2025年中考数学总复习 专题06 相似三角形（知识串讲+13大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）图形相似的性质
（1）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（3）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
（4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
（二）平行线平分线段成比例
（1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab=cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（2）比例的基本性质
①基本性质：ab=cd⇔ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质：ab=cd⇔a±bb＝c±dd；（b、d≠0）
③等比性质：ab=cd＝…＝mn＝k（b＋d＋…＋n≠0）⇔a+c+…+mb+d+…+n＝k．（b、d、…、n≠0）
（3）平行线分线段成比例定理及推论
①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
即如图所示，若l3∥l4∥l5，则ABBC=DEEF．
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
即如图所示，若AB∥CD，则OAOD=OBOC．
③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝=eq \f(\r(5)－1,2)≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（三）相似三角形的判定
（四）相似三角形的性质
（五）常见的相似模型
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
（六）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
（2）测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=（ ）
A．1B．±1C．1或−2D．2
【变式1】（2024上·北京石景山·九年级统考期末）若3x=4yy≠0，则xy的值是（ ）
A．34B．43C．74D．73
【变式2】（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期中）如果ab=23，那么a+bb等于（ ）．
A．3:2B．2:5C．5:3D．3:5
【变式3】（2023上·江西抚州·九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知正数a、b、c，且ab+c=bc+a=ca+b=k，则下列四个点中在正比例函数y=kx图象上的点的坐标是（ ）
A．1,12B．1,2C．1,−12D．1,−1
考点2：线段的比
典例2：（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB，则AP:PB的值为（ ）
A．5−12B．5+12C．0.618D．5−1
【变式1】（2023上·四川·九年级校考阶段练习）△ABC中，F是AC的中点，D、E三等分BC、BF与AD、AE分别交于P、Q，则BP:PQ:QF=（ ）．
A．5:3:2B．3:2:1C．4:3:1D．4:3:2
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
【变式3】（2023上·九年级校考单元测试）把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长与宽（宽