6.1-6.2 图上距离与实际距离、黄金分割-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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6.1-6.2图上距离与实际距离、黄金分割
【推本溯源】
1.回顾小学的比例尺公式

2. 假设四条线段a：b=c：d，我们之前学过的解法有哪些？
（1） 內项之积等于外项之积
（2） 化为分式，交叉相乘
因此，在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

3.回顾比例的基本性质
如果a：b=c：d，那么ad=bc；反过来，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么a：b=c：d。因此，在比例式中a：b=b：c，那么b叫做a和c的比例中项。
比例的合比性质：如果如果

4.如图，点B在线段AC上，且，设AC=1，求AB的长。
解：设AB=x,则BC=AC-AB=1-x.
∵
∴
∴x²+x-1=0
解得
答：AB的长为













因此，像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC的比称为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618
【解惑】
例1：若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据比例的性质内项积等于外项积即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查比例的性质，掌握内项积等于外项积是解题的关键．
例2：地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
【答案】B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．

例3：若，则的值为（    ）
A． B．1 C．1.5 D．3
【答案】A
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
例4：若，求的值．
【答案】6或
【分析】分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可．
【详解】解：当时，
根据比例的等比性可得：
；
当时，可得，
∴．
【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．
例5：已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点.
【答案】见解析
【分析】先求得，即可得到，结论得证．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴点A是的黄金分割点．
【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
【摩拳擦掌】
1．已知，下列变形错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据比例式的性质，即可得到答案．
【详解】可得，所以A选项符合题意；
可得，所以B选项不符合题意；
可得，所以C选项不符合题意；
可得，所以D选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．
2．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
3．已知线段是线段，的比例中项，，，则为（）cm.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可得，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．
【解答】解：由题意得，
∵，
∴
∴，（舍）
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
4．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
5．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则___________
【答案】/
【分析】如图，点P是线段上的黄金分割点，，则，再代入数据计算即可．
【详解】解：如图，点P是线段上的黄金分割点，且，，

，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键．
6．在比例尺为的地图上，相距7.5cm的两地、的实际距离为______m．
【答案】750
【分析】设的实际距离为cm，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质求得的值，注意单位统一．
【详解】解：设的实际距离为cm，
比例尺为，，
解得，
故答案为：750．
【点睛】本题考查了比例线段，比例尺．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意单位之间的换算．
7．在比例尺是的地图上，若某条道路长约为，则它的实际长度约为______．
【答案】/
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】解：设它的实际长度约为，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∵，
∴它的实际长度约为．
故答案为：．
【点睛】本题考查比例线段问题．解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．
8．把ad＝bc写成比例式，不正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，对选项一一分析，得出正确答案．
【详解】解：A．⇒ad=bc，故此选项正确，不符合题意；
B．⇒ad=bc，故此选项正确，不符合题意；
C．⇒ab=dc，故此选项错误，符合题意；
D．⇒ad=bc，故此选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题的关键．
9．（1）若，则___________；
（2）若，则___________；
（3）若，则___________．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）对化简得，再把代入，即可；
（2）根据，得，把的值代入，即可；
（3）对化简，得，把的值代入，即可
【详解】（1）∵，
∴；
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）∵，
∴，
∴

．
故答案为：．
【点睛】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质．
10．如图，已知是线段的黄金分割点，且若表示以为边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，试比较与的大小，并说明理由．

【答案】；理由见解析
【分析】根据黄金分割的定义可得，进而得出，最后根据长方形的面积公式，将和表示出来即可．
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，且，
∴，即，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值为．
【知不足】
1．点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可．
【详解】解：点P是长度为 10的线段上的黄金分割点，
∴较长的线段的长度为，
则较短的线段的长度为：；
故选C．
【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是本题的关键．
2．在长度为1的线段上有一点P．满足，则长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入数据即可得出的长，进而求出的长度．
【详解】解：是线段上的一点，且满足，
为线段的黄金分割点，且是较长线段，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
3．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（　　）
A．1cm B．10cm C．cm D．cm
【答案】B
【分析】根据第四比例项的概念，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．
【详解】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴a：b＝c：d
∴
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．
4．下列各组线段中，不成比例的是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．
【详解】A 、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;
B 、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;
C 、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;
D 、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.
故选 B．
【点睛】本题考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，若最长和最短两条线段之积与另两条线段之积相等，则说明四条线段成比例．
5．、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是________．
【答案】
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可．
【详解】解：250米厘米，
∴比例尺；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
6．已知：线段，点是的黄金分割点，且，则_____，________．
【答案】 / /
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，用分数表示为，据此解题．
【详解】∵点是线段的黄金分割点，且，
，
．
故答案为：；．
【点睛】本题考查黄金分割点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近，越给人美感．遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士，身高，下半身，她应选择________（取两位有效数字）高的高跟鞋看起来更美．
【答案】
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
【详解】解：设她应选择高跟鞋的高度是，
则，
解得：．
经检验知是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，要能够根据题意列方程求解．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
8．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长_____ ．
【答案】/
【详解】根据黄金分割的定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
【解答】解：∵，
点是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
9．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【详解】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10．若，求的值．
【答案】
【分析】直接利用比例的性质将已知条件变形，再解一元二次方程得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
检验：将，代入得：，，
∴，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，一元二次方程的解法，正确解方程是解本题的关键．
11．根据条件求值.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)﹣

【分析】（1）把化为，再把代入，即可；
（2）根据，得，代入，即可．
【详解】（1）∵
∴当时，
∴．
（2）∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查比例的知识，解题的关键是对分式进行化简．
【一览众山小】
1．已知，则代数式的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用多项式除以单项式计算，再将整体代入即可得到代数式的值．
【详解】解：，




，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，找到所求代数式与条件的关系，整体代入求函数值是解决问题的关键．
2．已知四条线段a、b、c、d满足，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由已知，可得，故本选项不符合题意；
B、由已知，可得，故本选项不符合题意；
C、由已知，可得，故本选项不符合题意；
D、由已知，可得，那么，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例的性质灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．
3．已知是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是(    )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，
  
∵是线段的黄金分割点，且，
∴，
A. ，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项正确，符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点)．
4．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（精确到0.01．参考数据：，，）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得，求解即可；
【详解】设雕像的下部高为xm，则上部长为，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键．
5．已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是_____．
【答案】
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】解：∵线段的长为，点是线段的黄金分割点，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，理解黄金分割点的概念是解题的关键．
6．黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为_________．
  
【答案】
【分析】根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：∵四边形是黄金矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键．
7．在20世纪70年代，著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中点E为边的黄金分割点（）．已知为2米，则线段的长为______米（结果保留根号）．
  
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义可得，求解即可．
【详解】解：∵点E为边的黄金分割点（），
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
8．若，则=___________．
【答案】
【分析】设，则，再代入求值即可.
【详解】解：设，则，
代入得：
故答案为．
【点睛】本题考查了有关比例的计算，解题关键在于，把a和b的值用设k法表示出来，代入值时k可以约掉．
9．如图1，把标准纸（长与宽之比为）一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上． 若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x轴和y轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为______．

【答案】
【分析】设直线为y=kx+b，根据直线过原点，长与宽之比为，计算求值即可.
【详解】解：设直线为y=kx+b，
∵直线经过原点，∴b=0.
由矩形的性质可知：矩形的右上顶点的坐标为该矩形的宽和长，
∵长∶宽=∶1，∴y∶x=∶1，
∴y=x，
故答案为；
【点睛】本题考查了一次函数解析式，矩形的性质，比例的性质；掌握一次函数的性质是解题关键．
10．已知（，，均不为0），则式子的值是__________．
【答案】1
【分析】设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可．
【详解】解：设，则，，，
所以．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
11．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，如图，舞台长米，点是线段的黄金分割点(即 )，则的长是______ ．
  
【答案】米
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】点是线段的黄金分割点(即 )，米，
米，
米，
故答案为：米．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．

12．黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为，则海报的长应设计为多少？
【答案】
【分析】设海报的长应设计为，由题意得，，计算求解满足要求的解即可．
【详解】解：设海报的长应设计为，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴海报的长应设计为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次根式的除法运算，黄金分割．解题的关键在于正确的运算．
13．小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（）的某一部分（）与另一部分（）之比，如果正好等于另一部分（）同整个线段（）的比（即），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（）的点称为线段的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台上，主持人从点到点走多少米，他的站台最得体？（取）

【答案】主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体．
【分析】设米，根据题意，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，列出方程即可求出结果．
【详解】解：设米，则米，
根据题意得：当，即，

解得：（舍去），，
米，
此时主持人从A点到B点走8米；
当，即，
，
解得：，（舍去），
米，
此时主持人从A点到B点走12米；
综上：主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体．
答：主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体．
【点睛】本题考查了黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段列出方程是解决问题的关键，注意有两种情况．
14．设，求的值．
【答案】0
【分析】根据分式基本性质，得，令，进而即可求解．
【详解】根据分式基本性质，得，
令，
则有，，，
三式相加，即得．
【点睛】本题考查比例的性质的综合应用，掌握比例的性质，设参数求解是解题的关键．
15．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】
操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接；
操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平；
操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．
  
根据以上操作，直接写出图3中的值：______；
(2)【问题解决】
请判断图3中四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】
我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点．
在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)或．

【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可；
（2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论；
（3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长即可．
【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）四边形是菱形，
理由：如图3，由折叠可知：，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：∵，
∴由（1）可知，，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点M是线段的黄金分割点，
∴或，
即或，
∴或，
∴或，
即的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键．