（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第02讲 正弦定理和余弦定理+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
2. 三角形内角和及三角形常见重要关系
(1)内角和定理：，进而有eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A,2)等式子
(2)三角函数关系： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B．
(4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：eq \f(BD,CD)＝eq \f(AB,AC).
3. 三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高).
(2)S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)bcsinA.
(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
(4)S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海伦公式，其中p＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)为△ABC的半周长.
(5)其中
4. 解三角形中的常用术语
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角. 北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). 北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似.
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ). 坡度又称为坡比.
1、正弦定理之齐次式结构
结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化，结构示例：
（1）整式齐次式：
①边的齐次式
②sin角的齐次式：
（2）分式齐次式：
2、拆角合角技巧
1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种
①合角
如：
②拆角——拆单角（“单身狗角”）
如：
注：（1）
，，
（2），
（3）中 ① ②（舍去）
① ②
，则或
射影定理
3、三角形最值问题
三角形中角度是最基础的要素之一,围绕角度展开的范围问题主要有两大考查内容:一方面对角度大小范围做出考查;另一方面对角度的正余弦值范围进行提问.解题难度系数并不大,但准确高效地解题还取决于对三角形内角和特点是否考虑周到.
（一）角度范围问题
求解三角形的角度范围问题,常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理表达所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理;(2)根据角度的具体表达式结构特点,讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本函数求值域方式,在所求定义域内求得对应值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小.
（二）边长范围问题
边长是组成三角形的另一重要元素,因此与三角形边长有关的范围问题也十分常见.由于这一类范围问题求解并不复杂,故以选择形式或填空形式出现较为多见.求解这类与边长有关的范围问题,正余弦定理的灵活运用成为解题的关键步骤,常见的解答思路一般表现为:(1)根据已知条件的特点,选择合适的定理并代人具体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体关系等式或不等式;(3)通过运算,求出问题所求边长对应具体取值范围.
（三）面积范围问题
针对三角形面积进行提问的取值范围问题,属于中等难度的一类解三角形问题,可在选择填空或解答题中遇见其“身影”.解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最值,进而对问题作出具体完整的解答,这些解题思路在解题过程中具体可表现为:(1)对所求三角形大致形状做出分析,明确选择面积求解公式;(2)运用正余弦定理,取得三角形边长、角度具体值,将其代人面积公式中得到具体表达式;(3)根据表达式结构特点,运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路,得到具体的范围大小,即对应问题所求的面积范围值.
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】首先由诱导公式求出，再根据正弦定理计算可得；
【详解】解：依题意
由正弦定理，即，解得；故选：B
变式1：在锐角中，内角A､B､C所对的边分别是，若，，，则____
【答案】
【分析】利用正弦定理即得.
【详解】由正弦定理可得，，∴.故答案为：.
例2．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用正弦定理可求解.
【详解】，，，
由正弦定理得，.故选：B.
变式1：在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据，利用正弦定理求解.
【详解】解：在中，，由正弦定理得，
所以，所以或，故选：D
例3．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则_____．
【答案】
【分析】利用余弦定理列方程求解.
【详解】由余弦定理得即，解得（舍），
故答案为:.
变式1：在中，若，则（ ）
A．25B．5C．4D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理直接求解.
【详解】在中，若，，，由余弦定理得.
故选：B
例4．在中，，则的最小角为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，根据条件给出的三边确定的最小角为，直接利用余弦定理计算，即可完成求解.
【详解】由已知，在中，，因为，所以的最小角为，
所以，又因为，所以.故选：C.
变式1：已知中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三边的比令，，，，进而可知，根据勾股定理逆定理推断出，进而根据推断出，进而求得，则三个角的比可求．
【详解】解：依题意令，，，，，所以为直角三角形且，
又，且，，，故选：A．
例5．的三个内角所对边的长分别为，已知，，，则的值为______．
【答案】
【分析】由的值及 , 利用余弦定理即可列出关于的方程, 求出方程的解即可得到的值.
【详解】由 , 根据余弦定理 得： , 即 ,
所以 .故答案为:
变式1：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】利用余弦定理及完全平方公式计算可得.
【详解】解：由余弦定理可得，又因为，所以.
因为，所以.故选：B
考点二：正弦定理的应用
例8．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，、，则，所以，，所以，，故.故选：C.
变式1：记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得与的关系，进一步计算得出结果.
【详解】已知角，，由正弦定理可得，整理得，即，
因为，所以，所以.又，所以.
故选：C.
例9．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．
【答案】
【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可.
【详解】根据余弦定理由，
而，因此有，因为，所以，由正弦定理可知的外接圆半径为，故答案为：
变式1：在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积.
【详解】由正弦定理可知,,
考点三：余弦定理的应用
例10．【多选】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知，代入，
可得，即，因为，所以或，故选：BD.
变式1：在中，，则边所对的角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据式子的特点，联想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.
【详解】因为，
所以，即 ，即 ，所以 .故选：B
考点四：判断三角形的形状
例11．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由，得，整理得，则，
因为，所以，又由及正弦定理，得，化简得，
所以为等边三角形，故选：B
变式1：在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．
【详解】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，则，
即或为等腰三角形或直角三角形．故选：D.
考点五：正余弦定理的综合应用
例12．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换及余弦定理即可处理.
【详解】原式=化简得：
由正弦定理角化边得：，由余弦定理得：故选：B.
变式1：在 中，角 的对边分别为 ，且．角A等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理角化边化简，可得，再根据余弦定理即可求得答案.
【详解】在 中, ,则,即，即，
故 ，而 ,故，故选：B
考点六：与角度、边长有关的最值问题
例13．记的内角，，的对边分别为，，，已知.则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算即可得到，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，进而可求得的最大值．
【详解】由已知，根据正弦定理得，，则，
∴，又，∴，
∴∵，
∴，∴当，即时，的最大值为1，即的最大值为1．
故选：C．
变式1：在中，角所对的边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据面积公式以及正弦定理得，进而根据不等式求解的最值，即可得，，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】由得,由正弦定理得，
因此，当且仅当时取等号，故当时，取到最大值3，此时，，故，故选：A
例14．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则的取值范围是( )
A．(－2,2)B．(0,2)C．(，)D．(，2)
【答案】C
【详解】解：因为B＝2A，故sinB=sin2A,
故所求的范围是选C
变式1：锐角中，已知，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果.
【详解】，由余弦定理得：，即，
由正弦定理得：，，
，
又由得：，，，
.故选：D
考点七：三角形的面积的计算及应用
例15．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答.
【详解】在中，由正弦定理得：，因此，
则，而，即有是正三角形，
所以的面积.故选：B
例15．在中，，，其面积为，则等于（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式可得的值，再结合余弦定理即可求得.
【详解】由题意知，则，
由余弦定理得即.故选:C.
例16．在中，若，则面积的最大值为__________．
【答案】1
【分析】由三角恒等变换得出，再由正弦定理结合正弦函数的性质得出面积的最大值.
【详解】因为，即．又因为，所以，因为，所以，即，
所以，当时，取得最大值1．故答案为：1
变式1：在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理，，据此可得答案；
（2），又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案.
【详解】（1）由正弦定理，，
又在三角形中，.
则，又，
得，结合，知.
（2）由正弦定理，可知.
则.
又由（1）可知，则.
，
因，则，故当，即时，取最大值.
考点九：三角形周长的计算及应用
例17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（ ）
A．20B．C．27D．
【答案】D
【分析】利用三角形的外接圆周长求出外接圆半径，根据同角三角函数关系求出，从而得到的长，结合及正弦定理得到，从而得到三角形周长.
【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，因为，由，，
可得，，所以，，
因为，
由正弦定理可得：，
所以的周长为.故选：D.
例18．已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理将周长表达为关于B的函数，然后利用△ABC为锐角三角形求出定义域，再算值域即可.
【详解】由正弦定理，又A＝60°，BC=4
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以所以，所以
所以周长的取值范围是.故选：A.
变式1：在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得，即求出的大小，再利用三角形面积公式得，从而求出的最小值，最后得到，利用函数单调性即可求出其最小值.
【详解】由题设及三角形内角和性质：，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，设的周长为，
则，设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.故选：B
考点十：正、余弦定理解决几何问题
例19．如图所示，在中，，点D在线段AB上，且满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得的值.
【详解】在中，角对应的边分别为，又点D在线段AB上，且满足，
所以，又，由角平分线定理可得，所以，则，又，所以，则，
由正弦定理得.故选：B.
变式1：如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ）
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出.
【详解】设，在中，由正弦定理可得①，
由可得，则，，
在中，由正弦定理可得②，
①②两式相除，得，即，
整理得，化简得，故.故选:C
考点十一：解三角形与三角函数的综合问题
例20．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以.
1．在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），故.故选：D.
2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，所以，
所以，解得（负值舍去）.故答案为：.
3．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3B．C．3或D．-3或
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】，，，
，，，
，，故选：A.
4．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，
而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，
又，所以．
（3）因为，所以，故，又，
所以，，
而，所以，
故．
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
6．在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：，故原等式成立．
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，
即，而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
1．在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，且，
由余弦定理可得：.故选：C．
2．在△ABC中，，则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理可得出，设，则，，然后根据余弦定理求出即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，，设，则，，所以最大.由余弦定理可得，.因为，所以.故选：C.
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】由正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理，得，又，所以，所以为锐角，所以．故选：C．
4．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.
【详解】因为，所以，又，所以，
因为，由正弦定理得，则，则，
所以为有一个角为的直角三角形.故选：B.
5．【多选】锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（ ）
A．B．的取值范围是
C．D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换得出，再由锐角三角形的定义得出，再由求解即可.
【详解】由正弦定理可知，，，，即，所以，，因为是锐角三角形，所以，解得，故选：ABD
6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，解得，，从而得到 ．
（2）由正弦定理可得，由（1）及差角正弦公式、辅助角公式、正弦型函数性质求范围，即可求周长的范围．
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，得．故，因为，故．
（2）由正弦定理得：，
所以，．
又，则，所以，又，
所以周长的取值范围是．
7．在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.
(1)求A；
(2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）若选①：根据余弦定理分析运算；对于②③：根据正弦定理结合三角恒等变换分析运算；
（2）根据面积公式可得，再利用基本不等式可得，进而可得结果.
【详解】（1）若选①：因为，整理得，
由余弦定理可得，
因为，所以；若选②：因为，
由正弦定理可得，
则，
因为，则，则，可得，所以；
若选③：因为，由正弦定理可得，
则，
因为，则，则可得，所以.
（2）由题意可得：，且，
则，
即，且，
则，当且仅当时，等号成立，可得，
所以，故的面积的最小值为.
正弦定理和余弦定理 随堂检测
1.在中，若，，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【详解】根据正弦定理有，结合，，，
则．故选：A
2.在中，，则的值为（ ）
A．B．－ C．－ D．
【答案】C
【分析】由题意可设，再根据余弦定理求解即可.
【详解】解：因为，所以设，
由余弦定理可得.故选：C.
3.已知分别为三个内角的对边，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角可化简求得，由此可得.
【详解】由正弦定理得：，，，，即，，.故选：D.
4.在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用余弦定理计算即可.
【详解】，∵，∴.
故选：C
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由余弦定理求出答案.
【详解】由得：，解得：故选：B
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【分析】由余弦定理得到，结合，得到，判断出三角形为直角三角形.
【详解】∵，∴，由余弦定理可得：，
整理可得：，①∵，∴，②由①②得，
∴该三角形是直角三角形.故选：A
7.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用正弦定理可得，进而整理，并求的取值范围，结合正弦函数分析运算即可.
【详解】因为，由正弦定理可得，则，
因为，，则，所以，即，
则，
因为，解得，所以，则，
即的取值范围是.故选：B.
8.在中，已知，，，b＝5，则c＝______．
【答案】2
【分析】由，得，再结合，得到角为钝角，然后利用余弦定理求解.
【详解】解：在中， ，b＝5，由，得，因为，所以角为钝角，则，由余弦定理得，即，解得或（舍去），
故答案为：2
9.的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为____.
【答案】
【分析】利用正弦定理可得，进而可得，即得.
【详解】，则，由正弦定理，得
故，展开化简得：，，，
故，，即，∴外接圆直径，故外接圆半径为.
故答案为：.
10.已知的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角C的值；
(2)若，，且，求的长度．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可得，从而可得角C的值；
（2）根据向量共线定理可得，利用向量的模长运算即可得的长度．
【详解】（1）解：由正弦定理得：，因为，
所以，即又由余弦定理得，
则化简得，又，所以.
（2）解：由可得
所以，
∴，即的长度为.
11.已知的内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，设的面积为S，满足，求b的值．
【答案】(1)(2)【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小；（2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得．
【详解】（1）由，得，根据正弦定理，得．
因为，所以，所以．
因为，所以，所以，则．
（2）由，得．又由正弦定理得，
所以，解得．
12.已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）．的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递减，所以函数单调递减区间为：；
因为，所以，，，．设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，，，（当用仅当时，取等号），
所以，因此边上的高的最大值.正弦定理
余弦定理
文字
语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
公式
eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
a2＝b2＋c2－2bccsA，
b2＝a2＋c2－2cacsB，
c2＝a2＋b2－2abcsC.
常见
变形
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(2)sinA＝eq \f(a,2R)，sinB＝eq \f(b,2R)，sinC＝eq \f(c,2R).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.
(5)大边对大角 大角对大边
(6)合分比：
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
csB＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，
csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).
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