；
第三个图形有个全等三角形；
第四个图形有个全等三角形；
第个图形有个全等三角形；
当时，（个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的．
2．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，则∠α＝____.
【答案】70°
【详解】∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，
∴∠BAE=∠BAC=145°，∠DAC=∠BAC=145°，∠E=∠ACD=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC+∠BAE+∠DAC-360°=145°+145°+145°-360°=75°，
∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=145°-75°=70°，
∵∠E+∠α+∠EMD=180°，∠EAC+∠AMC+∠ACD=180°，∠EMD=∠AMC，
∴∠α=∠EAC=70°，
故答案为70°.
【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的内角和是180度等，掌握翻折前后的两个三角形是全等的，对应角是相等的是解题的关键．
3．（2022春·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整：
说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为 ，所以可以使 ，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于 ，因此， ；
由于 ，因此， ；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样 ．
【答案】见解析．
【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可．
【详解】说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使AB与重合，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此， 射线AC与射线叠合 ；
由于 ，因此，射线BC与射线叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样重合，即
全等．
【点睛】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键．
【经典例题三 全等三角形的性质】
【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的性质，得到，利用，即可解答．
【详解】解：，，
，
，，
，，
，
，
化简得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在锐角中，D，E分别是边上的点，，且，交于点F．若，则的大小是（ ）
A．90°B．95°C．100°D．110°
【答案】C
【分析】延长交于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明，再求出即可解决问题．
【详解】解：延长交于H．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键．
2．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，，的延长线交于F，，，，则______°．
【答案】20
【分析】由三角形内角和定理可求，由全等三角形的性质可得，由三角形外角求出性质，在和中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点M，
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)当，时，求线段AE的长；
(2)已知，，求与的度数．
【答案】(1)3
(2)，
【分析】(1)根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案；
(2)根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得．
【详解】（1）解：，，，
，，
；
（2）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【经典例题四 全等三角形的判定】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形与中，．下列条件中：①；②；③；④．添加上述条件中的其中一个，可使四边形≌四边形，上述条件中符合要求的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④
【答案】B
【分析】连接，通过证明，，故①符合要求，同理可得③④符合要求，即可得到结论．
【详解】解：连接，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形与中，
，
，，，
∴四边形≌四边形．
故①符合要求；
同理根据③④的条件证得四边形≌四边形．
综上所述，符合要求的条件是①③④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，，点D是底边BC上异于AC中点的一个点，，．运用以上条件（不添加辅助线）可以说明下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据SAS可证明，得出，，再根据，得出，根据AAS再证明，从而得出，．
【详解】解：在和 中，
，
（SAS），故A正确，不符合题意；
，
，故B正确，不符合题意，
在，
，
（AAS），
，故C错误，符合题意；
，
，，
，
，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、以及直角三角形的判定HL是解题的关键．
2．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是__________(填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加cm，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为．
【答案】①③
【分析】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：①∵如果甲添加cm，
又cm，cm，
∴（SSS），
∴乙获胜，故结论①正确；
②∵如果甲添加，
又，
∴是直角三角形，且，
∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误，
③如果第二条条件修改为，甲在第三条填入，那么乙可能获胜，故结论③正确．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．

(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明．
【答案】(1)①（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
【详解】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），
故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
，
，
在与中，
，
，
；
当选取③时，
，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
【经典例题五 全等三角形的判定与性质综合】
【例5】（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【分析】在上，截取，根据角平分线定义求出，求出，证明，得出，，求出，证明，得出，求出，根据三角形周长20求出，根据，求出结果即可．
【详解】解：在上，截取，如图所示：
∵，
∴，
∵和的平分线、相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵周长为20，
∴，
∵，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明，．
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为( )
A．2cmB．C．D．
【答案】C
【分析】由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余，可得，根据同角的余角相等，可得，然后根据判断，根据全等三角形的对应边相等即可得到，由是的中点，得到，即可求解．
【详解】解：，可得，
在和中，
∵E是的中点，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，找准全等的三角形是解决本题的关键．
2．（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，在中，分别以为边向外作和，使，，，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有____（填序号）．
【答案】②③④
【分析】由不一定是直角三角形可判断（1）；由余角的性质可判断（2）；作，交于点H，，交延长线于点G，构造三对全等三角形，利用全等三角形的判定与性质可判断（3）和（4）．
【详解】解：∵为边上的高线，
∴是直角三角形，
∵不一定是直角三角形，
∴与不一定全等，故①错误；
∵，
∴，
∴，故②正确；
作，交于点H，，交延长线于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确．
∵，
∴
，
即，故④正确；
其中正确的结论有 ②③④．
故选：②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）问题：已知中，，点D是内的一点，且，．探究与度数的比值．请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

(1)当时，依问题中的条件补全上图；观察图形，与的数量关系为 ；当推出时，可进一步推出的度数为 ；可得到与度数的比值为 ；
(2)当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)见解析，相等，，1：3
(2)与度数的比值与（1）中结论相同，见解析
【分析】（1）利用题中的已知条件，计算出，所以（等角对等边）；由等腰三角形的性质知，再根据三角形内角和是，找出图中角的等量关系，解答即可；
（2）根据旋转的性质，作，过B点作交于点K，连接，构建四边形是等腰梯形，根据已知条件证明≌（SAS），再证明是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得与的度数并求出比值．
【详解】（1）解：补全图形如下：

①当时，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴（等角对等边）；
②当时，
，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴的度数为；
③∵，，
∴，，
∴，
∴与度数的比值为．
（2）猜想：∠DBC与度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作，过B点作交于点K，连接．

∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与度数的比值为．
【点睛】本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．
【经典例题六 全等三角形中的动点问题】
【例6】（2022春·七年级单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（ ）

A．B．C．或D．无法确定
【答案】C
【分析】设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，分两种情况，当时，当时，求出结果即可．
【详解】解：∵点E是边的中点，
∴，
设它们运动时间为，妞妞的运动速度为，则，，，
当时，，，
∴，
解得：；
当时，，，
∴，
解得：；
综上分析可知，妞妞的运动速度为或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，，，，点在线段上以1cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（ ）cm/s时，在某一时刻，、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．
A．1或B．1或C．2或D．1
【答案】A
【分析】设点的运动速度是cm/s，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】设点的运动速度是cm/s，
∵，
∴、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
，，则
，
解得：，
∴，
解得：，
，，则
，，
解得：，，
故选：A
【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
2．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
【答案】1或或12
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得．
，符合题意；
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
3．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在直角三角形中，，直线l过点C．

(1)当时，
①如图1，分别过点A和B作直线l于点D，直线l于点E．求证：；
②如图2，过点A作直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接交直线l于E，连接．求证：．
(2)当，时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接、．点M从A点出发，以每秒1 cm的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M、N作直线l于点D，直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当与全等时，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)或5或6.5
【分析】（1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可；
②由对称及可知，，，结合即可证明结论；
（2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
②证明：点与点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，
由（1）可得，，
∴当时，，
当点沿路径运动时，，
解得，，不合题意，
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，，
解得，，
综上所述，当或5或6.5时，．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【经典例题七 全等三角形中的旋转（翻折）问题】
【例7】（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（ ）
A．110°B．90°C．70°D．20°
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=，
由旋转得≌，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴∠FAE=∠BAD=，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】连接BD，根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝60°，可证△ABD为等边三角形，由“SSS”可证△ABE≌△DBE，可得∠ABE＝∠DBE＝30°，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SSS）
∴∠ABE＝∠DBE＝30°
∴∠ABE＝∠DBE＝30°，且∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝15°，
∴∠BED＝135°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形全等的判定方法，能够根据题意对图形进行旋转.
2．（2023春·七年级课时练习）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为______．
【答案】
【分析】由将、分别沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面积=AD×AE=，当x取最小值时面积的最小即可求解．
【详解】解：∵、分别沿AB、AC向外翻折至、
∴，
∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE，
∵
所以∠DAE=∠DAP +∠PAE =2（∠BAP +∠PAC）=2∠BAC =90°，
面积=AD×AE=，当AP取最小值时的面积最小，
在中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小，
此时，，
，解得：AP=，
面积的最小值为：．
【点睛】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小．
3．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点且，直接写出图中线段、、之间的数量关系，不必证明．
（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以65海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）220海里
【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算．
【详解】解：（1），
理由如下：如图1，延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）结论仍然成立；
理由如下：延长到点．使．连接，如图2，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，
，，
，
又，，
符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里）．
两舰艇之间的距离为220海里．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．
【经典例题八 全等三角形中倍长中线模型问题】
【例8】（2023春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．
【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD△CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要求AD的范围，看到AD为中线，为此利用中线加倍的方法，构造全等三角形，AD的2倍线段在△AEC中，利用任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求2AD的范围即可．
【详解】延长中线AD到E，使DE=AD，连结CE，
∵AD为BC中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB=5，
∵AE=2AD，
在△AEC中，CE-AC