第2部分-预习-第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共8页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1，变式2-2，变式2-3，变式2-4，变式2-5等内容，欢迎下载使用。

知识点1：因式分解法（重难点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
(1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法.
(2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。
考点1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5.
【变式1-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）方程的解是（ ）
A．B．
C．D．或
【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）一元二次方程的根是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】解关于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程
【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.
【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【变式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【变式2-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
【变式2-4】．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：．
【变式2-5】解下列关于的方程：
（1）； （2）；
考点3：选择合适的方法解一元二次方程
【例3】用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【变式3-1】.解关于的方程（合适的方法 ）：
（1）； （2）．
【变式3-2】解关于的方程（合适的方法）：
（1）； （2）．
【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
考点4：用因式分解法解决问题
【例4】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
【变式4-1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A．B．3C．5D．9
【变式4-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．6C．1或4D．9或6
【变式4-4】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 ．
考点5：新定义问题
【例5】．（23-24九年级上·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为
【变式5-1】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ．
【变式5-2】．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【变式5-3】．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若是“倍根方程”，则 ．
易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
【例6】解关于的方程：
（1）； （2）
（3）．
易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错
【例7】如果，请你求出的值．
一、单选题
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．，D．，
3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如果方程的两个根分别是的两条边的长，那么的面积为（ ）
A．B．C．或D．或
5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
6．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）若，则关于x的方程必有一根是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号）
8．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）方程的两个根是 ．
9．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）关于的一元二次方程的常数项为0，则等于 ．
10．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为 ．
11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）规定运算，即，若则 ．
12．（22-23九年级上·黑龙江·期中）实数x满足方程，则的值等于 ．
三、解答题
13．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）解方程：．
14．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）解方程：
(1)； (2)．
15．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）解下列方程．
(1)（公式法） (2)
(3)（配方法） (4)
16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）解方程
(1) (2)
17．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程
(1)； (2)．
18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程：
(1) (2)
19．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
(3)（用公式法解方程）．
(4)（）（用因式分解法）．
20．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．认识用因式分解法解方程的依据．
2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．
解方程：
解：…①
…②
…③