第2部分-预习-第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（教师版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共23页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，例2-1，变式2-2，变式2-3，变式2-4，变式2-5等内容，欢迎下载使用。

知识点1：因式分解法（重难点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）
(1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法.
(2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。
考点1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程
【例1】用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5.
解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．
解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；
(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.
【变式1-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）方程的解是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：．
故选C．
【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）一元二次方程的根是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键熟练掌握因式分解法解方程．
【详解】解：
，
或，
∴，，
故选：．
【变式1-3】解关于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1） （2）
① ②
∴；
②
∴．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程
【例2】用因式分解法解下列方程：
(1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.
解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.
(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝eq \f(16,7)，x2＝eq \f(4,3).
方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【解析】 (2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，
∴ x1＝1，x2＝-4．
【变式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【解析】 (2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0． 即，
∴ ．
【变式2-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出，，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【详解】解：，
，
解得：，，
菱形一条对角线长为6，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线为，
菱形的面积为，
故答案为：．
【变式2-4】．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：．
【答案】，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边因式分解，然后解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
【变式2-5】解下列关于的方程：
（1）； （2）；
【答案】（1）； （2）；
【解析】（1），
，
解得：；
（2）

，
解得：；
【总结】本题考查了一元二次方程的解法．
考点3：选择合适的方法解一元二次方程
【例3】用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1） （2）
， ② ， ，
解得：； 解得：；
（3）整理得： （4）∵原方程是一元二次方程，
， ，
，
解得：； ，
解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．
【变式3-1】.解关于的方程（合适的方法 ）：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法

① ②
∴； ∴．
【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！
【变式3-2】解关于的方程（合适的方法）：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）因式分解法 （2）把看作一个整体，因式分解

① ②
∴；
②
∴．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．
【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解；
（3）用公式法求解；
（4）用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
，
∴原方程的根为：；
（2）解：

或
解得：或
∴原方程的根为：；
（3）解：
，
原方程的根为：；
（4）解：

或
解得：或，
∴原方程的根为：．
考点4：用因式分解法解决问题
【例4】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．
解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状．
解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
【变式4-1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：解方程得，，，
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，
∴直角三角形的两条直角边的长分别为和，
∴此直角三角形的面积为，
故选：．
【变式4-2】．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A．B．3C．5D．9
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了勾股定理．先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，然后利用勾股定理计算直角三角形的斜边长．
【详解】解：，
，
或，
，即直角三角形的两条直角边的长分别为4，3，
直角三角形的斜边长为．
故选：C．
【变式4-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．6C．1或4D．9或6
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元二次方程，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将等腰三角形的两边计算出来，再根据等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：依题意，解方程得，
当为腰长时，等腰三角形的三边分别为，不符合三角形的三边关系，故不符合题意；
当为腰长时，等腰三角形的三边分别为，符合三角形的三边关系，则该等腰三角形的周长为．
故选A．
【变式4-4】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的面积公式，先求解一元二次方程，得到两根即为菱形对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：
解得：，即菱形对角线的长分别为5和4，
菱形的面积为：，
故答案为：10．
考点5：新定义问题
【例5】．（23-24九年级上·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为
【答案】
【分析】本题考查了新定义，根据，再根据新定义化简已知等式，求出解即可．
【详解】解：，
由，得，
解得：
故答案为：
【变式5-1】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查定义新运算、一元二次方程的解法等，根据材料写出正确的算式是关键．
已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出x的值．
【详解】已知等式利用题中新定义化简得：，即，
分解因式得：，
解得：或．
故答案为：或．
【变式5-2】．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】4或1
【分析】本题考查了新定义的运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算顺序是解答关键．
先利用因式分解法解方程得到方程的两个根分别为3，2，则或当，然后利用新定义计算的值．
【详解】解：方程的两个根分别为3，2，
当时，，则；
当时，则．
所以的值为4或1．
故答案为：4或1．
【变式5-3】．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若是“倍根方程”，则 ．
【答案】 是 4或16/16或4
【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可；
（2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：（1），
∴，
∴，，
∵4是2的2倍，
∴方程是“倍根方程”；
（2）解方程，
可得，，
∵是“倍根方程”，
∴当是8的2倍时，即有，
当8是的2倍时，即有．
故答案为：（1）是；（2）4或16．
易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。
【例6】解关于的方程：
（1）； （2）
（3）．
【答案】 （1），；
（2）当时，，；
当时， ；
当，原方程有无数解；
（3）当时，，；
当时，；
当时，．
【解析】（1），
，
∴，；
①当即时，原方程是一元二次方程


∴，；
②当且时，即时，原方程是一元一次方程；
③当，等式恒成立，原方程有无数解；
综上：当时，，；
当时， ；
当，原方程有无数解；
（3）整理得：
① 当即时，原方程是一元二次方程


∴，；
②当时，原方程为：，解得：；
③当时，原方程为：，解得：；
综上：当时，，；
当时，；
当时，；
【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．
易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错
【例7】如果，请你求出的值．
【答案与解析】
设，∴ z(z-2)＝3．
整理得：，∴ (z-3)(z+1)＝0．
∴ z1＝3，z2＝-1．
∵ ，∴ z＝-1(不合题意，舍去)
∴ z＝3．
即的值为3．
【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．
易错提示:忽视，而得或．
一、单选题
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
或，
，，
2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】C
【分析】
本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练选择解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
，
解得，
故选：C．
故选：B．
3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解法方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
解得．
故选C．
4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如果方程的两个根分别是的两条边的长，那么的面积为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程，先解一元二次方程求出直角三角形两边长，分两种情况讨论，两边都是直角边，或有一边是斜边求解即可．
【详解】解：∵
∴
解得，
∴的两个直角边的边长为1，3，
当两边都是直角边，，
当是斜边时，另一直角边，
，
综上所述：的面积为或．
故选D．
5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解方程得或，
当腰长为3时，则底边长为4，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为；
当腰长为4时，则底边长为3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为，
综上所述，的周长为10或11，
故选D．
6．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）若，则关于x的方程必有一根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根．
【详解】解：∵，代入方程中，
，
，
∴，．
故选：C．
二、填空题
7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号）
【答案】②
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案．
【详解】解：，
，，
故答案为：②．
8．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）方程的两个根是 ．
【答案】，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法时解题关键．直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
，，
即方程的两个根，，
故答案为：，．
9．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）关于的一元二次方程的常数项为0，则等于 ．
【答案】1
【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，解一元二次方程－因式分解法．关于x一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得m的值．
【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0，
∴，
解得，；
又∵，
∴，
∴．
故答案为：1．
10．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】18或15
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，先解一元二次方程得到该等腰三角形的另一边长为4，再分当腰长为4时，当腰长为7时，两种情况求出三角形三边长，然后根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴该等腰三角形的另一边长为4，
当腰长为4时，则该三角形三边长为4，4，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为；
当腰长为7时，则该三角形三边长为4，7，7，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为；
综上所述，该等腰三角形的周长为18或15，
故答案为：18或15．
11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）规定运算，即，若则 ．
【答案】0或2
【分析】本题主要考查了新运算、解一元二次方程等知识点，根据新运算法则将写成一元二次方程是解题的关键．
先根据新运算法则将写成一元二次方程，然后解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
或
所以．
故答案为：0或2．
12．（22-23九年级上·黑龙江·期中）实数x满足方程，则的值等于 ．
【答案】2
【分析】本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，并对结果进行判断，即可解题．
【详解】解：，
，
或，
解得或，
，
，又，则该式子不成立，
，
故答案为：．
三、解答题
13．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）解方程：．
【答案】，．
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法，并能灵活选用是关键．
根据因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，．
14．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可；
（2）方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
15．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）解下列方程．
(1)（公式法） (2)
(3)（配方法） (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可；
（4）先移项，然后去括号和合并同类项后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（3）解∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）解方程
(1) (2)
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可；
（2）方程左边利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
17．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，，
，；
（2）解：，
，
，
，．
19．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程
(1)（直接开平方法）．
(2)（用配方法解方程）．
(3)（用公式法解方程）．
(4)（）（用因式分解法）．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解；
（2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解；
（3）本题考查了解一元二次方程公式法，先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解；
（4）本题考查了解一元二次方程因式分解法，先移项得到，再化为，然后利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：
，
，
，
，；
（3）解：
有，，，
，
，
，；
（4）解：（），
或，
，．
20．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）移项后直接开平方即可求解；
（2）直接因式分解法即可求解；
（3）直接因式分解法即可求解；
（4）移项后，利用平方差公式进行分解因式即可求解；
【详解】（1）解： ，
移项得，
由此可得，．
（2）解：
分解因式得 ，
由此可得 ，．
（3）解：
分解因式得 ，
由此可得 ，．
（4）解：
移项得 ，
分解因式得 ，
整理得 ，
由此可得 ，．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．认识用因式分解法解方程的依据．
2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．
解方程：
解：…①
…②
…③