专题16 与圆有关的计算 （2大模块知识梳理+9个考点+4个重难点+2个易错点）讲义（含答案）-2025年中考数学三轮冲刺复习试题

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知识模块一：正多边形与圆
知识点一：正多边形与圆.
正多边形的外接圆：一般地，用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.
【补充】正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
知识点二：正多边形与圆的相关概念
知识点三：正多边形的有关计算
1）内角：正n边形的每个内角和为.
2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为.
3）周长：正n边形的周长.
4）面积：正n边形的面积.
知识模块二：弧长与扇形面积
知识点一：弧长公式
弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径).
【注意】在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
【补充】在弧长公式l=nπR180中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
知识点二：扇形面积公式
扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°为圆心角所对的弧长).
【补充】
1）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S扇形=12lR中求解即可．
知识点三：圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式：（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足r2+h2=l2.
【补充】求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2πr=nπR180，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系.
【易错点】注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
考点一： 求正多边形的中心角
1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）

A．30°B．36°C．45°D．60°
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．43B．33C．23D．3
3．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接AG，BH，CI，DJ，EK，FL（A，G，H三点共线），若CI=2,IJ=3，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．3B．5C．19D．19
考点二： 已知正多边形的中心角求边数
1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A．8B．12C．3D．6
2．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，M是正六边形EFGHPQ的中心．在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0,0)，点E的坐标为(-1,0)，则点H的坐标为（）
A．(-2,0)B．(1,1)C．(1,0)D．(2,0)
3．（2023·江西九江·一模）如图正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)请在图（1）中对角线BE上作一点M，使得BC=2BM；
(2)请在图（2）中BC边上作一点P，使得BC=3BP．
考点三： 利用弧长公式求弧长
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为 （结果保留π）．
2．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=24，则AB的长为（ ）
A．30πB．25πC．20πD．10π
3．（2024·湖北·中考真题）Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．且BD=BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线．
(2)连接OB交⊙O于点F，若AD=3,AE=1，求弧CF的长．
考点四： 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（ ）
A．45cmB．40cmC．35cmD．30cm
2．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为10π，侧面积为75π的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A．150°B．120°C．180°D．100°
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中AD的长度为π3米，裙长AB=0.8米，圆心角∠AOD=∠BOC=60°，则OB的长为（ ）
A．1米B．1.8米C．2米D．2.2米
考点五： 利用扇形面积公式计算扇形面积
1．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，O为BC中点，OE=AB=4，则扇形EOF的面积为 ．
3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是（ ）

A．43πB．83πC．163πD．323π
考点六： 求弓形面积
1．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AB=23，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 ．
2．（2021·山东泰安·中考真题）若△ABC为直角三角形，AC=BC=4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．
3．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为43，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．16π-123B．16π-243
C．20π-123D．20π-243
考点七： 求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
1．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．700π平方厘米B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米D．1600π平方厘米
2．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm．
3．（2023·黑龙江·中考真题）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 cm．
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2:1，则母线长为 ．
考点八： 求圆锥侧面展开图的圆心角
1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角α的度数为 ．

2．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°，如果把该三角形绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
3．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为 °．
考点九： 圆锥的实际问题
1．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为14圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为3π米，高度为3.6米，则此粮仓的侧面积为 m2．（结果保留π）
3．（2023·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．

重难点一： 求某点的弧形运动路径长度
1．（2024·吉林长春·中考真题）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB=12 cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 cm．（结果保留π）
2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=23，BC=3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为 ．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A-1,1，B-2,3，C-5,2．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π）
重难点二： 求图形旋转后扫过的面积
1．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A'，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A．43B．6C．43πD．83π
2．（2021·四川凉山·中考真题）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C．已知AC=3,BC=2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
3．（2024·江苏盐城·二模）如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB=8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为是 ．
重难点三： 求其它不规则图形面积
1．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以点A为圆心，以AD为半径作DE交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作EF所交BC于点F，连接FD交EF于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为EF所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留π）
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．

从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求阴影部分的面积．
3．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC,BC，AB于点D,E,F，且点E是弧DF的中点．

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
重难点四： 圆锥侧面上最短路径问题
1．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．33C．32D．63
2．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
3．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定了，我们把这个比值记作TA，即TA=∠A的对边(底边)∠A的邻边(腰)=BCAC ，当∠A=60°时，如T60°=1．
(1)T90°= ，T120°= ，TA的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T140°≈0.53，T70°≈0.87，T35°≈1.66）
易错点1： 误把圆锥底面圆的半径看成侧面展开图中扇形的半径
1．（2024·江苏无锡·二模）将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的侧面积为（ ）cm2
A．50πB．60πC．90πD．120π
易错点2： 混淆圆锥的表面积和侧面积
1．（2024·山东济宁·模拟预测）如图， 是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的表面积是（ ）
A．12πB．18πC．24πD．30π
2．（2022·宁夏固原·模拟预测）已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长为30cm，则这个圆锥的表面积是 ．
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）
\l "_Tc182324382" 知识模块一：正多边与圆
\l "_Tc182324386" 知识模块二：弧长与扇形面积
03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）
\l "_Tc182324398" 考点一： 求正多边形的中心角
\l "_Tc182324399" 考点二： 已知正多边形的中心角求边数
\l "_Tc182324400" 考点三： 利用弧长公式求弧长
\l "_Tc182324401" 考点四： 由弧长公式或扇形面积公式求圆心角、半径
\l "_Tc182324402" 考点五： 利用扇形面积公式计算扇形面积
\l "_Tc182324403" 考点六： 求弓形面积
\l "_Tc182324404" 考点七：求圆锥的侧面积，底面半径，高，母线
\l "_Tc182324405" 考点八： 求圆锥侧面展开图的圆心角
\l "_Tc182324406" 考点九： 圆锥的实际问题
04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）
\l "_重难点一：_求某点的弧形运动路径长度" 重难点一： 求某点的弧形运动路径长度
\l "_重难点二：_求图形旋转后扫过的面积" 重难点二： 求图形旋转后扫过的面积
\l "_重难点三：_求其它不规则图形面积" 重难点三： 求其它不规则图形面积
\l "_重难点四：_圆锥侧面上最短路径问题" 重难点四：圆锥侧面上最短路径问题
05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）
\l "_易错点1：" 易错点1： 误把圆锥底面圆的半径看成侧面展开图中扇形的半径
\l "_易错点2："易错点2： 混淆圆锥的表面积和侧面积
中心
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径
正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距
正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.