苏科版2025年七升八数学暑假衔接讲义专题07轴对称中的最值模型问题(将军饮马)专训(原卷版+解析)

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题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
将军饮马中最短路径问题四大模型
一 两定点在直线的异侧
二 两定点在直线的同侧
三 两动点一定点问题
四 造桥选址问题
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练．
勾股定理公式：a2+b2=c2
【经典例题一 求两条线段和的最小值】
【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为( )

A．B．4C．D．5
2．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，使PB+PD最小，则这个最小值=________．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【经典例题二 求两条线段差的最大值】
【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
【变式训练】
1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．
【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】
【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6B．12C．16D．20
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．
3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：
例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．
（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．
【经典例题四 最值问题的实际应用】
【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．

(1)求出的面积；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在直线上画出点，使得的值最小．
【变式训练】
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；
(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；
(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．
(1)若，则的度数是___________度；
(2)若．的周长是，
①求的长度；
②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．
3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．
(1)作线段和射线；
(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；
(3)在平面内作一点P，使得的和最短．
【重难点训练】
1．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（ ）

A．10B．17C．14D．13
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在正方形中，，动点是正方形内一点，满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ）
A．8B．10C．D．
4．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（ ）
A．3B．C．D．
7．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·八年级课时练习）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
11．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）如图，在三角形中，，三角形的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，点．若点为边的中点，为线段上一个动点，则三角形周长的最小值是______．

12．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．

13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________．
14．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为____________．
15．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
16．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．
17．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于_____．

的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_____．
19．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．

20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；
(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？
21．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图：
(1)在图1中作线段的垂直平分线；
(2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小．
22．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，．
(1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）．
(2)连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．
23．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．
(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；
(2)若不计杂料，所用水管之和为米，且比 长米，两村庄购买水管花费元，约定按长度分摊费用，请计算两村庄各需付水管购买费多少元？
24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
问题1
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
连接AB，与直线l的交点P即为所求。
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
问题2：将军饮马
作法
图形
原理
在直线l上找一点P,使得
PA+PB的和最小。
作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。
化折为直；
两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
问题3：两个动点
作法
图形
原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB
边上找一点D,,使得
PC+PD+CD的和最小。
作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。
两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
问题4：造桥选址
作法
图形
原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。
将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。
两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。