专题13 特殊平行四边形（3大模块知识梳理+12个考点+6个重难点+2个易错点）讲义（含答案）-2025年中考数学三轮冲刺复习试题

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知识模块一：矩形
知识点一：矩形的性质
【补充】
1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；
2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.
3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
知识点二：矩形的判定
知识模块二：菱形
知识点一：菱形的性质
【补充】
1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；
2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4）菱形的面积公式：
①菱形的面积=底×高，即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.
知识点二：菱形的判定
知识模块三：正方形
知识点一：正方形的性质
1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.
2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
【补充】
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.
3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
知识点二：正方形的判定
考点一： 根据特殊四边形的性质求角度
1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，则∠AOF= ．
2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=（ ）

A．45°+12αB．45°+32αC．90°-12αD．90°-32α
3．（2023·山东·中考真题）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBF．若∠ABE=55°，则∠EGC= 度．

考点二： 根据特殊四边形的性质求线段长
4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为 ．
5．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1B．1-3C．0D．3-23
6．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC的值为 ．
考点三： 根据特殊四边形的性质求周长
7．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=23，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．163B．83+4C．43+8D．83+8
8．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（ ）

A．4+23B．6+23C．4+43D．6+43
9．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（ ）

A．440cmB．320cmC．280cmD．160cm
考点四： 根据特殊四边形的性质求面积
10．（2022·湖南邵阳·中考真题）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为 cm2．
11．（2024·广东·中考真题）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（2023·湖南·中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 dm3．

考点五： 根据特殊四边形的性质求点的坐标
13．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为-4,0，点C的坐标为0,2．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点B'的坐标为（ ）
A．-4,-2B．-4,2C．2,4D．4,2
14．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，为点C的坐标为（ ）
A．(-1,6)B．(-2,6)C．(-3,6)D．(-4,6)
15．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为-2，0，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为0，6，则点E的坐标为 ．
考点六： 利用特殊四边形的性质证明
16．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（ ）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点B．EO=FO
C．AE=CFD．EF⊥BD
17．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= ．
18．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG=3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A．14B．13C．25D．12
考点七： 特殊四边形的折叠问题
19．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2B．2C．3D．5
20．（2023·江苏南京·中考真题）如图， 在菱形纸片ABCD中， 点E在边AB上，将纸片沿CE折叠， 点B落在B'处，CB'⊥AD， 垂足为F 若CF=4cm，FB'=1cm， 则BE= cm
21．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E,F，连接BM．

(1)求证：∠AMB=∠BMP；
(2)若DP=1，求MD的长．
考点八： 证明四边形是特殊四边形
22．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
23．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF
(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
24．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B,C为圆心，12AC,12BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP．

(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
考点九： 根据特殊四边形的性质与判定求角度
25．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（ ）

A．64°B．66°C．68°D．70°
26．（2023·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．
(1)求证：△AEH≌△CGF；
(2)若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．
27．（2023·四川·中考真题）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为( )

A．25π16B．25π8C．25π6D．25π4
考点十： 根据特殊四边形的性质与判定求线段长
28．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
A．132B．6013C．125D．3013
29．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
30．（2020·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF，点C恰在EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
考点十一： 根据特殊四边形的性质与判定求周长
31．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC=AB，则▱ABCD的周长为 ．

32．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．
(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=32，求四边形AECF的周长．
33．（2023·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF=45°，求△CEF的周长．
考点十二： 根据特殊四边形的性质与判定求面积
34．（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？

35．（2023·西藏·中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积是（ ）

A．92B．33C．932D．63
36．（2021·广西贵港·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则S△AMDS△MBN=（ ）

A．34B．23C．1D．12
重难点一： 与特殊平行四边形有关的最值问题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）

A．5B．3.6C．2.4D．4.8
2．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点，CF=BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
3．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为
重难点二： 中点模型
1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

2．（2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EF=12AC，GH=12AC（____①____）
∴EF=GH．
同理可得：EH=FG．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
重难点三： 十字架模型
1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
2．（2023·河南·三模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片ABCD，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F．
根据以上操作，请直接写出图1中BE与CF的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片ABCD中，AB:AD=m:n，在边BC上任意取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，与边CD交于点F，请求出BECF的值，并说明理由；
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片ABCD的边长为2，动点E由点A向终点D做匀速运动，动点F由点D向终点C做匀速运动，动点E、F同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE，交于点G，连接GD，则线段GD长度的最小值为______，点G的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）
重难点四： 半角模型
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC交BD于点O，求EFNM的值．
2．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'．

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，AD=AD'，BD=CD'．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠CAD'，
∴∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°．
∴∠DAE=∠D'AE．
在△DAE和△D'AE中，
AD=AD'，∠DAE=∠D'AE，AE=AE，
∴___①___．
∴DE=D'E．
又∵∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，
∴在Rt△ECD'中，___②___．
∵CD'=BD=3，CE=4，

∴DE=D'E=___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

重难点五： 一线三垂直模型
1．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．
2．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(-1,0)，点D的坐标是(-2,4)，则点C的坐标是 ．

重难点六： 对角互补模型
1．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，已知四边形的面积为9，CD=2，则BC长为（ ）
A．5B．4C．113D．3
2．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是AB的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE，CF交于点G，半径BE，CD交于点H，则图中阴影面积等于（ ）
A．π2-1B．π2-2C．π-1D．π-2
易错点1： 未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理
1．（2020·山东威海·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形
D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形
2．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
易错点2： 求菱形面积时出错
1．（2021·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6B．10C．12D．24目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）
\l "_Tc182324382" 知识模块一：矩形的性质与判定
\l "_Tc182324386" 知识模块二：菱形的性质与判定
\l "_Tc182324392" 知识模块三：正方形的性质与判定
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点）
\l "_Tc182324398" 考点一：根据特殊四边形的性质求角度
\l "_Tc182324399" 考点二：根据特殊四边形的性质求线段长
\l "_Tc182324400" 考点三：根据特殊四边形的性质求周长
\l "_Tc182324401" 考点四：根据特殊四边形的性质求面积
\l "_Tc182324402" 考点五：根据特殊四边形的性质求点的坐标
\l "_Tc182324403" 考点六：利用特殊四边形的性质证明
\l "_Tc182324404" 考点七：特殊四边形的折叠问题
\l "_Tc182324405" 考点八：证明四边形是特殊四边形
\l "_Tc182324406" 考点九：根据特殊四边形的性质与判定求角度
\l "_Tc182324407" 考点十：根据特殊四边形的性质与判定求线段长
\l "_Tc182324408" 考点十一：根据特殊四边形的性质与判定求周长
\l "_考点十二：_根据特殊四边形的性质与判定求面积"考点十二：根据特殊四边形的性质与判定求面积
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（6大重难点）
\l "_重难点一：_与特殊平行四边形有关的最值问题" 重难点一： 与特殊平行四边形有关的最值问题
\l "_重难点二：_中点模型" 重难点二： 中点模型
\l "_重难点三：_十字架模型" 重难点三： 十字架模型
\l "_重难点四：_半角模型" 重难点四： 半角模型
\l "_重难点五：_一线三垂直模型" 重难点五： 一线三垂直模型
\l "_重难点六：_对角互补模型" 重难点六： 对角互补模型
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
\l "_易错点1：" 易错点1： 未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理
\l "_易错点2："易错点2： 求菱形面积时出错
性质
符号语言
图示
边
两组对边平行且相等
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC
角
四个角都是直角
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°
对角线
两条对角线互相平分且相等
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=BO=DO
判定定理
符号语言
图示
角
一个角是直角的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，
∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形
三个角是直角的四边形是矩形
在四边形ABCD中，
∵∠B=∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形
性质定理
符号语言
图示
边
四条边都相等
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC
对角线
对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，
AC平分∠BAD，AC平分∠BAD
判定定理
符号语言
图示
边
四条边相等的四边形是菱形.
在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中，
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形
对角线
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中，
∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形
定义法
平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
判定定理
矩形+一组邻边相等
有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直
对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角
有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等
对角线相等的菱形是正方形
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnn，Pierre1654－1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG=12AC．（依据1）
∴DNNM=DGGC．∵DG=GC，∴DN=NM=12DM．
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM．
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴S▱HPQG=12S△ADC．同理，…
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
AC=BD
菱形
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
AC⊥BD
②________
原四边形对角线关系
中点四边形形状
③________
④________