苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题04全等三角形经典压轴题型专训(原卷版+解析)

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1．（2022秋·八年级单元测试）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】易证，可得，可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得，即③正确，根据③可求得④正确．
【详解】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
，①正确；
，
，
，
，
，
，②正确，
，
，
，
，
，
，③正确；
过作，交的延长线于点，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
3．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】易证，从而推得①正确；
利用及三角形内角和与对顶角，可证，但现有条件不能证明平分，故②错误；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得，则③正确；
证明，则，可得出结论④正确；
利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交的对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，
现有条件不能证明平分，故②错误；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
即，故③正确；
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴，
故④正确．
∵，，，
∴，，，
∴．
故⑤正确．
综上可知，正确的有①③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2022秋·全国·八年级期中）如图，中，，，三条角平分线、、交于O，于H．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由得，即可求得，可判断①正确；
由，而，可推导出，可判断②正确；
由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误；
在上截取，连接，由得，即要证明，再证明，得，则，所以，即可证明，得，所以，可判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故①正确；
∵于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③错误；
如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键
5．（2023春·陕西西安·七年级西安益新中学校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由，，可得，从而得出，判断①正确与否；通过证明，得出，判断②正确与否；先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断③正确与否；先证明，再证明，得出，判断④正确与否．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
由①②知，，
∴，
∴，
由②知，，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断．
【详解】解：，点是线段的中点，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，所以正确；
，
，
，所以正确；
．
而，
，
，
而，
，
，
，所以错误；
≌，
，
，
，
，
，所以正确．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1或3B．1或
C．1或或D．1或或5
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，①当点P在AC上，点Q在CE上时，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝6−3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝3t−6，
∴t＝，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t−5＝18−3t，
∴t＝
综上所述：t的值为1或或或
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
8．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；
②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE(已证)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60∘，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD−AP=BE−BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
则DP≠DE，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为________．
【答案】或6或8
【分析】先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论．
【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：
点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：
当，点在上，点在上，如图所示：
此时
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
（不符合题意，舍去）；
当，点在上，点在上，如图所示：
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
和重合，和重合
（符合题意）
当，点在上，点在上，如图所示：
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
（符合题意）；
当，点在上，点与点重合，如图所示：
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等
（符合题意）；
要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或
故答案为：或6或8 .
【点睛】本题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、方程思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
10．（2022秋·广东河源·八年级校考期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有________．
【答案】①②③
【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明．
【详解】∵在与中，
，
∴
故①正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故②正确；
如图，连接，过点D作，过点D作，
∵，
∴，
∵，，
∴
∵，，
∴是的角平分线
∵
∴
∴
故③正确；
如图，过点作交于点，连接，
若
∵
则
∵
则
若，
则
∵
∴
∵
∴
则
∴
∴
故④错误．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作．
11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有___________．
【答案】3
【分析】过点作，垂足为点．证明、，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为点．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴
故①错误，
在△PAK和△PCD中，
，
∴△PAK≌△PCD（ASA），
∴AK＝CD，PA＝PC，
故②正确，
∵
∴，
∵，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴．故④正确．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
12．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如上图，当__________时，的面积等于面积的一半；
（2）如图，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是__________．
【答案】 或 或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可；
（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：∵的面积等于面积的一半，
∴P点运动到BC的中点，
此时，
当P点运动到AC边上时，
此时，
∴此时P点在AC边的中点，
此时，
综上所述，当或时，的面积等于面积的一半；
（2）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
13．（2022秋·八年级课时练习）在中，，点是外一点，连接，且交于点，在上取一点，使得，若，，则的度数为 ___________．
【答案】/40度
【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：；
在和中，
，
∴（），
∴，
∵是和的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2023春·七年级课时练习）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为________．
【答案】
【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，得到．再由条件，由，由全等的性质可得，问题可得解．
【详解】证明：如图，
过C作的延长线于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵cm，cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
故答案为：3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为： 是解决问题的关键．
15．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过_____时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．
【答案】0，3，9，12
【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．
【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12﹣6＝6米，
∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝6米，
∴BE＝6米，
∴AE＝12+6＝18米，
∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
∵AB＝12米，
∴BE＝12米，
∴AE＝12+12＝24米，
∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），
故答案为：0，3，9，12．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．
16．（2022秋·福建泉州·八年级统考期中）如图，，，，于点H，HA的延长线交DE于点G，现给出下列结论：
①；
②连接DC，BE，则；
③；
④．
其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】在BC上截取BF＝AG，易证△ABF≌△DAG，可得DG＝AF和∠DGA＝∠BFA，即可求证△ACF≌△EAG，可得GE＝AF，再作倍长中线，证明△ABC≌△DAN可得结论；连接DC，BE，证△ABE≌△ADC（SAS）即可．
【详解】证明：在BC上截取BF＝AG，
∵∠BAD＝∠CAE＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴∠BAH＋∠ABC＝∠BAH＋∠DAG＝∠CAH＋∠BCA＝∠CAH＋∠EAG＝90°，
∴∠CBA＝∠DAG，∠BCA＝∠EAG，
在△ABF和△DAG中，，
∴△ABF≌△DAG（SAS），
∴DG＝AF，∠DGA＝∠BFA，，
∵ 在中，，
∴，故①错误；
∵∠DGA＝∠BFA，
∴∠EGA＝∠CFA，
在△ACF和△EAG中，
，
∴△ACF≌△EAG（AAS），
∴GE＝AF＝GD，．
∴，
故③正确；
延长AG使AG＝GN，如图所示：
∵GD＝GE，AG＝GN，
∴四边形ADNE是平行四边形，
∴DN＝AE＝AC，∠NDA＋∠DAE＝180°，△ADN的面积＝平行四边形ADNE的面积＝△ADE的面积，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAE＝180°，
∴∠NDA＝∠BAC，
在△ABC和△DAN中，
，
∴△ABC≌△DAN（SAS），
∴BC＝AN＝2AG，
∴．
∴，
故④正确；
连接DC，BE，
∵，
∴，
即，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS）
∴，
故②正确，
故答案为：②③④
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中正确作出辅助线，求证△ABF≌△DAG和△ACF≌△EAG，△ABC≌△DAN以及△ABE≌△ADC（SAS）是解题的关键．
17．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如图，三角形ABC中，BD平分，若，则_______．
【答案】8
【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解；
【详解】解：如图，延长AD交BC与点E，
∵BD平分
∴
∵BD=BD
∴
∴AB=BE
∴
∵
∴
∴
∵AD=DE，
∴
∴
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（2022秋·全国·八年级期中）如图，正三角形△ABC和△CDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．成立的结论有 _____．（填序号）
【答案】①②③⑤
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BQ；故③正确；
②根据③△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE＝∠DEO，于是∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，可知⑤正确．
【详解】解：①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
∴DP≠DE；
故④错误；
⑤∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵等边△DCE，
∠EDC＝60°＝∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEO，
∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°．
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题综合考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力．
19．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则 ；
（2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．

【答案】（1）或．（2）231
【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）作于M，于N，证明，，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；

如图：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
故答案为：或．

（2）作于M，于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
同理，，
∴，
∵，
∴，
，
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
20．（2023春·广东深圳·七年级南山实验教育麒麟中学校考期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：；
（2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：；
（3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可；
（2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可；
（3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：对图标注如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：对图中的角进行标注，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵与的面积之和是6，的面积是15，
∴，，
∵与等高，，
∴底边之比3：5，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
21．（2023春·山东济南·七年级统考期中）如图，已知中，，点D为的中点．
(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度
(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：
①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？
②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？
【答案】(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒
(2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇
【分析】（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明；
②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度；
（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得结果；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，据此列出方程，解这个方程即可求得结果.
【详解】（1）①全等，
因为（秒，
所以（厘米），
（厘米），为中点，
（厘米），
（厘米），
，
，
在与中，
，
；
②因为，
所以，
因为，
要使与全等，只能，
即，
故，
所以点、的运动时间：（秒，
此时（厘米秒）；
（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，依题意得，
解得（秒，
此时运动了（厘米），
又因为的周长为56厘米，，
所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇；
②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，
，
解得：，
，
，
，
，
点在边上．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
22．（2023春·上海·七年级专题练习）已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．
当绕B点旋转到时，如图（1），易证：．
当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析
【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可；
证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可．
【详解】解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下：
证明图（2）．理由如下：
延长至点K，使，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图（3），延长至G，使，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的关系是．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图1，在四边形中，，，，，分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)如图2，若，分别在，的延长线上，其他条件不变，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长到G，使，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于360°，求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证；
（2）在上截取，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于360°，求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证．
【详解】（1）解：如图，延长到G，使，连接，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
由图可知，，
∴；
（2）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由图可知，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，难点在于作辅助线构造出全等三角形，求一条边等于另两条边的和，通常利用“截长补短”法求解．
24．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设与的交点为M，在和中，根据对顶角相等和题干中的条件，证得．
（2）在上截取，连接，根据边角边证明，再通过全等的性质证明，最后证明，即可解答．
【详解】（1）
证明：如图，设与的交点为M，
在和中，
∵（已知），（对顶角相等）
∴．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
在与中，
，
，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）学习了三角形全等的判定方法后可知，有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，那么什么时候全等什么时候不全等呢？
小聪将命题用符号语言表示为：在和中，，，．并思考要想解决问题，应把分为“直角、锐角、钝角”三种情况进行探究：
(1)第一种情况：当是直角时，在和中，，，，根据“”定理，可以知道．
(2)第二种情况：当是锐角时，如图，， ，在射线上有点D，使，在答题卡的图中画出符合条件的点D，根据作图可以判断和的关系（ ）
A、不全等 B、不一定全等 C、全等
(3)第三种情况：当是钝角时，在和中，，，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)B
(3)见解析
【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法解决问题即可；
（2）画出图形说明不一定全等；
（3）如图②，过点C作交的延长线于点G，过点F作交的延长线于点H，利用三次全等证明即可．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴；
（2）解：如图①，
，，和不全等．
故选：B；
（3）证明：如图②，过点C作交的延长线于点G，过点F作交的延长线于点H，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形全等的判定方法，属于中考常考题型．
26．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）已知在四边形中，，．
(1)如图1，连接，若，则与有什么位置关系，请说明理由．
(2)如图2，若P，Q两点分别在线段上，且满足，请猜想与是否相等，并说明理由．
(3)如图3，若点Q在的延长线上，点P在的延长线上，且仍然满足，请写出与的数量关系，并加以说明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)与相等，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）证，得出即可；结合求解即可；
（2）如图2，延长至点K，使，连接，证，再证即可；
（3）如图，3延长至点K，使，连接，证，再证，最后利用周角推导即可．
【详解】（1）与的位置关系为：，
理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）与相等，
理由如下：
延长至点K，使，连接，
如图2所示：
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）与的数量关系为：
，
理由如下：
延长至点K，使，连接，如图3所示：
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线进行推理证明．
27．（2023春·七年级单元测试）直角三角形中，，直线过点．
(1)当时，如图，分别过点，作于点，于点．
求证：．
(2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒．
①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示）
②直接写出当与全等时的值．
【答案】(1)见解析
(2)①， ②或5或．
【分析】（1）利于同角的余角相等，得到，利用证明三角形全等即可；
（2）①利用，求出，利用对称性，得到，利用，求出即可；②分点分别在，四种情况讨论，利用全等三角形对应边相等进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：①由题意，得：，
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴，
故答案为：，；
②当与全等时，和是对应边，
∴，
当点在时，
，即：， 解得，不符合题意；
当点在时，此时：，
则：，解得：；
当点在时，此时：，
则：，解得：；
当点在时，此时：，
则：，解得：；
综上：当与全等时，或5或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．注意，分类讨论．
28．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证．
(1)独立思考：请解答王老师提出的问题．
(2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
(3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答．
“如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．”
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）过E作交延长线于M．通过证明和，即可求证；
（3）过G作交延长线于点N，通过证明和，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，∵，
∴．即．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
证明：如图，过E作交延长线于M．
∵．
∴．
∵．
∴，
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：如下图，过G作交延长线于点N．
∵，
∴，
∴，
又∵．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，作辅助线构造出全等三角形．
29．（2022秋·安徽淮南·八年级统考期中）如图，是经过顶点的一条直线，，，分别是直线上两点，且．
[数学思考]
(1)若直线经过的内部，且，在射线上．
请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则 ， ；（填“”、“”或“”）
②如图2，若，当与之间满足 时，能够使得①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论．
(2)[问题拓展]如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要证明）．
【答案】(1)①，；②，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）①首先证明，再根据全等三角形的性质，得到，，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，即可得出答案；
②证明和（1）类似，首先证明，再根据全等三角形的性质，得到，，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，即可得出答案；
（2）根据三角形的内角和定理和平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，．
②在图2中，当时，能够使得①中的两个结论仍然成立，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在证明．
30．（2022秋·广东广州·八年级统考期中）中，，过点作．连接为平面内一动点．
(1)如图1，若，则 ．
(2)如图2，点在上，且于，过点作于，为中点，连接并延长，交于点．求证：；
(3)如图3，连接，过点作于点，且满足，连接，过点作于点，若，求线段的长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解；
（2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用相似三角形的性质可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∴当点，点，点共线时，最大值为，最小值为，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．