专题06 相似三角形（知识串讲+13大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）图形相似的性质
（1）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（3）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
（4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
（二）平行线平分线段成比例
（1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab=cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（2）比例的基本性质
①基本性质：ab=cd⇔ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质：ab=cd⇔a±bb＝c±dd；（b、d≠0）
③等比性质：ab=cd＝…＝mn＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔a+c+…+mb+d+…+n＝k．（b、d、…、n≠0）
（3）平行线分线段成比例定理及推论
①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
即如图所示，若l3∥l4∥l5，则ABBC=DEEF．
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
即如图所示，若AB∥CD，则OAOD=OBOC．
③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（三）相似三角形的判定
（四）相似三角形的性质
（五）常见的相似模型
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
（六）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=（ ）
A．1B．±1C．1或−2D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k=2ca+b计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当a+b+c≠0时，得k=2a+2b+2cb+c+a+c+a+b=1；
②当a+b+c=0时，
则a+b=−c，k=2ca+b=−2；
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
【变式1】（2024上·北京石景山·九年级统考期末）若3x=4yy≠0，则xy的值是（ ）
A．34B．43C．74D．73
【答案】B
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵3x=4yy≠0，
∴设x=4k，y=3k（k≠0），
∴xy=4k3k=43，
故选：B．
【变式2】（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如果ab=23，那么a+bb等于（ ）．
A．3:2B．2:5C．5:3D．3:5
【答案】C
【分析】由ab=23可得a=23b，然后再代入a+bb计算即可；掌握比和除法的关系以及分式的约分是解题的关键．
【详解】解：∵ab=23，
∴a=23b，
∴a+bb=23b+bb=53bb=53，即5:3．
故选C．
【变式3】（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知正数a、b、c，且ab+c=bc+a=ca+b=k，则下列四个点中在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A．1,12B．1,2C．1,−12D．1,−1
【答案】A
【分析】本题考查比例的性质，正比例函数的性质等知识，解题的关键是求出k的，学会利用待定系数法，解决问题．
根据ab+c=bc+a=ca+b=k，可得a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，相加可得2(a+b+c)=1k(a+b+c)，由此可求出k的值，将k代入函数y=kx可确定此函数解析式，将选项中的坐标一一代入函数解析式中进行验证即可．
【详解】解：∵ab+c=bc+a=ca+b=k，a、b、c为正数，
∴a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，
上式连加得2(a+b+c)=1k(a+b+c)，
解得k=12，
将k=12代入y=kx有y=12x，
A、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12，所以点1,12在正比例函数y=kx图象上，故此选项符合题意；
B、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12≠2，所以点1,2不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符合题意；
C、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12≠−12，所以点1,−12不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符合题意；
D、把x=1代入y=12x中可得y=12×1=12≠−1，所以点1,−1不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符合题意；
故选：A．
考点2：线段的比
典例2：（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，则AP:PB的值为（ ）
A．5−12B．5+12C．0.618D．5−1
【答案】B
【分析】根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；
【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，
∴APAB=5−12，
令AB=x，
∴AP=5−12·x，
PB=x−5−12·x=3−52·x，
∴APPB=5−13−5=5+12；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．
【变式1】（2023上·四川·九年级校考阶段练习）△ABC中，F是AC的中点，D、E三等分BC、BF与AD、AE分别交于P、Q，则BP:PQ:QF=（ ）．
A．5:3:2B．3:2:1C．4:3:1D．4:3:2
【答案】A
【分析】过F作FN//BC，交AE于M，AD于N，利用F为AC中点，得到FM是△AEC中位线，由中位线性质有MF=12CE，CE=2FM，从辅助线FM//BC看出△PMQ∽△BEQ得FQBQ=FMBE， 由中位线FN//BC看△FNP∽△BDP，的BPPF=BDFN，通过计算BP=12BF，FQ=15BF，PQ=PF−QF=310BF．三者作比即可．
【详解】过F作FN//BC，交AE于M，AD于N，
∵F为AC中点，∴FM是△AEC中位线，
∴MF=12CE，CE=2FM，
∵BD=DE=CE，
∴BE=2CE=4FM，
∵FM//BC，
∴△FMQ∽△BEQ，
∴FQBQ=FMBE=14，
∵FN是△ADC的中位线，
∴FN=12CD=CE=BE
∵FN//BC，
∴△FNP∽△BDP，
∴BPPF=BDFN=1，
∴BP=PF，
∵FQBQ=14，
∴FQBF=15，
∴FQ=15BF，
∵BP=12BF，FQ=15BF，
∴PQ=PF−QF=12BF−15BF=310BF，
∴BP:PQ:QF=12BF:310BF:15BF=5:3:2．
故选择：A．
【点睛】本题考查一直线上三条线段的比值问题，掌握比例线段的性质，利用平行线辅助线构成相似三角形作媒介找到三条线段之间的关系是解决问题的关键．
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质可得出AB∥CD且AB＝CD，结合DE∶EC＝2∶3可得出DEDC＝25，由AB∥CD可得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质即可求出DF∶BF的值．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE∶EC＝2∶3，
∴DEDC＝DEDE+EC＝25＝DEBA．
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴DFBF＝DEBA＝25．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解题的关键．
【变式3】（2023上·九年级校考单元测试）把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽（宽<长<2宽）的比为（ ）
A．(1+5):2B．(1+3):2C．(1+2):2D．(1+6):2
【答案】A
【分析】根据相似多边形对应边的比等于相似比，设出黄金矩形的长和宽，就可得到关于长宽的方程，从而可以解得．
【详解】设原矩形的长为x，宽为y(y因为x>0，
所以x=1+52y，即xy=1+52.
故选A.
【点睛】此题考查黄金分割，解题关键在于根据相似比列出方程.
考点3：成比例线段
典例3：（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．a=1,b=2,c=4,d=6B．a=4,b=6,c=6,d=8
C．a=5,b=6,c=7,d=10D．a=1，b=2，c=3，d=6
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、由12≠46，可知这一组线段不成比例，所以A不符合题意；
B、由68≠46，可知这一组线段不成比例．所以B不符合题意；
C、由56≠710，可知这一组线段不成比例．所以C不符合题意；
D、12=22=36=22由，可知这一组线段成比例．所以D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键，即如果四条线段a，b，c，d满足ab=cd，那么这四条线段称为比例线段．
【变式1】（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a=1，b=1，c=1，d=5B．a=1，b=2，c=22，d=8
C．a=2，b=5，c=23，d=15D．a=2，b=3，c=2，d=8
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：∵ab=11=1，cd=15，
∴ab≠cd，故A不符合题意；
∵ab=12=22，cd=228=24，
∴ab≠cd，故B不符合题意；
∵ab=25=255，cd=2315=255，
∴ab=cd，故C符合题意；
∵ab=23，cd=28=14，
∴ab≠cd，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【变式2】（2022上·九年级单元测试）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，6cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】A
【分析】根据四条线段成比例的定义逐项判断即可．若四条线段a,b,c,d成比例，则ab=cd（或a:b=c:d或ad=bc），是有顺序的，位置不能随意颠倒．
【详解】解：A、∵2×6=3×4，
∴四条线段成比例，故符合题意；
B、∵2×5≠4×3，
∴四条线段不成比例，故不符合题意；
C、∵1×4≠2×3，
∴四条线段不成比例，故不符合题意；
D、∵3×9≠4×6，
∴四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，验证第一条线段与第四条线段的长度乘积是否等于中间两条线段的长度乘积是解题的关键．特别注意，成比例线段是有顺序关系的．
【变式3】（2023上·四川成都·九年级四川省成都列五中学校考阶段练习）下面四条线段成比例的是（ ）
A．a=1，b=2，c=3，d=4B．a=3，b=6，c=9，d=18
C．a=1，b=3，c=2，d=6D．a=1，b=2，c=4，d=6
【答案】B
【分析】根据四条线段成比例的特点可知外项之积等于内项之积，从而可以解答本题．
【详解】A：∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
B、∵3×18＝6×9，∴四条线段成比例；
C、∵1×6≠3×2，∴四条线段不成比例；
D∵1×6≠2×4，∴四条线段不成比例；
故选：B．
【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是明确成比例线段的特点．
考点4：平行线平分线段成比例
典例4：（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，l1∥l2∥l3，若AB=3，BC=2，则DEEF等于（ ）
A．23B．32C．25D．35
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
直接利用平行线分线段成比例定理列出比例式即可解答．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴DEEF=ABBC,
∵AB=3，BC=2，
∴DEEF=ABBC=32．
故选B．
【变式1】（2023上·山西长治·九年级统考期中）如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若BDDE=23，则ACAF的值为（ ）
A．32B．23C．35D．25
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得ACCF=BDDE=23，由此即可得．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，BDDE=23，
∴ACCF=BDDE=23，
∴ACAF=25，
故选：D．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连接AF，作BG∥AF．若DEEF=23，BG=9，则AF的长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】D
【详解】∵直线l1∥l2∥l3，∴ABBC=DEEF=23，∴CACB=3+23=53．
∵BG∥AF，∴AFBG=CACB，即AF9=53，∴AF=
【变式3】（2023上·河北邯郸·九年级校联考期中）如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于A，B，C，D，O五点，若线段AB=4cm，则线段CD=（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，根据平行线分线段成比例可得ABCD=OEOF，代入计算即可解答．掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，
∴∠AEO=90°，
∵作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴∠DFO=∠AEO=90°，
∴OF⊥CD，
∴ABCD=OEOF，即4CD=23，
解得：CD=6，
经检验，CD=6是原方程的解且符合题意，
∴CD=6cm
故选：C．
考点5：相似三角形的判定——证明题
典例5：（2022上·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别在AB、AC上，BD=2，CE=5．求证：△AED∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，理解并熟练运用相似三角形的判定方法是解题关键．根据题意可求出AEAB=ADAC，且其夹角相等即可证明△AED∽△ABC．
【详解】∵AB=6，BD=2，
∴AD=4，
∵AC=8，CE=5，
∴AE=3，
∴AEAB=36=12，ADAC=48=12，
∴AEAB=ADAC，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
【变式1】（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，对角线AC⊥BC，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：△ABC∽△DAE；
(2)若tan∠BAC=12，AC=4，DE=3，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)612
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根余角的性质得∠BAC=∠ADE，再由∠ACB=∠AED=90°，即可得出结论；
（2）先根据等角的正切值相等求出AE，进而求出CE，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=90°，DE⊥AC，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
又∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE；
（2）解：∵tan∠BAC=12，∠BAC=∠ADE，
∴tan∠ADE=tan∠BAC=12，
∴AEDE=12，即AE3=12
∴AE=32，
∵AC=4，
∴CE=AC−AE=52，
∴CD=CE2+DE2=612．
【变式2】（2023上·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE=180°．

(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)连接BE、CD，求证：△AEB∽△ADC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，牢记性质及判定是解题关键，
（1）根据∠BCE+∠BDE=180°，∠ADE+∠BDE=180°，可得∠BCE=∠ADE，进一步可证△ADE∽△ACB；
（2）根据△ADE∽△ACB，可知AD:AE=AC:AB，根据∠EAB=∠DAC即可得证；
【详解】（1）证明：∵∠BCE+∠BDE=180°，∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BCE=∠ADE，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB；
（2）证明：∵△ADE∽△ACB，
∴AD:AE=AC:AB，
又∵∠EAB=∠DAC，
∴△AEB∽△ADC．
【变式3】（2023上·广东深圳·九年级深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF∽△EGC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质可得DA=DC，∠ADE=∠CDE，然后证明△ADE≌△CDESAS即可得出结论；
（2）根据平行线的性质可得∠DAE=∠G，结合（1）中结论可得∠DCE=∠G，然后根据相似三角形的判定定理得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADE=∠CDE，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDESAS，
∴∠DAE=∠DCE；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由（1）得∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠FEC=∠CEG，
∴△ECF∽△EGC．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
考点6：相似三角形的判定——添加条件
典例6：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）

A．∠C=∠AEDB．∠B=∠DC．ABAD=BCDED．ABAD=ACAE
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、当∠C=∠AED，根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”，能判定△ABC与△ADE相似，故该选项不合题意；
B、当∠B=∠D，根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”，能判定△ABC与△ADE相似，故该选项不合题意；
C、当ABAD=BCDE，不能判定△ABC与△ADE相似，故该选项符合题意；
D、当ABAD=ACAE，根据“如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似”，能判定△ABC与△ADE相似，故该选项不合题意；
故选：C．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．ABBC=ADCDB．∠ADC=∠ACB
C．∠ACD=∠BD．AC2=AD⋅AB
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：“两角对应相等，两三角形相似”， “两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，“三边对应成比例，两三角形相似”，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】A、由图知△ACD和△ABC中，∠A=∠A，要使两三角形相似应该满足ABAC=ACAD，故A选项不能判定△ACD∽△ABC，符合题意；
B、由图知△ACD和△ABC中，∠A=∠A，若∠ADC=∠ACB，根据“两角对应相等，两三角形相似”可得△ACD∽△ABC，故B选项能判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
C、由图知△ACD和△ABC中，∠A=∠A，若∠ACD=∠B，根据“两角对应相等，两三角形相似”可得△ACD∽△ABC，故C选项能判定△ACD∽△ABC，不符合题意；
D、由图知△ACD和△ABC中，∠A=∠A，若AC2=AD⋅AB，则 ABAC=ACAD，根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得△ACD∽△ABC，故D选项能判定△ACD∽△ABC，不符合题意．
故选：A
【变式2】（2023上·北京延庆·九年级统考期中）如图，点E是△ABC的边AB上一点，要使得△ACE与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ACE=∠BB．∠AEC=∠ACB
C．ACAB=AEACD．ACAB=CEBC
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：若∠ACE=∠B,∠A=∠A，则△ACE∽△ABC，故选项A不合题意；
若∠AEC=∠ACB,∠A=∠A，则△ACE∽△ABC，故选项B不合题意；
若ACAB=AEAC,∠A=∠A，则△ACE∽△ABC，故选项C不合题意；
若ACAB=CEBC，不能证明△ACE∽△ABC，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
【变式3】（2022上·湖南株洲·九年级校考期中）如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）

A．ABAC=ADAEB．∠B=∠DC．∠C=∠AEDD．ABAD=BCDE
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可．
【详解】解∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
若ABAD=ACAE，∠DAE=∠BAC，对应边成比例，夹角相等，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
若∠DAE=∠BAC，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
若∠C=∠AED，∠DAE=∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；
∵ABAD=BCDE，∠DAE=∠BAC，对应边成比例，∠DAE,∠BAC不是对应边的夹角，
∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键．
考点7：相似三角形的性质——求解
典例7：（2023上·天津和平·九年级统考期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，ADDB=12，若四边形BDEF的面积为16，则△ADE的面积是（ ）
A．4B．167C．2D．165
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可得答案，解题的关键是熟练掌握三角形的面积比等于相似比的平方，
【详解】∵ADDB=12，
∴ADAB=13，BDAB=23，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CAB，四边形BDEF为平行四边形，
∴BD=EF，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=132=19，S△EFCS△ABC=EFAB2=BDAB2=232=49，
设S△ADE=k，则S△EFC=4k，S△ABC=9k，
∴四边形BDEF的面积为4k=16，解得：k=4，
∴S△ADE=4，
故选：A．
【变式1】（2023上·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE交BD于点F，若DE:EC=2:1，则△ABF的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1:4B．4:9C．9:4D．2:3
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定△ABF∽△EDF，结合AB:DE=3:2计算选择即可．
【详解】．∵▱ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴S△ABFS△EDF=ABDE2，
∵DEEC=2，
∴DEEC+DE=DEDC=21+2=23，
∴DEAB=23，
∴ABDE=32，
∴S△ABFS△EDF=322=94，
故选：C．
【变式2】（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）将一张三角形彩纸ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点F，折痕为DE．已知AB=AC=6，BC=8，若以点C，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则BD的长是（ ）

A．127B．247C．127 或4D．247 或4
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到BD=DF，设BD=x，则CD=8−x，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到BD的长，找到边长之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC沿DE折叠，B和F重叠，
∴BD=DF，
设BD=DF=x，
∵BC=8，
∴CD=8−x，
当△FDC∽△ABC时，
FDAB=DCBC，
∵AB=AC=6，
∴x6=8−x8，
解得：x=247，
即BD=247；
当△DCF∽△ABC，
DCAB=DFAC，
∵AB=AC=6，
∴8−x6=x6，
解得：x=4，
即BD=4；
当△CFD∽△ABC时，同理可得BD=4，
故BD=247或4，
故选：D．
【变式3】（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，则下列四个结论中，错误的是（ ）

A．DEBC=12B．OEOB=12
C．△ADE的周长△ABC的周长=12D．△ADE的面积四边形BCED的面积=14
【答案】D
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，根据相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，逐一判断即可．
【详解】解：∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，AD=BD=12AB，AE=CE=12AC，
∴△ADE∽△ABC，△ODE∽△OCB，
∴ADAB=AEAC=DEBC=12，
∴ ODOC=OEOB=DEBC=12，故选项A、B正确，不符合题意；
∴ △ADE的周长△ABC的周长=12，故选项C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ABC，且ADAB=AEAC=DEBC=12，
∴S△ADES△ABC=14，
∵四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE，
设S△ADE=k，则S△ABC=4k，
∴四边形BCED的面积为S△ABC−S△ADE=3k，
∴ △ADE的面积四边形BCED的面积=13，故选项D错误，符合题意；
∵ △ADE的周长为：AD+DE+AE，△ABC的周长为：AB+BC+AC，
∴ △ADE的周长△ABC的周长=12AB+BC+ACAB+BC+AC=12，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．
考点8：相似三角形的性质——坐标
典例8：（2022上·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，A−4,0，B0,2，连接AB并延长到点C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为 ．
【答案】(43,83)
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=12x+2，从而可设点C的坐标为C(a,12a+2)，过点C作CD⊥x轴于点D，从而可得OD=a,CD=12a+2，再根据正切的定义可得tan∠OAB=12，然后根据相似三角形的性质可得∠BOC=∠OAC，从而可得∠OCD=∠OAC，最后在Rt△COD中，利用正切三角函数建立方程，解方程求出a的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A−4,0,B0,2代入得：−4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
则直线AB的解析式为y=12x+2，
设点C的坐标为C(a,12a+2)，
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
则OD=a,CD=12a+2，CD∥OB，
∴∠BOC=∠OCD，
∵A−4,0,B0,2，
∴OA=4,OB=2，
∴tan∠OAB=OBOA=12，
∵△COB∼△CAO，
∴∠BOC=∠OAC，
∴∠OCD=∠OAC，
∴tan∠OCD=tan∠OAC=12，
在Rt△COD中，tan∠OCD=ODCD=a12a+2=12，
解得a=43，
经检验，a=43是所列分式方程的解，
则12a+2=12×43+2=83，
所以点C的坐标为C(43,83)，
故答案为：(43,83)．
【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和待定系数法是解题关键．
【变式1】（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，若点A的坐标为（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ．
【答案】−4,6
【分析】根据位似图形的概念得到DE//OP，OD//BC，AB//OP，根据相似三角形性质求出BC，进而求出点B的坐标．
【详解】解：∵点A的坐标为0,6，点E的坐标为2,3，
∴OD=3，AD=3，DE=2，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，
∴DE//OP，OD//BC，AB//OP，
∵AD=DO，
∴OP=AB=OC，
∵DE//OP，
∴△ADE∽△AOP，
∴DEOP=ADAO，即2OP=12，
解得，OP=4，
∵OD//BC，
∴△POD∽△PCB，
∴ODBC=POPC，即3BC=12，
解得，BC=6，
∴点B的坐标为−4,6，
故答案为：−4,6.
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行仰角相似三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−4,0、0,4，点C3,n在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，则n= ．
【答案】145
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证△CDE≌△CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证△AOE∽△CDE，进而可得43=2n−44−n，由此计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴△CDE≌△CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴△AOE∽△CDE，
∴AOCD=OEDE ，
∴43=2n−44−n，
解得：n=145，
故答案为：145．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
【变式3】（2023上·北京通州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A10,0，OB=25，∠B=90°，则点B坐标为 ．
【答案】2,4
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得AB=45，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点A10,0，
∴OA=10，
∵OB=25，
∴AB=AO2−OB2=45，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
OB2=BC2+OC2，即5OC2=20，
∴OC=2，
∴BC=4，
∴点B的坐标为2,4；
故答案为2,4．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
考点9：相似三角形的性质——网格
典例9：（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②～⑥中，与①相似的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是AB:AC:BC=1:2:5，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的．
【详解】解：①三角形的三边之比是AB:AC:BC=1:2:5，
②△BCD中，CD:BC:BD=1:5:8，
③△DEB中DE:BD:BE=2:22:20=1:2:5，
④△FBG中，FB:FG:BG=5:10:5=1:2:5
⑤△HGF中，HG:HF:FG=2:2:10=1:2:5
⑥△EFK中，EK:EF:KF=2:5:3
故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故选C．
【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑．
【变式1】（2023上·北京·九年级校联考期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.ΔABC和ΔDEP的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若ΔABC~ΔPDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
【答案】D
【分析】根据三角形相似ΔABC∽ΔPDE，然后利用DE=2，BC=1，所以DP=4，则易得点P落在P4处．
【详解】若ABC∽ΔPDE且两三角形不全等，
则DEBC=PDAB=
所以DP=
则易得点P落在P4处．
故选D
【点睛】本题考查了三角形相似的性质,掌握该性质是解答本题的关键.
【变式2】（2024上·上海金山·九年级统考期末）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．
【详解】解：如图所示，由网格的特点可知AB=2，BC=12+12=2，AC=12+32=10，
CE=1，BC=12+12=3，BE=12+22=5，
∴BCCE=ABEC=ACBE，
∴△ABC∽△BCE，
同理可证明△ABC∽△CDA，△ABC∽△CBF，
∴从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC相似的有3个，
故选C．
【变式3】（2023上·河北张家口·九年级张北县第三中学校考阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，△ABC和△EDP的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EDP，则点P所在的格点为（ ）
A．点P1B．点P2C．点P3D．点P4
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断．
【详解】解：△ABC中，BC是正方形的对角线，
∴∠ABC=135°，且BC=12+12=2，AB=2，
即BCAB=22，
要使△ABC∽△EDP，
则∠EDP=∠ABC=135°，
观察图形，只有P1D是正方形的对角线，即∠EDP1=135°，
且DP1=22+22=22，DE=4，
即DP1DE=224=22，
∴点P1符合题意，
故选：A．
考点10：相似三角形的性质——证明
典例10：（2022·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
(1)若AE=2BE，求证：AF=2CF；
(2)如图②，若AB=2，DE⊥BC，求BEAE的值．
【答案】(1)答案见详解
(2)5−12
【分析】（1）要证AE=2BE，过点B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，证得△AFE∽△BHF，得出AF与BH的数量关系，再证得△AFC≌△CHB，得出CF=BH根据线段间关系，即可求证；
（2）要求BEAE的值，根据角度间的转化，得出△CAD∽△DCE，即可求出BDCD的值，根据DE∥AC，推出BEAE=BDCD，即可得到最后结果．
【详解】（1）证明：如图，过点B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，
∵AD⊥CE，
∴AF∥BH，
∴ △AFE∽△BHE，
∴AFBH=AEBE，
∵CE⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∵∠ACB=90°，∠ADC=∠CDF，
∴△ACD∽△CFD，
∴∠CAF=∠BCH，
∵∠AFC=∠CHB=90°,AC=BC，
∴△AFC≌△CHB AAS，
∴CF=BH，
∴AF=2BH=2CF．
（2）解：∵DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠ACE=∠CED，
由（1）可知△ACD∽△CFD，
∴∠CAF=∠DCF，
∵∠AFC=∠CFD，
∴△AFC∽△CFD，
∴∠ACE=∠CDA，
∴∠CDA=∠CED，
∵∠ACD=∠CDE=90°，
∴△CAD∽△DCE，
∴ACCD=CDDE，
∵AB=BC，AB=2，
∴∠B=∠CAB=45°，AC=BC=1，
设CD=x，则BD=BC−CD=1−x，
∵DE⊥BC，∠B=45°,
∴DE=BD=1−x，
∴1x=x1−x
解得x1=−1−52<0（舍去），x2=5−12，
∴BDCD=DECD=CDAC=5−12，
又∵DE∥AC，
∴BEAE=BDCD=5−12．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊三角函数求角，是解本题的关键．
【变式1】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2=EF⋅EC．
求证：
(1)△ABD∼△FCB；
(2)BD⋅BE=AD⋅CE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由BE2=EF⋅EC可证△BEF∼△CEB，得到∠EBF=∠ECB，再由AD∥BC得到∠ADB=∠DCB，即可证明△ABD∼△FCB；
（2）由△BEF∼△CEB得到BFBC=BECE，△ABD∼△FCB得到ABFC=BDBC=ADBF，进而得到BECE=ADBD，即可得到BD⋅BE=AD⋅CE．
【详解】（1）∵BE2=EF⋅EC，
∴BEEF=CEBE
∵∠BEF=∠CEB，
∴△BEF∼△CEB
∴∠EBF=∠ECB
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DCB
∴△ABD∼△FCB；
（2）∵△BEF∼△CEB，
∴BFBC=BECE
∵△ABD∼△FCB，
∴ABFC=BDBC=ADBF
∴BFBC=ADBD
∴BECE=ADBD
∴BE⋅BD=AD⋅CE．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=14AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D．求证：BC＝2CD．
【答案】证明见解析
【分析】过点C作AB的平行线，根据同位角∠FCD=∠B相等，内错角∠A=∠CMF相等，公共角∠D得出△CDF∽△BDE，进而得出CFBE=CDBD，由M为AC中点，得出AM=CM，然后由对顶角∠AME=∠CMF得出△AME≌△CMF，得出对应边AE=CF，由于AE=14AB，BE=AB−AE，得出BE=3AE，根据CFBE=CDBD得出AEBE=CDBD=13即可得出结论．
【详解】证明：过点C作CF∥AB，交DE于点F，
∴∠FCD=∠B，
又∵∠D为公共角，
∴△CDF∽△BDE，
∴CFBE=CDBD，
∵点M为AC边的中点，
∴AM=CM，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠MCF，
又∵∠AME=∠CMF，
∴△AME≌△CMF，
∴AE=CF，
∵AE=14AB，BE=AB−AE，
∴BE=3AE，即AEBE=13,
∵CFBE=CDBD，
∴AEBE=CDBD=13，即BD=3CD，
又∵BD=BC+CD，
∴BC=2CD．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，全等三角形的判定，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键．
【变式3】（2023上·江苏·九年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求OBOD的值．
【答案】（1）见解析；（2）57
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD//AB，结合题目条件给的角平分线，可以证明∠BEC=∠BCE，再利用等腰三角形的判定证明△EBC是等腰三角形；
（2）证明△COD∼EOB，利用对应边成比例求出OBOD的比值．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE，
∴△EBC是等腰三角形；
（2）∵CD//BE，
∴∠DCE=∠BEC，∠CDO=∠EBO，
∴△COD∼EOB，
∴CDEB=ODOB，
∵CD=AB=7，BE=BC=5，
∴CDEB=ODOB=75，
∴OBOD=57．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理结合题目条件进行证明求解．
考点11：相似三角形的性质——尺规
典例11：（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2，AB=4．
(1)实践与操作：利用尺规作AC边上的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)求出线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可；
（2）先利用勾股定理计算出AC=25，再利用线段垂直平分线的性质得到AE=5，DE⊥AC，接着证明△ADE∽△ACB，然后利用相似比计算DE的长．
【详解】（1）解：如图，
∴DE为所作的AC边上的垂直平分线；
（2）解：∵∠B=90°，BC=2，AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=AB2+BC2=25，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=5，DE⊥AC，
∵∠A=∠A，∠AED=∠ABC=90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC=AEAB，即DE2=54，
解得DE=52，
∴线段DE的长为52．
【点睛】本题考查了作图----基本作图：熟练掌握基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质．
【变式1】（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB上的一点，连接CE．

(1)利用尺规作∠CDF，使∠CDF=∠BCE，∠CDF的边DF交CE于点F．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)求证：DF⋅CE=BC⋅DC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图，并标上字母即可；
（2）根据平行四边形的性质证明∠DCF=∠BEC，进一步得到△DCF∽△CEB，可得CDCE=DFBC，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCF=∠BEC，
又∠CDF=∠BCE，
∴△DCF∽△CEB，
∴CDCE=DFBC，
∴DF⋅CE=BC⋅DC．
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是找准相似三角形，得到比例线段．
【变式2】（2023上·福建三明·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）利用尺规在AC边上求作点E，使得EC=ED（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若ADBD=23，BC=10，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）作DC的垂直平分线交AC于E，点E即为所作的点；
（2）需证△ADE∽△ABC，所以ADAB=DEBC，再由ADBD=23，不难求得DE的值．
【详解】（1）作DC的垂直平分线交AC于点E．
∴点E就是所求作的点．
（2）连接DE，由（1）知DE=EC．
∴∠EDC=∠ECD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴∠EDC=∠BCD，
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠B
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
∴ADAB=DEBC．
∵ADBD=23，BC=10，
∴ADAB=25．
∴DE10=25．
∴DE=4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质和判定，角平分线定义及等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解相关定义和定理是解本题的关键．
【变式3】（2023上·福建泉州·九年级石狮市石光中学校联考期中）求证：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．

要求：
(1)如图，在△ABC中，用尺规作出AB边上的中线CD，AC边上的中线BE，且CD与BE交于点G（不写做法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形的中线的性质及尺规作图．
（1）根据三角形的中线的定义作出图形即可；
（2）根据三角形中线的性质，证明△GDE∽△GCB，由三角形相似的性质即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）解：已知：在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的中线，且BE与CD交于点G．求证：GE=13BE，GD=13CD．
证明：连接DE，

∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DEBC=12，
∴ △GDE∽△GCB，
∴GDGC=GEGB=DEBC=12，
∴GDCD=GEBE=13，
∴GE=13BE，GD=13CD．
考点12：相似三角形判定与性质综合
典例12：（2024上·福建泉州·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于点H，点D，H关于直线AC对称，连接AD，CD，E为AB的中点，连接DE交AC于点F．
(1)求证：AC2=AB⋅AD；
(2)求证：S△ADFS△AEF=AHBE；
(3)若AD=4，AB=6，求DE的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)DE= 17
【分析】本题主要考查了相似性综合题，
（1）根据△ACD和△ABC相似直接证明即可；
（2）根据对称的性质得出两个三角形的面积比等于AD：AE，在根据对称的性质以及中点的定义，将AD：AE转化为AH：BE即可；
（3）根据相似得出∠ACD=∠ABC，从而得出△CDE是直角三角形，然后用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵点D，H关于直线AC对称，
∴∠DAC=∠CAH，
又∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∴ AC2=AB⋅AD；
（2）证明：由（1）知，∠DAC=∠CAH，
∴AF是∠DAE的平分线，
∴F到AD的距离等于F到AE的距离，
∴ S△ADFS△AEF=ADAE，
∵点D，H关于直线AC对称，
∴AD=AH，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴ S△ADFS△AEF=ADAE=AHBE；
（3）解：由（1）知，AC2=AB⋅AD，
∴ AC=26，
由勾股定理得：CD=AC2−AD2=22，
∵E是AB中点，
∴AE=BE=CE=12AB=3，
∴∠ABC=∠ECB，
由（1）知，△ACD∽△ABC，
∴∠ABC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ECB，
∵∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，
由勾股定理的：DE=CD2+CE2=17．
【变式1】（2023上·安徽合肥·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），连接AE，并作EF⊥AE，交CD边于点F，连接AF，设BE=x，CF=y．
(1)①求证：△ABE∽△ECF；
②当x为何值时，y的值为2；
(2)当x为何值时，△ADF也与△ABE相似．
【答案】(1)①见解析；②2或6；
(2)8−27．
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用，
（1）①利用矩形的性质以及角度互余的关系证明∠BEA=∠CFE，问题得证；②根据△ABE∽△ECF，可得CFEC=BEAB，进而可得28−x=x6，解方程即可求解；
（2）根据△ABE∽△ECF，可得y8−x=x6，再分△ABE∽△ADF和△ABE∽△FDA两种情况讨论，根据相似的性质即可求解．
【详解】（1）①∵在矩形ABCD中，∠B=∠D=∠C=∠BAD=90°，
∴∠BEA+∠BAE=∠CEF+∠CFE=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BEA=∠CFE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF；
②∵△ABE∽△ECF，
∴CFEC=BEAB，
∵CF=y=2，AB=6，BC=8，BE=x，
∴EC=BC−BE=8−x，
∴28−x=x6，
解得：x=2，或者x=6，经检验，两个根均符合题意；
∴当x为2或6时，y的值为2；
（2）∵CF=y，AB=6，BC=8，BE=x，
∴DF=CD−CF=6−y，EC=BC−BE=8−x，
∵△ABE∽△ECF，
∴y8−x=x6，
第一种情况：∵△ABE∽△ADF，
∴ABBE=ADDF，
∴6x=86−y，
即有：y=18−4x3，
将y=18−4x3代入y8−x=x6，
可得：x2−16x+36，
解得：x=8−27，（x=8+27>8，不符合题意舍去），
第二种情况：∵△ABE∽△FDA，
∴ABBE=DFAD，
∴6x=6−y8，
∵0∴y=6−48x=6x−8x<0，
此时不符合题意，故此种情况不存在，
综上：当x为8−27时，△ADF也与△ABE相似．
【变式2】（2023上·九年级单元测试）如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G．
(1)求证：△AGF∽△CGB；
(2)请求出△BGC与四边形CGFD的面积之比．
【答案】(1)见解析
(2)4:5
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质；
（1）根据正方形的性质可得AD∥BC，求出∠AFG=∠CBG，∠FAG=∠BCG，即可证明△AGF∽△CGB；
（2）设正方形的边长是a，则△BFC的面积是12a2，△ABC的面积是12a2，根据相似三角形的性质求出S△AFG=13S△AFB=a212，S△BCG=4S△AFG=a23，再计算出四边形CGFD的面积，然后计算即可．
【详解】（1）证明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFG=∠CBG，∠FAG=∠BCG，
∴△AGF∽△CGB；
（2）解：连接，CF，
∵F是AD的中点，
∴AF=12AD=12BC，
设正方形的边长是a，则△BFC的面积是12a2，△ABC的面积是12a2，
∴AF=a2，
∴S△ABF=12×a2×a=a24，
∵△AGF∽△CGB，
∴AFBC=FGBG=12，S△AGFS△BCG=FGBG2=14，
∴S△AFG=13S△AFB=a212，S△BCG=4S△AFG=a23，
∴四边形CGFD的面积为：S正方形ABCD−S△ABC−S△AFG=a2−12a2−a212=5a212，
∴△BGC与四边形CGFD的面积之比是a235a212=45，即4:5．
【变式3】（2024·上海普陀·统考一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADE=∠B，∠EAF=∠FDC，DE与AC交于点F．
(1)求证：ABAC=ADAE；
(2)连接BF，如果AB2=AF⋅AC，求证∶AD·BC=AE·BF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）证明△ADE∽△ABC，即可得出ABAC=ADAE；
（2）先推导出ABAC=AFAB，证明△ABF∽△ACB，得ABAC=BFBC，即可证明ADAE=BFBC进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠DFC，∠EAF+∠AFE+∠E=180°=∠FDC+∠DFC+∠C，
∴∠E=∠C，
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠B∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ABAC=ADAE；
（2）证明：如图：
∵AB2=AF⋅AC，
∴ABAC=AFAB，
∵∠BAF=∠CAB，
∴△ABF∽△ACB，
∴ABAC=BFBC，
∵ABAC=ADAE，
∴ADAE=BFBC，
∴AD⋅BC=AE⋅BF．
考点13：相似三角形的实际应用
典例13：（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）崇文塔位于陕西省西咸新区泾河新城崇文塔景区内，是全国保存最好的砖塔之一．某校社会实践小组为了测量崇文塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为3米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，崇文塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，崇文塔的塔尖点B正好在同一直线上，这时测得FG=6米，GC=56米（点F，点G，点E，点C与崇文塔底处的点A在同一直线上），请你根据以上数据，计算崇文塔的高度AB．
【答案】崇文塔的高度AB为87米．
【分析】本题考查相似三角形的应用．根据题意易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得GHBA=FGFA，DCBA=ECEA，因为DC=HG，推出FGFA=ECEA，列出方程求出CA=112（米），由DCBA=ECEA，可得3AB=44+112，由此即可解决问题．
【详解】解：由题意得：△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴GHBA=FGFA，DCBA=ECEA，
∵DC=HG，
∴FGFA=ECEA，
∴66+56+CA=44+AC，
∴CA=112（米），
∵DCBA=ECEA，
∴3AB=44+112，
∴AB=87（米），
答：崇文塔的高度AB为87米．
【变式1】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）某数学小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小艳站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上），测得BD=4米，FB=2米，EF=1.7米，请根据以上测量数据，求出该树的高度．
【答案】树高5.3米
【分析】本题考查相似三角形的实际应用．过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，证明△AEG∽△CEH，列出比例式进行求解即可．解题的关键是构造相似三角形．
【详解】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.7米，EG=FB=2米，GH=BD=4米，
∴AG=AB−GB=2.9−1.7=1.2（米），
同理可得：四边形EFBG为矩形
∵EH⊥CD
∴EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴AGCH=EGEH，
∴1.2CH=22+4，
解得：CH=3.6米，
∴CD=CH+DH=3.6+1.7=5.3（米），
答：树高CD为5.3米．
【变式2】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且CP=DQ；
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少?
【答案】(1)两路灯的距离为18m
(2)当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m
【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=16AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=16AB，则16AB+12+16AB=AB，解得AB=18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得BNBN+18=1.69.6，然后利用比例性质求出BN即可．
【详解】（1）解：∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
∴APAB=PMBD，即APAB=1.69.6，
∴AP=16AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴BQBA=QNAC，即BQBA=1.69.6，
∴BQ=16AB，而AP+PQ+BQ=AB，
∴16AB+12+16AB=AB，
∴AB=18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）解：如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴BNAN=BMAC，即BNAN=1.69.6，
解得BN=3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
【变式3】（2024上·广东东莞·九年级校考期末）近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
(1)甲生的方案中如果大视力表中“E”的高0.035m，那么小视力表中相应“E”的高是多少m？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长(AB)为1.6m，通过计算请直接写出CD=__________m，MN至少为__________m．
【答案】(1)0.021
(2)2,0.64
【分析】本题为考查了相似三角形应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）证明△CAB∽△FAD，得到ADAB=DFBC，代入相关数值即可求解；
（2）证明△MNC∽△A′B′C，得到MNA′B′=CDCE，求出CD=2m，代入相关数值即可求解．
【详解】（1）解：由题意知BC⊥AB，DF⊥AD，
∴∠CBA=∠FDA=90°，
又∵∠CAB=∠FAD，
∴△CAB∽△FAD，
∴ ADAB=DFBC，
由题意知AD=3m，AB=5m，BC=0.035m，AD=3m，
∴ 35=DF0.035，
解得DF=0.021m，
即小视力表中相应“E”的高是0.021m；
（2）解：由题意知，AB∥MN∥A′B′，
∵MN∥A′B′，CD⊥MN，
∴CE⊥A′B′，
∵MN∥A′B′，
∴△MNC∽△A′B′C，
∴ MNA′B′=CDCE，
由题意知CE=5m，DE=3m，A′B′=AB=1.6m，
∴CD=CE−DE=2m，
∴ MN1.6=25，
∴MN=0.64m．
故答案为：2；0.
相似三角形的判定
判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似
如图
∵；∴
判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似
如图
∵；∴
判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似
如图
∵；；∴
如图：两个三角形相似，则有对应边成比例
∵；∴
如图；两个三角形相似，则有对应角相等
∵；
∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比
∵；∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比
∵；∴
如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比
∵；∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比
∵；
∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比
∵；
∴
甲
乙
图例


方案
如图①是测试距离为AB=5m的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为AD=3m的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（BC的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（DF的长）．
使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN（光路图做法：作CD⊥MN于点D，延长线交A′B′于点E，使得线段AB和A′B′关于MN对称）．