（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第03讲 利用几何法解决空间角和距离+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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学会利用几何法求空间角及空间距离．
1、异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
注：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
2、直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3、二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．
(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
4、点到平面的距离
已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离）
结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短.
1、求异面直线所成的角的方法和步骤
(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成角一般步骤：一作、二证、三求
①平移：经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，作出异面直线所成的角．
②证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
2、求直线与平面所成的角的方法和步骤
（1）垂线法求线面角：
①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.
平移法求线面角
是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解.
（3）等体积法求线面角
通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图,已知平面α与斜线AP,PO⊥α,则P0线面角为∠PAO,，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂线段PO的长度可看作点P到平面α的距离，在平面α内找一个三角形(点A是其中一个顶点)与点P构成三棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求PO的长度，从而达到简便求解线面角的目的.
3、求二面角的平面角的方法和步骤
（1）求二面角大小的步骤是：
①作：找出这个平面角；
②证：证明这个角是二面角的平面角；
③求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
（2）确定二面角的平面角的方法
①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
如：“三线合一型”、“全等型”
②三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用
自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
③等体积法
利用三棱锥等体积法求出点A到平面PBC的距离d，如图，点A到二面角A-PB-C的棱 PB 的距离为h（即△PAB中PB边上的高），则二面角 A-PB-C的正弦值为.
③垂面法（空间一点垂面法）
过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
④射影面积法
已知平面内的平面图形的面积为，它在平面内的射影的面积为，设平面与平面所成二面角的平面角为，则当时，;当时，.
4、求解点面距的方法和步骤
（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
考点一：直接平移法求异面直线所成的角
例1．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.
【详解】如下图所示,连接,则异面直线与所成角为,即为等边三角形.故选:C.
变式1．如图，圆柱的底面直径与母线相等，是弧的中点，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角.
【详解】取的中点，连接，则，且，故四边形为平行四边形，所以，所以或其补角为与所成角，设，则，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，
所以与所成角为.
故选：C
考点二：中位线平移法求异面直线所成的角
例2．在四棱锥中，平面，，底面是菱形，，E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接、交于点，连接，说明异面直线与所成的角为或其补角，计算出、，即可求得，即可得出结论.
【详解】连接、交于点，连接，
因为四边形为菱形，，则为的中点，且，
因为为的中点，则，又F，G分别是，的中点，所以，故
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，，因为，，则为等边三角形，
同理可知也为等边三角形，又，，
同理可得，，所以，.
因此，异面直线与所成的角的余弦值为.故选：D.
变式1．在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________
【答案】
【分析】取的中点为,连接，利用中位线性质得，则异面直线夹角转化为求，再利用勾股定理求出相关线段长，最后求出即可得到答案.
【详解】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心,取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，

则即为所求，因为平面，所以平面,则，
，则，因为，所以.
故答案为：.
考点三：平行四边形平移法求异面直线所成的角
例3．如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点为，将平移到即可知异面直线DN和CM所成的角的平面角即为，再利用余弦定理即可解得.
【详解】取的中点为，连接，如下图所示：

M是的中点，的中点为，所以，且；由N分别是AC的中点，所以，由正方体性质可得，所以可得，即四边形是平行四边形，
则异面直线DN和CM所成的角的平面角即为，易知，
所以.故选：D
变式1．在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异面直线所成角的定义，取中点，中点，连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理求解即可得答案.
【详解】如图，取中点，中点，连接

在直三棱柱中，，所以平面，有平面，
所以，则，因为分别为中点，
所以，又可得，则四边形为平行四边形
所以，则为异面直线与所成的角或其补角
由平面，平面，可得，所以，
在中，，，由余弦定理得，所以，
所以在中，由余弦定理得
所以异面直线与所成的角的余弦值.故选：B.
考点四：补形法求异面直线所成的角
例4．在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作图，构造三角形，将 与 的夹角转变为三角形内角，运用余弦定理求解.
【详解】
依题意作上图，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，∴四边形 是平行四边形， ，异面直线 与 的夹角就是 与 的夹角 ， ，
， ，由余弦定理得 ， ，∴ ；
故选：B.
变式1．在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长，交直线于点M，延长交于点，连接，则直线即为交线，从而可得即为l与所成的角，解即可得解.
【详解】解：延长，交直线于点M，延长交于点，连接，
则直线即为交线，又，则即为l与所成的角，设正方体棱长为1，
因为E为的中点，，所以为的中点，为的中点，点为的中点，为的中点，则，又，所以，
所以，则，，，
所以，即l与所成角的余弦值为.故选：D.
考点五：通过证线面垂直证异面直线所成的角为90°
例5．如图，正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取中点，连，可证，转化为求所成的角，利用平面几何关系，证明即可.
【详解】取中点，连，在正方体中，为中点，
，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角为直线所成的角，在正方形中，，
，直线与所成角的大小为.故选：D.
考点六：由异面直线所成的角求其他量
例6．在长方体中，与和所成的角均为，则下面说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据长方体的结构特征，可得与和所成的角即为与和所成的角,从而设,由此可求得长方体的棱长，即可一一判断各选项，即得答案.
【详解】在长方体中，,则与和所成的角即为与和所成的角,即,连接,易得面，面，且面，面，则为直角三角形，
设,则,故，故A错误；
由为直角三角形，可得,则,故B错误；
由以上解答可知,故，C错误；
在长方体中，，，故，D正确，故选：D
变式1．如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，将三棱锥放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长､宽､高的边长a，b，c的方程组，求解得，进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据球的体积公式即可求解.
【详解】解：由题意知，，则平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，将三棱锥放入对应的长方体中，如图：
易知，所以为直线AB与DC所成的角，所以，解得.设长方体的长､宽､高分别为a，b，c，则，，，
三式相加得，所以长方体的外接球的半径为，
所以该三棱锥的外接球的体积为.故选：C.
考点七：垂线法求直线与平面所成的角
例7．如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，取OA的中点D，连接CO，PO，CD，PD，可证直线与平面所成的角为，再结合题设中的数据可求线面角的正弦值.
【详解】如图，取OA的中点D，连接CO，PO，CD，PD，由题意得，所以△AOC为正三角形，则，因为平面，平面，所以，同理，
而平面，所以平面，而平面，则，
由平面可得直线与平面所成的角为．由等边三角形及可得．
又，得．故选：A.

变式1．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.
【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，
所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A
考点八：等体积法求直线与平面所成的角
例8．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用等积法可得到平面的距离，进而即得.
【详解】因为平面，平面，平面， 平面，
所以，，，又底面是边长为a的正方形，
所以，又平面，平面，
所以平面， 平面，所以，
设到平面的距离为，直线与平面所成的角，则，
所以，，所以，
所以，又，所以.故选：A.
考点九：平移法求直线与平面所成的角
例9．如图，已知平面ABC，，，，，，点和分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面；
（2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角.
【详解】（1）∵平面，，∴平面，
∵平面，∴平面平面，∵，点为中点，∴，
∵平面平面，平面，∴平面.
（2）
取中点，连接，，
∵，，，点为中点，∴四边为平行四边形，∴，
∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
∵平面，∴为直线与平面所成角，
∵点为中点，，∴，，，
∴，又，所以，
所以直线与平面所成角为.
考点十：由线面角求其他量
例10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接，设，连接，根据线面平行的性质得到，即可证明；
（2）首先证明平面，则为直线与平面所成的角，再求出，最后根据计算可得.
【详解】（1）连接，设，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又底面为矩形，所以为的中点，所以为的中点.

（2）因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，即，
又，所以，则，
由平面，平面，所以，所以在中，
所以.
变式1．如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置．
(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，证明见解析，.
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证明结论；
（2）确定当平面时, 三棱锥的体积取最大，作出二面角的平面角，解三角形求得答案；
（3）假设存在，作出与平面所成的角，结合题意求得，判断适合题意，即可求得的长．
【详解】（1）证明：∵且O是的中点，∴，即，
又∵，平面平面，∴平面．
（2）在平面内，作于点D，则由（1）可知，
又平面，即是三棱锥的高，
又，∴当D与O重合时，三棱锥的体积最大，此时平面,
过O作于点H，连接，如图,
由（1）知平面，又平面，∴，
∵，∴平面，平面，,
∴即为二面角的平面角．
在中，，∴，
∴，故二面角的余弦值为..
（3）假设在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为，如图，连接，
在（2）的条件下，平面,
故平面，∴与平面所成的角为，∴，∴，
又在中，,,
则，故,
而，∴，∴，∴，
即故在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为，此时.
考点十一：定义法求二面角的平面角
例11．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求二面角平面角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）分析出二面角的平面角为，分析出为等腰直角三角形，即可得出结果.
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，因此，平面.
（2）解：因为四边形为正方形，则，且，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，则二面角的平面角为，
因为，，所以，为等腰直角三角形，且.
故二面角为.
变式1．如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】（1）先证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）根据棱锥的体积公式即可求得答案;
（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为在正方形中，折叠后即有，
又平面，所以平面，而平面,故；
（2）由题意知，故，故；
（3）取线段的中点G，连接，
因为，所以有，平面,平面,
所以即为二面角的平面角，又由（1）得平面，平面，
故,而,,
故,即二面角的余弦值为.
考点十二：三垂线法求二面角的平面角
例12．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；
(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)(3).
【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论；
（2）先证明平面，由线面角的定义证明是与平面所成角的平面角，推导出，，由此能求出与平面所成角的正切值；
（3）过点作，根据二面角平面角定义证明 是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．
【详解】（1）取的中点，连接，
因为点为的中点，所以，
又，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）四边形为菱形，，，为等边三角形，，
在中，是中点，，
平面，平面，，
，平面，平面，平面，
斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，
平面，平面，，
在中，，在中，，
平面，平面，，
在中，，与平面所成角的正切值为．
（3）在平面中，过点作，垂足为，连结，

平面，平面，，
，平面，
平面，又平面，
是二面角的平面角，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，由余弦定理得，
二面角的正弦值为．
考点十三：等体积法求二面角的平面角
例13．已知四边形ABCD中，，，O是AC的中点，将沿AC翻折至．
(1)若，证明：平面ACD；
(2)若D到平面PAC的距离为，求平面PAC与平面ACD夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)由题目已知可得出平面PAC，从而得到，再由等腰三角形性质可得，进而得出结论.
(2)取CD中点F并连接OF，PF，可得出所求二面角，再利用已知条件，构建直角三角形，即可计算两平面的夹角.
【详解】（1）中，，，，所以，
则，又，所以平面PAC，平面PAC，所以.
又因为，O是AC的中点，所以，，所以平面ACD.
（2）取CD中点F，连接OF，PF，在中过F作FG垂直于PO，垂足为G，，则，
又因为，所以为平面PAC与平面ACD夹角，所以平面POF，又平面POF，
所以，又，所以平面PAC，所以FG就是点F到平面PAC的距离，
因为点D到平面PAC的距离为，又由F为CD中点，所以F到平面PAC的距离为.
中，，因为点可能在上，也可能在的延长线上，
所以或，所以平面PAC与平面ACD所成角不会是钝角，所以大小为.
考点十六：由二面角大小求其他量
例16．如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．

(1)证明：平面平面PAD；
(2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）要证平面平面PAD，只需证明平面PAD，再利用面面垂直的判定进行说明；
（2）先找到二面角的平面角，再找直线BD与平面PBC所成角.
【详解】（1）中，由余弦定理：，
所以,则,
将沿BD折起，使得点A到达点P，则，所以,
又平面PAD,所以平面PAD，又平面BCD，
所以平面平面PAD；
（2）
如图，取中点E，连接BE,DE，因为AB=PB,AD=PD,则
所以为二面角的平面角，且由（1）知，平面
所以,中，中垂线，
所以由勾股定理可得，所以，
又,，所以平面PBD,又，所以平面PBD,
过D作于点F，因为DF平面PBD,所以，
因为,所以DF面PBC，所以直线BD与平面PBC夹角即为
中，，所以直线BD与平面PBC夹角的正弦值为.
变式1．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)当的值为多少时，二面角的大小为.
【答案】(1)证明见解析(2)1
【分析】（1）根据题意，分别证得和，得到面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面.
（2）作于，连接，证得是二面角的平面角，利用余弦定理，建立等量关系式，结合直角三角形的性质，即可求解.
【详解】（1）证明（1）四棱锥的底面是正方形，可得，
因为底面，平面，所以，
又因为且平面，所以面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：作于，连接，
因为底面，，可得，
由底面，底面，所以，
又因为，，所以平面，
又由平面，所以，
同理可证：平面，且平面，所以，
所以和全等，因为，所以，且
所以是二面角的平面角，
要使，只需，解得，
又因为，可得，因为，且，
所以，可得，
因为，所以，可得，
又因为，所以，所以
故当时，二面角的大小为.

考点十七：等体积法求点面距
例17．如图在棱长为的正方体中，是上一点，且平面.

(1)求证：为的中点；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，推导出为的中点，结合中位线的性质可证得结论成立；
（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，

因为平面，平面，平面平面，所以，，
因为四边形为正方形，，则为的中点，因此，为的中点.
（2）解：因为平面，，
又因为，所以，，
因为，所以，，同理可得，
，所以，，
易知为的中点，则，则，
所以，，
设点到平面的距离为，由可得，
即，解得，即点到平面的距离为.
一、单选题
1.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先平移线段，再解三角形即可.
【详解】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．
故选：C.
2．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【答案】A
【分析】根据正方体的性质可知即为直线与平面所成的角，从而求出结果．
【详解】解：依题意，如图所示，根据正方体的性质可知，平面，
∴即为直线与平面所成的角，
又∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：A．
3．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，证明出AC⊥平面，找到点到平面的距离即CE的长，求出答案.
【详解】连接AC交BD于点E，则因为四边形ABCD为正方体，所以AC⊥BD，且E为AC中点，因为⊥底面ABCD，平面ABCD，所以⊥，因为，所以AC⊥平面，所以CE的长即为点到平面的距离，因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得：，显然.
故选：B
4．在四棱锥中，平面，四边形ABCD为矩形，，PC与平面所成的角为，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断出是外接球的直径，求得，从而计算出外接球的体积.
【详解】由于平面，平面，所以，由于四边形是矩形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以；同理可证得，所以是外接球的直径.由平面可知：是PC与平面所成的角，所以，所以.所以外接球的半径为，
所以外接球的体积为.故选：C
二、填空题
5．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为______.
【答案】90°
【分析】由图形中直线的位置关系，将问题转化为求与所成的角，易得结果.
【详解】因为在正方体中，，所以异面直线与所成的角等于与所成的角，又因为为正三角形，且E为的中点，所以，即与所成的角为，异面直线与所成的角为.故答案为：.
6．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，P是菱形所在平面外一点，平面ABCD，则异面直线AC与PD所成角大小为______．
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定进行推理即可作答.
【详解】菱形中，，因平面，平面，则有，
，平面，因此，平面，又平面，从而有，
所以异面直线AC与PD所成角为.故答案为：
三、解答题
7．如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.

(1)证明：平面.
(2)作出二面角的平面角，并求其大小.
【答案】(1)证明见解析(2)平面角见解析，
【分析】（1）确定四边形为平行四边形，得到，得到证明.
（2）是中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1），且，故四边形为平行四边形，故，
平面，且平面，故平面.
（2）如图所示：是中点，连接，，，

则，，故，
即，故，平面平面，平面，平面，
故为二面角的平面角，，，故.
故二面角的平面角为.
8．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.

(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角.
【详解】（1）解：因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面.
（2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角，
因为，所以，在直角中，，
所以，即与平面所成的角为.

9．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
(3)若PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2，求直线PB与面PAD所成的角．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)45°
【分析】（1）利用三角形的中位线可得线线平行，进而由线面平行的判断即可求证，
（2）由线面平行即可求证，
（3）利用线面垂直得线线垂直，进而可由几何法求解线面角，即可由三角形的边角关系求角大小.
【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，
因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点
所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，所以平面平面PAD．
（3）因为PA⊥平面ABCD，平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，
又ABCD为正方形，所以AB⊥AD，平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，
所以∠BPA即为直线PB与面PAD所成的角，又AB＝PA＝2，所以△BPA为等腰直角三角形，所以∠BPA＝45°，即直线PB与面PAD所成的角为45°．

10．如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直线AM与直线PC所成的角为60°.

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求异面直线PA与MB所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）证明平面，原题即得证；
（2）设是的中点，连接，，，证明是异面直线与所成角（或其补角），再利用余弦定理求解.
【详解】（1）依题意，，，，平面，
所以平面，由于平面，所以平面平面 .
（2）设是的中点，连接，，，
由于，，所以四边形是平行四边形，所以，
由于平面，所以平面，而，
由于直线与直线所成的角为60°，即，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以是异面直线与所成角（或其补角），
由于平面，平面，所以，，
在三角形中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.

利用几何法解决空间角和距离 随堂检测
1.如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，可得直线与所成角即为直线与所成的，在中由余弦定理可得答案.
【详解】取的中点，连接，所以，直线与所成角即为直线与所成的，所以，，，
在中由余弦定理可得,因为，所以.故选：C.
2.如图，在正三棱柱中，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接.证明，得是异面直线与所成的角（或补角）.设，用余弦定理计算出余弦值.
【详解】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，.
由已知，又，所以是平行四边形，，同时可得是中点，而是中点，所以.
所以，则是异面直线与所成的角（或补角）.又平面，则平面平面，则，设，则，
从而，
故.在中，由余弦定理可得.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.故选:B.
3.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则直线与对角面所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，交于点O，证明直线与平面所成的角是，由得直线与平面所成的角等于，在直角三角形中求得此角大小．
【详解】由E，F分别是的中点得．连接，交于点O，平面，平面，则，又正方形中，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角是，即直线与平面所成的角等于平面，，，，直角三角形中，故选：A．
4.如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于__________.
【答案】
【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．
，F分别是CD，AB的中点，，，且，．
为EF与AC所成的角（或其补角）．又，．
又，，，为直角三角形，，
又为锐角，，即EF与AC所成的角为．故答案为：．
5.如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.
(1)证明：是直角三角形；
(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，
①求的长；
②求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)①；②
【分析】（1）证明平面即可；（2）①根据线面角的定义确定直线与平面所成角，由条件求，②根据线面角定义作出直线与平面所成角，求出到平面的距离，解三角形求线面角正弦值.
【详解】（1）∵是的直径，是圆周上不同于的一动点.∴，
∵平面，平面∴，
又，平面，∴平面，平面，
∴，∴是直角三角形.
（2）①∵平面，∴是直线PC与平面ABC所成的角，
又
②过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，平面，∴BC⊥AH，又PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，
在Rt中，，在Rt中，，
故直线与平面所成角的正弦值为.
6.如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的判定定理求解；
（2）连接，，可证明为二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，如图，则为的中点，
由于是的中点，故，∵平面，平面，所以平面；
（2）连接，，因为，是的中点，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，
又平面，所以平面，
又平面，所以，则为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知，
∴二面角的余弦值为.