（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第05讲 空间向量的数量积运算+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识点1 空间向量的夹角
知识点2 空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(——→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b