专题15 与圆有关的位置关系（3大模块知识梳理+9个考点+5个重难点+1个易错点）讲义（含答案）-2025年中考数学三轮冲刺复习试题

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知识模块一：与圆有关的位置关系
知识点一：点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
知识点二：直线与圆的位置关系
直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d
知识点三：圆与圆的位置关系
设的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
知识模块二：与切线有关的知识
知识点一：切线的性质定理与判定定理
切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线）
【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
用切线的判定定理时,两个条件缺一不可:1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径.
知识点二：切线长定理
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
知识模块三：三角形的外接圆与内切圆
知识点一：三角形的外接圆与外心
三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点.
三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.
知识点二：三角形内切圆与内心
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.
三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.
考点一： 点与圆的位置关系
1．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得AD=23，由圆周角定理可得∠AOC=60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，
∵OC为半径，AB为弦，且OC⊥AB，
∴AD=12AB=23，
∵∠ABC=30°
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23，
∵sin∠AOD=ADOA，
∴OA=ADsin60°=2332=4，即⊙O的半径为4，
∵OP=5>4，
∴点P在⊙O外，
故选：C．
2．（2022·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C在⊙A内且点B在⊙A外”可得3