苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题09轴对称图形的经典压轴题型专训(原卷版+解析)

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1．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）在中，，，是等边三角形．点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案．
【详解】取的中点，连接、、，

，，
，，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
，
，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
设，则，
，
∴
在和中，
，
，
设，则，，
，
，
，
解得，，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握是解题的关键．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点若使点，，构成等腰三角形的点恰好有个，求的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答得对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】分别画出特殊位置的图形，然后根据图形判断即可．
【详解】解：①如图：当时，存在满足条件的三个点；

②当时，存在满足条件的点只有个；

③当时，存在满足条件的点只有个；

④当时，存在满足条件的三个点；

⑤时，不存在满足条件的点；
所以甲、丙答案合在一起才完整．
故选B.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定等知识，寻找特殊位置并画出图形是解答本题的关键．
3．（2023秋·八年级单元测试）如图，，，，是延长线上一点，，垂足为，下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】证明，得出，故①正确；由，得出，，得出，进而得出为等腰直角三角形，故②正确；由得出故③正确；由不能确定，故④不正确，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，
，
故③正确；
，
不能确定，故④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
4．（2023春·山东济南·八年级校联考期中）如图所示，已知和都是等边三角形，且，，三点共线，下列结论：①平分；②是等边三角形；③；④．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】过作于，于，由题中条件可得，得出对应边、对应角相等，进而得出，，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】解：与为等边三角形，
，，，
，
即，，，
，
，，，
又，
，
，，
过作于，于，

，，
，
，
平分，
正确；
是等边三角形，
正确；
，
∴，
正确；
，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
正确；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）已知，四边形中，，，平分，下列说法：①；②；③；④．其中错误的说法有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据平行线性质求出，得出，即可推出，故说法①正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故说法②正确；过点作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故说法③错误；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故说法④正确．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故说法①正确；
∵，平分，
∴，
∴，故说法②正确；
如下图，过点作，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，故说法③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故说法④正确．
综上所述，说法错误的是③，共计1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质等知识，解题关键是正确推导．
6．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．5个B．2个C．4个D．3个
【答案】C
【分析】只要证明、，即可判断①②正确，根据角平分线的定义利用即可判断③；过G作于点M，根据角平分线定理，结合，可得，又可得，即可判断④错误，证明可判断⑤正确．
【详解】①，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
∴是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
．故①正确；
②平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
即：，故②正确；
③，平分，
，
，
，
，故③正确；
④如图所示，过G作于点M，
为等腰直角斜边BC的中点，
，即，
又平分，，
，
又，
，
又
，
，，
，故④错误；
⑤，，，
，
又，
，
为等腰三角形，故⑤正确．
正确的为①②③⑤，共计4个，
故选：C．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第四个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．
7．（2022秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值( )
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】作于，作于，证明，推出，再证明，推出，得到当时有最小值，即有最小值，由，，求出．
【详解】解：作于，作于，
， ，
平分，即平分，
，，
，
，，
，
，
，
)，
，
平分，
，
连接，
，
，
，
当时有最小值，即有最小值，
此时，，，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，直角三角形30度角的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．（2023·安徽合肥·校联考三模）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
9．（2023·黑龙江绥化·校考二模）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，过B点作于N点，根据等腰三角形的性质可知垂直平分，接着根据垂线段最短可知：当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，最小值为的长，再利用面积公式可得，即有，问题随之得解．
【详解】连接，过B点作于N点，如图，
∵中，，，为的中线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知：当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，
∴的最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，掌握垂线段最短，合理构筑辅助线，是解答本题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（ ）（用含的式子表示）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，设，取的中点，连接，，证明，则在直线上运动，且，当，，三点共线时，，此时最短，从而可得结论．
【详解】解：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，
∵，，
∴，，，
∵等腰直角三角形，，
∴，
设，
取的中点，连接，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在直线上运动，且，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，，
当，，三点共线时，
，此时最短，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，证明在直线上运动是解本题的关键．
11．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点O．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到，计算即可．
【详解】解：如图，连接BO并延长至点P，与线段AB交于F，
∵，是、的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
12．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．10
【答案】C
【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到．
【详解】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为，
延长两线交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的最小值为5，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键．
13．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为______．

【答案】
【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
【详解】解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．

故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，在中，，是它的角平分线，且交的延长线于点E，过E作于点F，，，则线段DF的长为______．

【答案】6
【分析】过点D作，垂足为H，则，利用角平分线的性质可得，再证明，设，继而求解即可．
【详解】过点D作，垂足为H，则，

∵，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了直角三角形中两锐角互余，角平分线的定义和性质，对顶角相等，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质线段的和差等知识，熟练掌握知识点，并运用方程的思想，添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD中，且，过点A作交BC于点E，若，则___________

【答案】8
【分析】如图所示，在延长线上取一点F使得，过点A作交延长线于G，连接，证明是等边三角形，得到，再根据平行线的性质求出，；证明得到，进而求出，则，即可得到，则．
【详解】解：如图所示，在延长线上取一点F使得，过点A作交延长线于G，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2022春·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，，是的平分线，过点作，交的延长线于点若，则的长为____________.

【答案】
【分析】延长、交于点，首先利用三角形内角和计算出，进而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后证明，可得，进而得到．
【详解】解：延长、交于点，如图，

∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵中，，，
∴，
∴÷，，
∴，
∵在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，关键是证得．
17．（2023秋·八年级课时练习）通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是______．

【答案】9.5
【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值．
【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，
，
则，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又，当D，M，N，E共线时，，
∴的最大值为9.5．
故答案为：9.5．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知四边形，，，，且，，则__．
【答案】10
【分析】在上截取，连接，则，垂直平分，结合题意推出，过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，，进而得出，根据题意及三角形外角性质推出，利用判定，根据全等三角形的性质得到，结合题意即可得解．
【详解】解：在上截取，连接，则，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
19．（2023·四川成都·统考一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，_____．
【答案】
【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．
【详解】解：在下方作，使，连接．
则，．
∴，
即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校考阶段练习）如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②与互补；③；④．其中结论正确的是______(填序号)．
【答案】①②③④
【分析】根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出，设交于点，根据三角形的外角的性质得出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，故①正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，
故②正确；
，
，
平分，
，故③正确．
如图所示，设交于点，
，
，故④正确
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，三角形的外角的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
21．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D为延长线上一点．当点D在延长线上运动时，的最小值为________．
【答案】
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，根据含30度角的直角三角形性质及线段的和差得出，过点A作于点G，根据斜边大于垂边可知，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得出答案．
【详解】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
∴在中，，
过点A作于点G
在中，，
的最小值为．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差，根据已知条件作出合适的辅助线是解题的关键．
22．（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）如图，，点M、N分别为角的两边、上的点，平分，点P为射线上一点，且，，若射线上有一点Q，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】过点N作于点Q，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据垂线段最短得出当最小，且时，最小，然后分四种情况进行讨论，求出的最小值，即可得出答案．
【详解】解：∵平分，，
∴，
过点N作于点Q，如图所示，
∵，
∴，
∵垂线段最短，
∴当最小，且时，最小，
过点P作于点E，作于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴与为直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，，和为直角三角形，
∴，
∴；
当点在点E的下面，点N在点的左侧时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴此时；
当点在点E的上面，点N在点的左侧时，如图所示：
∵，，
∴此时，
∴在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即；
当点在点E的下面，点N在点的右侧时，如图所示：
∵，，
∴此时，
∴在中，
∵，
∴，
∵为的外角，，
∴，
∴，
∴此种情况不符合题意；
当点M与点E重合，点N与点F重合时，如图所示：
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此种情况不符合题意；
∴的最小值为4，
∴，
即的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是作出辅助线，分类讨论，找出的最小值．
23．（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为_________．
【答案】12
【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：
在中，，
，
，
当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
是等边三角形，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，为上一点，连接，为上一点，连接，作交于点，若，，，则的长为______．
【答案】10
【分析】利用等角对等边先求出，再构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出，相加即可．
【详解】解：如图所示，分别过B点作，垂足分别为M和G，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵,
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是构造全等三角形和等角的转化．
25．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．

(1)试判断和的数量关系，并说明理由．
(2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)（1）中和的数量关系仍然成立，理由见解析
(3)的值为
【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）利用（2）中的结论解答即可．
【详解】（1）解：，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
理由：如图，延长，交于点，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
（3）解：当时，如图，
，
由（2）可知，，
，
，
，
的值为．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
26．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图1，是等边三角形，，是的角平分线，与相交于点．点在线段上，点在边上，且．连接，．

(1)聪聪研究发现．
理由如下：因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以点是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，可得．
填空：上述证明过程中，①、②两处的理由分别为________和________．（填选项前的字母）
a．“三线合一” b．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
c．等腰三角形两个底角相等
(2)判断和的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若点是射线上任意一点，点在射线上，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)，
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，以及中垂线的性质，中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行作答即可；
（2）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：因为是的角平分线，且，根据等腰三角形的性质三线合一，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以点是三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得．
故答案为：，
（2），理由见解析；
是等边三角形，
，，
，是的平分线，
，，即．
又，
，即．
由（1）得，
在与中，
，
，
即．
（3）当点在线段上时，

∵，
∴，
∴，
∴当为等腰三角形时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时：如图，当为等腰三角形时，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上：的度数为或.
【点睛】本题考查等边三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关性质，并灵活运用是解题的关键．
27．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）在中，，点E、点D分别是、上一点，连接、，且．

(1)如图1，当，时，求的度数；
(2)如图2，取的中点F，连接，若．求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据等边对等角即三角形内角和定理可得， ，根据，可得，问题随之得解；
（2）过C点作，交的延长于点G，根据平行可推出，先证明，即有，再证明，问题得解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过C点作，交的延长于点G，

∵，
∴，，
∵，
∴，，
即，
∵的中点为F，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
28．（2023·浙江·八年级假期作业）直线l经过点A，在直线l上方，．

(1)如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．若，，则______；
(2)如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段、、的数量关系是否仍然成立？若成立，写出证明过程；
(3)如图3，，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是延长线上的一个动点，连接，作，使得，连接，，直线l与交于点G．求证：G是的中点．
【答案】(1)5
(2)，证明过程详见解析
(3)证明过程详见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质证出，可证明，即可得出线段之间的关系，从而得出答案；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
（3）分别过点C、E作，，由（1）可知，，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和
，
∴（AAS）
∴，,
∴；
（2）猜想：，
证明如下：∵，
∴，
，
∴，
在与中，
，
∴（AAS），
∴，，
∴；
（3）证明：分别过点C、E作，，如图所示

由（1）可知，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∴G是的中点．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
29．（2023春·四川成都·七年级统考期末）已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且

(1)如图1，若平分，延长、交于点F，求证：；
(2)如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上；
(3)如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，进而求出，则可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明；
（2）如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，证明是等腰直角三角形，推出，证明，，进而证明，得到，则；证明，得到，进而推出，证明，得到，则；证明都是等腰直角三角形，得到，即可证明，则点M在线段的垂直平分线上；
（3）如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，证明，得到，由三角形内角和定理得到，再证明，得到，同理可得，则 ．
【详解】（1）证明：∵都是等腰直角三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，M是的中点，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点M在线段的垂直平分线上；

（3）解：如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴同理可得，
∴．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
30．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知．

(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出的中线；
②延长至E，使，连接；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2)如图2，若是中线．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若是的中线，过点B作于E，交于点F，连接．若，求的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)．证明见详解
(3)2
【分析】（1）①根据三角形的中线的定义作出图形即可．②根据要求作出图形即可；
（2）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
【详解】（1）解：①如图1所示，线段即为所求．
作法：1．分别以为圆心，大于为半径画弧，交于两点，
2．连接这两点与交于点，
3．连接，
线段即为所求．
②如图1中，线段，即为所求．

作法：1．延长线段至点，使，
2．连接，
线段，即为所求；
（2）解：与的数量关系是：，理由如下：
如图，延长至，使，连接，

是中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，

，，
，，
，
，是中线，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线的定义，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
31．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在中，，过点A作于点D，E为边上一点，且，过点E作于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若G为线段的中点，连接．
（i）试判断的形状，并说明理由；
（ii）连接，记的面积分别为，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）是等腰直角三角形，理由见解析；（ii）
【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据同角的余角相等证明，由此即可证明；
（2）（i）如图所示，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而证明，可证明，得到，再证明，即可证明是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，设，先得到，，证明，得到，则可得，；证明，得到，则；进一步证明是等腰直角三角形，得到，求出则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：（i）是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵G为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，
设，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
32．（2023春·四川成都·七年级统考期末）中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；
(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，
①求证：；
②，，求的值．
【答案】(1)3
(2)，理由见解析
(3)①证明见解析；②12
【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；
（2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论；
（3）如图所示， 在上截取，证明，得到，，进一步证明，则；
②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则．
【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．

∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，

∴．
∴；
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，

∴．
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，延长，交于点．

由（1）可得，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∵．
∴．
（3）解：①如图所示， 在上截取，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴；

②如图所示，过点C作于G，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．（2023春·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）如图，四边形中，，联结，且，分别作于点，于点，垂足分别为、．

(1)如图1，当为的平分线时，试说明：；
(2)如图2，延长、交于点，
①直接写出线段、、之间的数量关系______；
②联结，若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②64
【分析】（1）利用和得到即可得出结论；
（2）①利用三角形内角和性质得到的度数，从而得出是等腰直角三角形，由即可得到结果；
②根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵是是平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：①；
∵，
∴，，
∴
，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②由①知是等腰直角三角形，

∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
34．（2022春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，、、三点在一直线上，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点．

(1)吗？吗？请说明理由．
(2)如图2，若、、不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明．
(3)在图1中，若连接、，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）
【答案】(1)，，理由见解析；
(2)，但，理由见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）易证，可得，，可证，可得；
（2） 根据全等三角形的判定及性质可证明，利用反正法证明即可；
（3）根据等边三角形判定及性质即可得解．
【详解】（1）解∶，，理由如下：
∵、都是等边三角形
∴，，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：，但．理由如下：
①∴和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
∴．
∴，．
②假设，由①可知，
∴，
又
则与有两边和一边的对角对应相等．
∴或（不合题意，舍去）
∴，
∴，
∴，
所以、、在同一条直线上，这与题意、、不在同一直线上矛盾，
∴．
（3）解：，理由如下：

∵，
∴为等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；证明线段不相等是比较独特的，要注意掌握．
35．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图（1），已知，且．

(1)求证：；
(2)将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）的过程中，若所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：；
(3)在（2）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由可得，由即可证明；
（2）过B作交直线于M，由F是中点可证明，则，再由（1）中可得，则有，从而可得结论成立；
（3）由，结合等腰三角形的性质，则，再由，则可得，即．
【详解】（1）证明：∵
∴，
即，
在中，
，
∴；
（2）证明：如图，过B作交直线于M，

∴；
∵F是的中点
∴，
∵，
∴，
∵，
由（1）中知：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：由（1），则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
36．（2023春·全国·七年级期末）如图①，已知点D在线段上，在和中，，，，，且M为的中点．

(1)连接并延长交于N，写出线段与的数量关系： ；
(2)写出直线与的位置关系： ；
(3)将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)成立，见解析
【分析】（1）由可得，再根据平行线的性质，推出，得到，证出，因为，即可得到；
（2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，且是底边的中线，即可得到；
（3）作交的延长线于N，连接，根据平行线的性质求出，可得，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出．
【详解】（1），理由如下：如图1，

∵，，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，且是底边的中线，
∴；
（3）仍成立，理由如下：
如图2，作交的延长线于N，连接，

∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵，
，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且是底边的中线，
∴．
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用．
37．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）综合与实践

(1)问题发现：如图1，和均为等腰三角形，，，，点、、在同一条直线上，连接．
①求证：；将下列解答过程补充完整．
证明：，
________，
，
在和中，
，
，
；
②若，则的度数为________．
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)①；②；
(2)，理由见解析；
(3)6
【分析】（1）①根据，即可得到答案；②根据可得，求出，根据全等三角形的性质，得出，即可求出结果；
（2）由得出，再判断出，即可得出结论；
（3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积＝的面积＋的面积，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：①证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，，
，
在中，，，
，
，
，
；
（3）解：由（2）得：
，
为中边上的高，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
38．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点．
(1)如图，求证：．

(2)如图，连接，求证：平分．

(3)如图，若，，，求的值．

【答案】(1)见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的性质得出，，由三角形的内角和定理得出，，代入即可得出结论；
（2）过点作于，于，于，证明，则点在的平分线上，即可得出结论；
（3）过点作交的延长线于点，过点作平分交于点，过点作于，于，证明，，由角平分线的性质得出，，由证得，，由证得，，求出，由，，进行计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于，于，于，

平分，平分，
，，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作平分交于点，过点作于，于，

，
，
，
平分，
，
，，
平分，平分，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识，熟练掌握角平分线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
39．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）在中，．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，过D作交于E，过A作延长线，垂足为F，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过C作于P，Q在延长线上，，连接，的面积为15，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可证明；
（2）由等角对等边可得，再证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（3）过点Q作，交延长线于点K，则，通过证明三角形全等来证明，进而得出，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
即平分；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点Q作，交延长线于点K，则，
∴，

由（2）得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
40．（2023·陕西咸阳·统考三模）【观察发现】
（1）如图1，在中，点P为内一点，连接，若，则______；
【问题拓展】
（2）如图2，直角三角尺如图放置，，，，直线l经过点A交于点E，点D在的延长线上，若，，求与的面积之和；
【实践应用】
（3）如图3，四边形是一个避暑山庄的平面示意图，米，米，，是一条彩灯带，点D到所在直线的距离相等，区域是绿化区域，点E、F分别在上，米，．为吸引游客，现要对绿化区域进行改造，设计师计划在上找点P，将以点P、C、E为顶点的三角形区域改建成绿化区，要求改建前后的绿化区面积相等（即与的面积相等），请你帮助设计师确定点P的位置，并求出此时的长．

【答案】（1）40；（2）30；（3）见解析，米
【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和定理求解；
（2）先得出，求出，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）先推出是等腰三角形，得出m，在上截取m，连接，过点H作交于点P，则与的面积相等，即与的面积相等，则点P即为满足题意的位置；然后证明是等边三角形，得出，求出，进而得出m，从而可得．
【详解】解：（1）∵，
∴；
∴；
故答案为：40；
（2）∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵点D到所在直线的距离相等，
∴平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴m，

在上截取m，连接，则与的面积相等，
过点H作交于点P，连接，则与的面积相等，即与的面积相等，则点P即为满足题意的位置；
∵m，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴m，
∴m．
根据对称性可知：当点P靠近点A时，点P在的延长线上，不符合题意，
∴米．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、两平行线间的距离的实际应用等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键．