专题08三角形及全等三角形 （2大模块知识梳理+10个基础考点+6个重难点+4个易错点）讲义（含答案）-2025年中考数学三轮冲刺复习试题

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知识模块一：三角形
知识点一：三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
【补充】三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排， 即∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形.
三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
知识点二：与三角形的有关线段（掌握）
知识点三：与三角形有关的角（掌握）
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
知识模块二：全等三角形
知识点一：全等三角形的概念
全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】
1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关.
2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”.
【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
知识点二：全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等．
3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）.
全等三角形的判定：
1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
【易错】
①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等；
例:
②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.
3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
考点一：三角形的稳定性
1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
2．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（ ）．
A．三角形B．长方形C．正方形D．平行四边形
3．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．平行四边形的对角相等
C．四边形的不稳定性D．四边形的内角和等于360°
考点二：与五线有关的计算
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
2．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在△ABC中，AC=22，∠ACB=120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．52B．2+12C．2D．3
3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线AB//CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为 °．
4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2+1B．52C．3+52D．3+1
5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
考点三：与五线有关的作图问题
1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．
(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______cm2．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，BD平分∠ABC交边AC于点D，先画出△ABC的角平分线AE，再在射线BD上画点F，连接AF，使得AF=12BD；
(2)在图2中，先画△ABC的高AH，再画∠AHC的平分线HP．
3．（2024·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，点G是图③中边AC上的任意一点：只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中作边BC上的高AD；
(2)在图②中作△ABC的中位线EF，使点E、F分别在边AC、AB上；
(3)在图③中△ABC的边AB上找到一点H，使AH=AG．
考点四：利用三角形三边关系求解
1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12B．7，7，15C．6，9，16D．6，8，12
2（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1