专题10相似三角形 （4大模块知识梳理+12个考点+9个重难点+3个易错点）讲义（含答案）-2025年中考数学三轮冲刺复习试题

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知识模块一：比例线段及其性质
知识点一：两条线段的比及比例线段
定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比）
【易错点】
1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；
2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；
3）线段的比，最终要化成最简整数比.
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
知识点二：比例的基本性质
1）基本性质： QUOTE
2）推论：
3）合比性质：，分比性质：
合分比性质： QUOTE QUOTE QUOTE
4）等比性质：如果
5）黄金分割
定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618.
【补充】
1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的；
2)，0.618又被称为黄金分割数；
知识模块二：平行线分线段成比例
知识点一：平行线分线段成比例
定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等.
2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等.
推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．
如图，若DE∥BC，则有

知识模块三：相似三角形的性质与判定
知识点一：相似三角形的定义
相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.
【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.
【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；
【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.
【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.
常见的基本图形：
图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；
图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;
图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.
知识点二：相似三角形的判定
相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
知识点三：相似三角形的性质
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
知识模块四：位似图形
知识点一：位似图形的性质
1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.
2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.
5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似
知识点二：位似变换的坐标特征
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.
考点一： 黄金分割
1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5-12，若NP=2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）．
2．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即AC2=AB⋅BC，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 cm．（结果保留根号）
3．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是AB的黄金分割点，即 APAB=5-12，5-12这个无理数约是（ ）
A．0.505B．0.618C．0.707D．0.828
考点二： 平行线分线段成比例
1．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，tan∠B=512，D为BC上一点，且满足BDCD=85，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则CEAC= ．
考点三： 选择合适的方法证明两个三角形相似
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
2．（2023·贵州·中考真题）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．

(1)写出图中一个度数为30°的角：_______，图中与△ACD全等的三角形是_______；
(2)求证：△AED∽△CEB；
(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
3．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'D'，若___________，则△ABD∽△A'B'D'．请从①BDCD=B'D'C'D'；②ABCD=A'B'C'D'；③∠BAD=∠B'A'D'这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
考点四： 利用相似三角形的性质求解
1．（2022·云南·中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2．则S2S1=（ ）
A．12B．14C．34D．78
2．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（ ）
A．125564B．12564C．6427D．32327
3．（2024·上海杨浦·一模）如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果S△ABC=36，那么S四边形BGDC= ．
考点五： 三角形的性质与判定综合
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
2．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm．
3．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A4,0，C0,42是矩形OABC的顶点，点M,N分别为边AB,OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C'在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k=
考点六： 利用相似三角形列函数关系式
1．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=10cm，BD=45cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为ts0